อธิบายการใช้ functor ในแง่เด็ดขาด - monoidal functors

ฉันต้องการที่จะเข้าใจApplicativeในแง่ของทฤษฎีหมวดหมู่

เอกสารสำหรับการApplicativeบอกว่ามันเป็นเรื่องที่มีความแข็งแกร่ง functor

ครั้งแรกที่วิกิพีเดียหน้าเกี่ยวกับfunctors monoidalบอกว่า functor monoidal เป็นทั้งหละหลวมหรือที่แข็งแกร่ง ดังนั้นสำหรับฉันดูเหมือนว่าแหล่งใดแหล่งหนึ่งผิดหรือใช้เงื่อนไขต่างกัน มีใครอธิบายได้บ้าง

ประการที่สองประเภท monoidal ซึ่งApplicativeเป็น function monoidal คืออะไร? ฉันสมมติว่า functors เป็น endo-functors ในหมวดหมู่ Haskell มาตรฐาน (object = types, morphisms = ฟังก์ชั่น) แต่ฉันไม่รู้ว่าโครงสร้าง monoidal ของหมวดนี้คืออะไร

ขอบคุณที่ช่วยเหลือ.

— Petr Pudlák
แหล่งที่มา

คำตอบ:

จริงๆแล้วมีการใช้คำสองคำว่า "ความแข็งแกร่ง" ในการเล่นที่นี่

endofunctor แข็งแกร่ง มากกว่าประเภท monoidalเป็นหนึ่งในที่มาพร้อมกับการเปลี่ยนแปลงธรรมชาติที่น่าพอใจ เงื่อนไขการเชื่อมโยงกันบางส่วนที่เกี่ยวข้องกับการเชื่อมโยงที่ฉันจะเกลี้ยกล่อม เงื่อนไขนี้บางครั้งก็ออกเสียงว่า "มีความแข็งแรง" $F : C \to C$ $(C, \otimes, I)$ $\sigma : A \otimes F(B) \to F(A \otimes B)$ $F$
คนขี้หลอน monoidal functor เป็น functor ระหว่างสองประเภท monoidalและกับการเปลี่ยนแปลงตามธรรมชาติและอีกครั้งซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขการเชื่อมโยงที่เกี่ยวข้องกับผู้เชื่อมโยงอีกครั้ง $F : C \to D$ $(C, \otimes, I)$ $(D, \oplus, J)$ $\phi : F(A) \oplus F(B) \to F(A \otimes B)$ $i : J \to F(I)$
นักโมนิมอลที่แข็งแกร่ง คือคนที่และเป็นมอร์ฟิซึ่มส์ตามธรรมชาติ นั่นคือ , ด้วยและสิ่งที่ตรงกันข้ามกับอธิบายมอร์ฟิซึ่มส์ $F : C \to D$ $\phi$ $i$ $F(A \otimes B) \simeq F(A) \oplus F(B)$ $\phi$

functor ที่ใช้งานในแง่ของโปรแกรม Haskell นั้นเป็นendofunctor lax monoidal ที่มีความแข็งแกร่งโดยมีโครงสร้าง monoidal ที่เป็นคำถามว่าเป็นผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียน ดังนั้นนี่คือเหตุผลที่คุณได้ศัพท์ที่ฟังดูขัดแย้งกันว่า

เช่นกันในหมวดหมู่ที่ปิดคาร์ทีเซียนมีความแข็งแรงเทียบเท่ากับการดำรงอยู่ของการเปลี่ยนแปลงทางธรรมชาติ(B)) นั่นคือการมีความแข็งแกร่งหมายความว่าการกระทำ functorial สามารถกำหนดได้อย่างชัดเจนว่าเป็นฟังก์ชั่นลำดับสูงในภาษาการเขียนโปรแกรม $F$ $\mathrm{map} : (A \Rightarrow B) \to (F(A) \Rightarrow F(B))$

ในที่สุดถ้าคุณสนใจทฤษฎีประเภทของ Haskell แบบฟังก์ชั่นการใช้งานฉันก็แค่บล็อกเกี่ยวกับมัน

