การนับ colorings กริดที่หลีกเลี่ยงคุณสมบัติบางอย่าง

-coloring ของตารางเป็นฟังก์ชั่น[k] สี่เหลี่ยมผืนผ้าเสียในคือขอบเขตของความพึงพอใจ - นั่นคือตรงมุมทั้งสามของสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีสีเดียวกัน$k$$m \times n$$C:[m] \times [n] \to [k]$$C$$(i,i',j,j')$$C(i,j) = C(i',j) = C(i,j') \ne C(i',j')$

ฉันสนใจคำถามต่อไปนี้:

ในฐานะที่เป็นฟังก์ชันของจะมี -colorings กี่อัน (สำหรับกริดทุกขนาด) ที่หลีกเลี่ยงแถวที่ซ้ำกันคอลัมน์ที่ซ้ำกันและสี่เหลี่ยมที่หัก$k$$k$

จนถึงตอนนี้ฉันรู้ว่าคำตอบนั้นมีขอบเขตและขอบเขตบนที่ดีที่สุดที่ฉันสามารถพิสูจน์ได้คือ (ดูด้านล่าง)$k^{(1.5 k!)^2}$

ฉันจะชี้ให้เห็นว่านี่เป็นคำถามที่แตกต่างจากที่ Gasarch พูดถึงบ่อยครั้งในบล็อกของเขา (และในบทความนี้ ) เขาต้องการหลีกเลี่ยง rectangles monochromatic ทั้งหมดในขณะที่ฉันไม่รังเกียจ rectangles monochromatic มันเป็นเพียงแค่ "แตก" ที่ฉันต้องการหลีกเลี่ยง

แรงจูงใจคืออะไร? ในการเข้ารหัสเราพิจารณาปัญหาของอลิซ (ผู้ที่มี ) และบ๊อบ (ผู้ที่มี ) ทั้งการเรียนรู้สำหรับฟังก์ชั่นที่ตกลงกันไว้ในวิธีที่พวกเขาเรียนรู้ไม่เกินy) คุณสามารถเชื่อมโยงธรรมชาติกับตาราง 2 มิติดังนั้นการระบายสีตาราง มีลักษณะของปัญหาดังกล่าวของแบบฟอร์มต่อไปนี้ (แต่ด้วยสัญกรณ์ที่แตกต่างกัน): "มีคุณสมบัติที่น่าสนใจแบบเข้ารหัสบางอย่างถ้าหากมีรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าแตกหัก" สำหรับตัวอย่างดูKilian91และBeimelMalkinMicali99$x$$y$$f(x,y)$$f$$f(x,y)$$f$$f$$f$

ดังนั้นปัญหานี้เกิดขึ้นในการตั้งค่าการเข้ารหัสที่ฉันกำลังตรวจสอบอยู่ สำหรับจุดประสงค์ของฉันมันก็เพียงพอที่จะรู้ว่ามีจำนวน จำกัด ของสีกริดที่หลีกเลี่ยงรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าแตกและแถว / คอลัมน์ที่ซ้ำกัน แต่ฉันคิดว่าปัญหา combinatorial นั้นน่าสนใจและฉันเชื่อว่าขอบเขตที่ดีกว่าน่าจะเป็นไปได้

ขอบเขตที่ดีที่สุดที่ฉันสามารถพิสูจน์ได้:กำหนดและ ; ดังนั้น. ก่อนอื่นเราสามารถพิสูจน์ได้ว่าถ้าเป็นสีมีอย่างน้อยก็จะมีแถวที่ซ้ำกันหรือสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่แตกหัก สมมาตรเราสามารถแสดงสิ่งเดียวกันด้วยความเคารพต่อคอลัมน์ (การพิสูจน์นั้นค่อนข้างธรรมดาแล้วตามหลักการของ pigeonhole บน # of colours) จากนี้เรารู้ว่าสีที่เราใส่ใจทุกคนมีขนาดเล็กกว่าและเราสามารถได้ ขอบเขตบนที่หลวมมากของสีดังกล่าว$R(2)=3$$R(k) = k \cdot R(k-1)$$R(k) = 1.5 k!$$C$$k$$R(k)$$R(k) \times R(k)$$k^{R(k)^2}$

ผมคิดว่านี่จะดีขึ้นในสองวิธีแรกผมคิดว่าคุ้มค่าที่ดีที่สุดของคือ2ด้านล่างนี้เป็นตระกูลของการระบายสี (กำหนดซ้ำ) โดยที่คือ -coloring ขนาดที่หลีกเลี่ยงคุณสมบัติที่ต้องห้ามเหล่านี้:$R(k)$$2^{k-1}+1$$C_k$$k$$2^{k-1} \times 2^{k-1}$

$\qquad C_1 = [1]; \qquad C_k = \left[ \begin{array}{ccc|ccc} k & \cdots & k & \\ \vdots & \ddots & \vdots & & C_{k-1} \\ k & \cdots & k & \\ \hline & & & k & \cdots & k \\ & C_{k-1} & & \vdots & \ddots & \vdots \\ & & & k & \cdots & k \end{array} \right].$

ผมเชื่อว่าสิ่งเหล่านี้จะเป็นที่ใหญ่ที่สุด -colorings ที่หลีกเลี่ยงโครงสร้างที่ต้องห้ามเหล่านี้$k$

ประการที่สองแม้ว่าเราสามารถปรับปรุงขอบเขตบนอธิบายไว้ข้างต้นเรายังคงมีความจริงที่ว่าเป็นขอบเขตที่หยาบมากสำหรับจำนวนสีทั้งหมด สิ่งนี้จะนับความเป็นไปได้ทั้งหมดของ colorings grid ซึ่งส่วนใหญ่มีคุณสมบัติต้องห้าม$R(k)$$k^{R(k)^2}$$R(k) \times R(k)$

$k$$k$$k^{mn}$

$\ge 1-2^{-100}$