ความซับซ้อนของพื้นที่เพื่อคำนวณการจัดเรียงสตริงที่เหมาะสมสำหรับระยะทางแก้ไขของ Levenshtein

ถ้าเราจะได้รับสองสายที่มีขนาดและn 2มาตรฐาน Levenshtein คำนวณระยะทางแก้ไขโดยอัลกอริทึมแบบไดนามิกที่มีความซับซ้อนเวลาO ( n 1 n 2 )และความซับซ้อนของพื้นที่O ( n 1 n 2 ) (การปรับปรุงบางอย่างสามารถทำได้ในรูปแบบของระยะทางแก้ไขdแต่เราไม่ได้สมมุติบน$n_1$$n_2$$O(n_1 n_2)$$O(n_1 n_2)$$d$$d$$O(\max(n_1, n_2))$

อย่างไรก็ตามหากคุณต้องการได้รับการแก้ไขจริงของสคริปต์การแก้ไขที่ดีที่สุดเป็นไปได้ไหมที่จะทำได้ดีกว่าการใช้หน่วยความจำอาจต้องใช้เวลานานหรือไม่$O(n_1 n_2)$

ไม่จำเป็นต้องมีการแลกเปลี่ยนที่ Yuval แนะนำ ลำดับการแก้ไขที่ดีที่สุดทั้งหมดสามารถคำนวณได้ในเวลาและพื้นที่โดยใช้การผสมผสานของการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกและการแบ่งและพิชิตครั้งแรกโดย Dan Hirschberg ( อัลกอริธึมเชิงเส้นพื้นที่สำหรับการคำนวณลำดับทั่วไปสูงสุดCommun. ACM 18 (6): 341–343, 1975. )$O(nm)$$O(n+m)$

โดยสังเขปแนวคิดของ Hirschberg คือการคำนวณการดำเนินการแก้ไขเพียงครั้งเดียวครึ่งทางผ่านลำดับการแก้ไขที่ดีที่สุดจากนั้นคำนวณซ้ำสองส่วนซ้ำ หากเราคิดว่าลำดับการแก้ไขที่ดีที่สุดเป็นเส้นทางจากมุมหนึ่งของตารางบันทึกความจำไปยังอีกมุมมองหนึ่งเราจำเป็นต้องมีการแก้ไขซ้ำเพื่อบันทึกตำแหน่งที่เส้นทางนี้ข้ามแถวกลางของตาราง การเกิดซ้ำที่ใช้งานได้มีดังนี้:

$$Half(i,j) = \begin{cases} \infty & \text{if $i<m/2$}\\ j & \text{if $i=m/2$}\\ Half(i-1,j) & \text{if $i>m/2$ and $Edit(i,j) = Edit(i-1,j)+1$}\\ Half(i,j-1) & \text{if $i>m/2$ and $Edit(i,j) = Edit(i,j-1)+1$}\\ Half(i-1,j-1) & \text{otherwise} \end{cases}$$

ค่าของสามารถคำนวณได้ในเวลาเดียวกันเป็นตารางแก้ไขระยะทางโดยใช้เวลา เนื่องจากแต่ละแถวของตาราง memoization ขึ้นอยู่กับแถวด้านบนเท่านั้นการคำนวณทั้งและต้องใช้พื้นที่เท่านั้น$Half(i,j)$$Edit(i,j)$$O(mn)$$Edit(m,n)$$Half(m,n)$$O(m+n)$

ในที่สุดลำดับการแก้ไขที่เหมาะสมจะเปลี่ยนสตริงอินพุตเป็นประกอบด้วยลำดับที่ดีที่สุดที่แปลงเป็นตามลำดับที่ดีที่สุดเปลี่ยนเข้าn] หากเราคำนวณทั้งสององค์ประกอบวนซ้ำเวลาทำงานโดยรวมเป็นไปตามการเกิดซ้ำดังต่อไปนี้: มันไม่ยากที่จะพิสูจน์ว่า$A[1..m]$$B[1..n]$$A[1 .. m/2]$$B[1 .. Half(m, n)]$$A[m/2 + 1 .. m]$$B[Half(m, n) + 1 .. n]$

$$T(m,n) = \begin{cases} O(n) & \text{if $m\le 1$}\\ O(m) & \text{if $n\le 1$}\\ O(mn) + \max_h \left( T(m/2,h) + T (m/2, n−h)\right) & \text{otherwise} \end{cases}$$ $T(m,n) = O(mn)$. ในทำนองเดียวกันตั้งแต่เราเพียงต้องการพื้นที่สำหรับหนึ่งแบบไดนามิกการเขียนโปรแกรมผ่านในเวลาที่พื้นที่ทั้งหมดที่ถูกผูกไว้ยังคงเป็นn) (พื้นที่สำหรับกองการเรียกซ้ำนั้นเล็กน้อย)$O(m+n)$

อัลกอริทึมที่คุณอธิบายว่าทำงานในพื้นที่กู้คืนการแก้ไขขั้นสุดท้ายจริง ๆ และสถานะก่อนการแก้ไขขั้นสุดท้าย ดังนั้นหากคุณเรียกใช้อัลกอริทึมนี้ครั้งคุณสามารถกู้คืนลำดับการแก้ไขทั้งหมดโดยมีค่าใช้จ่ายในการเพิ่มรันไทม์ โดยทั่วไปจะมีการแลกเปลี่ยนพื้นที่เวลาซึ่งควบคุมโดยจำนวนแถวที่คุณเก็บไว้ในเวลานั้น จุดสุดยอดสองจุดของการแลกเปลี่ยนนี้คือ spaceและ spaceและระหว่างนี้ผลิตภัณฑ์ของเวลาและพื้นที่คงที่ (มากถึง O ใหญ่)$O(n_1 + n_2)$$O(n_1 + n_2)$$O(n_1n_2)$$O(n_1+n_2)$