— Neel Krishnaswami
แหล่งที่มา

ขอบคุณสำหรับคำตอบ. ฉันเข้าใจอย่างถูกต้องหรือไม่ว่าอินสแตนซ์ทั้งหมดFunctorมีจุดแข็ง (ผลิตภัณฑ์ WRT) เพียงเพราะพวกเขากำหนดโดยใช้fmapภายในภาษาหรือไม่ นอกจากนี้ปริศนาอะไรที่ฉันนิยามคำว่าและกลับด้านเมื่อเปรียบเทียบกับทั้งโพสต์บล็อกของคุณและบทความ Wikipedia - มันเป็นคำที่สะกดผิดหรือเปล่า? ผมพยายามที่จะกำหนดใช้เป็นที่ชัดเจนต้องการ

ϕ

$\phi$

i

$i$ pureipure' = \v -> fmap (\() -> v) (i ())i :: (Applicative f) => () -> f ()

— Petr Pudlák

ฉันพิมพ์ผิดในคำตอบนี้ - ตอนนี้คงที่ และใช่อินสแตนซ์ทั้งหมดของFunctorstrong (ผลิตภัณฑ์ wrt)

— Neel Krishnaswami

คุณช่วยอธิบายได้อย่างละเอียดได้ไหมว่าโมนาดอยู่ตรงไหน? ถ้าฉันเข้าใจถูกต้องมันเป็นจุดจบของ monoidal เช่นกัน

— egdmitry

@egdmitry monoidalไม่monadal นี่หมายความว่าเราจัดการกับ endofunctor ประเภท monoidal (ในกรณีนี้เป็น monoidal สัมพันธ์กับผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียนคือคู่)

Hask

$\operatorname{Hask}$

— kirelagin

ฉันขอเสนอให้ใช้คำที่แข็งแกร่งเพื่อหลีกเลี่ยงการปะทะของสัญกรณ์กับ "แข็งแรง"? มันเป็นภาษาสก็อต (โดยเฉพาะจุดที่นี่) การแปรผันของ "แข็งแรง" ซึ่งใช้ครั้งแรกในพระคัมภีร์ไบเบิลของคลิฟฟ์

— Fosco

เพื่อให้เข้าใจถึงการประยุกต์ใช้ตามที่ monad ชักชวนฉันต้องการชี้ให้เห็นโครงสร้างต่อไปนี้:

โยเนดะแทรกหมายถึงว่ามีมอร์ฟระหว่างและFB) ในหมวดหมู่ของประเภท Haskell นี่คือการทำแผนที่ ประเภท การประเมินที่จากนั้นใช้ฟังก์ชั่น arrow arrow ลูกศรฟังก์ชั่นที่เกิดขึ้น - ถ้าองค์ประกอบของการแปลงตามธรรมชาติทำให้รู้สึกเป็นลูกศร - และ abstractingอีกครั้งเราได้รับการแมปประเภท ตอนนี้ถ้า functor มาพร้อมกับ monadic 'join' ให้ทำแผนที่จากถึง $FA$ $\mathrm{nat}(\mathrm{Hom}(A,B),FB)$

a \mapsto (g \mapsto F (g) (a))

$a\mapsto\left(g\mapsto F(g)(a)\right)$

F A \to B^{A} \to F B .

$FA\to B^A\to FB.$

F A

$FA$

F A

$FA$

F A \to F B^{A} \to F F B .

$FA\to F\,B^A\to FFB.$

F F B

$FFB$

F B

$FB$ และถ้าเราสลับไปรอบ ๆ แลมบ์ดา abstractions และสองช่องแรกเราจะได้รับฟังก์ชันประเภท ซึ่งหนึ่งในนั้นหมายถึง <*> (นี่คือสิ่งที่คุณได้รับผ่านใน Haskell)

F B^{A} \to F A \to F B,

$F\,B^A\to FA\to FB,$

L i f t M 2 i d

$\mathrm{LiftM2\ id}$

— Nikolaj-K
แหล่งที่มา