ปัญหาที่ยากสำหรับกราฟสกุลที่สูงขึ้น

17

กราฟระนาบมีสกุลศูนย์ กราฟที่ฝังอยู่บนพรูมีสกุลได้ไม่เกิน 1 คำถามของฉันง่ายมาก:

มีปัญหาใดบ้างไหมที่สามารถแก้ไขปัญหาพหุนามในกราฟระนาบ แต่ NP-hard กับกราฟของสกุลหนึ่ง?
โดยทั่วไปแล้วจะมีปัญหาใดบ้างที่สามารถแก้ไขได้แบบพหุนามในกราฟของสกุล g และ NP-hard ในกราฟของสกุล> g?

สำหรับคำถามที่สองคุณต้องการให้ปัญหาเป็น NP-hard สำหรับกราฟของสกุล> = k โดยที่ k มีค่าคงที่มากกว่า g หรือไม่? หรือคุณเพียงแค่ต้องการให้ปัญหาเป็น NP-hard สำหรับกราฟที่มีสกุลไม่น้อยกว่า g (ซึ่งเทียบเท่ากับ NP-hard สำหรับกราฟทั่วไป)

— Robin Kothari

1

ฉันกำลังมองหาปัญหา NP-Hard สำหรับกราฟของสกุล> = k โดยที่ k มีค่าคงที่มากกว่า g

— Shiva Kintali

16

นี่คือการเผยแพร่ผลงานของฉันเอง แต่จำนวนข้ามและ 1-planarity สามารถแก้ไขได้เล็กน้อยในกราฟระนาบ แต่ยากสำหรับกราฟประเภทที่หนึ่ง ดูhttp://arxiv.org/abs/1203.5944

— บางคน
แหล่งที่มา

3

"กราฟใกล้เคียงกับระนาบหากสามารถหาได้จากกราฟระนาบโดยการเพิ่มขอบกราฟเป็น 1 ระนาบถ้ามันมีรูปวาดที่ขอบทุกด้านถูกข้ามโดยที่อีกขอบหนึ่งมากที่สุดเราแสดงว่าเป็น NP - ยากที่จะตัดสินใจว่ากราฟใกล้ระนาบที่ได้รับเป็น 1 ระนาบ " ฉันต้องคิดถึงบางสิ่ง เหตุใดกราฟกราฟที่อยู่ใกล้ระนาบ 1 แผ่นจึงไม่เหมือนกัน

— Tyson Williams

4

สิ่งที่ฉันคิดว่าคุณกำลังพูดคือคุณสามารถฝังภาพถ่ายบน

และเพิ่มขอบกลับเข้าไปได้อย่างไรก็ตามขอบพิเศษนั้นสามารถข้ามมากกว่าหนึ่งขอบโดยละเมิด 1 ระนาบ

G - e

$G-e$

— ทิโมธี Sun

@TimothySun ใช่ ขอบทั้งหมดที่ไม่ใช่

จะถูกข้ามมากที่สุดหนึ่งครั้ง (โดย

) แต่

สามารถข้ามผ่านขอบอื่น ๆ ได้มากกว่าหนึ่งอันซึ่งไม่ได้รับอนุญาต ขอบคุณ

e

$e$

e

$e$

e

$e$

— Tyson Williams

4

หากปัญหาของเล่นดี:

Let และให้เป็นกราฟของพืชและสัตว์บาง 1สำหรับ CNF สูตรให้จะเข้ารหัสบางส่วนของเป็นกราฟระนาบบวกสำเนาเคลื่อนของH $g\in\mathbb{N}$ $H$ $g+1$ $\phi$ $G_\phi$ $\phi$ $H$

ได้รับซึ่งเป็นกราฟของสกุลก็เป็น NP-ยากที่จะตัดสินใจว่าคือพอใจ ปัญหานี้ แต่จะกลายเป็นน่ารำคาญ จำกัด เมื่อกราฟของพืชและสัตว์กรัม $G_\phi$ $g+1$ $\phi$ $\leq g$

— Radu Curticapean
แหล่งที่มา

2

ปัญหานี้บนกราฟของสกุล

\leq g

$\leq g$

— Sasho Nikolov

1

กราฟทั้งหมด

มีสกุล

1

ดังนั้นหากคุณ จำกัด ปัญหาเฉพาะกราฟของสกุล

คุณสามารถปฏิเสธได้เสมอ

G_{ϕ}

$G_\phi$

g + 1

$g+1$

g

$g$

— Radu Curticapean

อามันเป็นเรื่องเล็กน้อยจริงๆ ฉันเห็น

— Sasho Nikolov

2

แก้ไข (2012-09-05):ความคิดเห็นของ Jeff และ Radu นั้นถูกต้อง ผลลัพธ์ที่อ้างถึงไม่ตอบคำถาม เพื่อขยายความคิดเห็นของ Radu นี่คืออัลกอริธึมที่เกี่ยวข้องโดยBravyiซึ่งให้อัลกอริธึมสำหรับการทำสัญญาจับคู่เทนเซอร์บนกราฟมีสกุลกับเวลาทำงานโดยที่คือจำนวนขอบต่ำสุดที่ต้องลบออกจากเพื่อให้เป็นภาพถ่าย $G$ $g$ $T=poly(n) + 2^{2g} O(m^3)$ $m$ $G$

Cai, Lu และ Xiaได้พิสูจน์ให้เห็นถึงการแบ่งขั้วต่อไปนี้สำหรับปัญหาการนับ #CSP:

เราพิสูจน์ทฤษฎีบทการแบ่งขั้วที่ซับซ้อนในกรอบการนับปัญหา CSP ฟังก์ชั่นข้อ จำกัด ในท้องถิ่นรับอินพุตบูลีนและสามารถเป็นฟังก์ชั่นสมมาตรมูลค่าจริงโดยพลการ เราพิสูจน์ว่าทุกปัญหาในคลาสนี้เป็นของสามประเภทอย่างแม่นยำ:

(1) ผู้ที่มีเวไนย (เช่นคำนวณเวลาพหุนาม) บนกราฟทั่วไปหรือ
(2) ผู้ที่มี# P-อย่างหนักในกราฟทั่วไป แต่ซูฮกในกราฟเชิงระนาบหรือ
(3) ผู้ที่มี # แม้ P-ยาก บนกราฟระนาบ

เกณฑ์การจำแนกอย่างชัดเจน

— มาร์ตินชวาตซ์
แหล่งที่มา

2

สิ่งนี้ไม่ตอบคำถาม สามารถแบ่งหมวดหมู่ (2) ออกเป็น (2a) ที่สามารถตัดได้สำหรับกราฟระนาบ แต่ # P-hard สำหรับกราฟ toroidal และ (2b) สามารถตัดได้สำหรับกราฟขอบเขต - ประเภท แต่ # P-hard สำหรับกราฟประเภทไม่ได้ จำกัด ?

— Jeffε

3

กรณี (2) ประกอบด้วยปัญหาที่สามารถลดจำนวนการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบในกราฟระนาบได้โดยการแนะนำแกดเจ็ตภาพถ่ายในพื้นที่ เป็นที่รู้จักกันว่าการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบสามารถนับได้ในเวลาพหุนามบนกราฟขอบเขต - ประเภท ดังนั้นปัญหาทั้งหมดในกรณีที่ (2) จะสามารถหาได้ในกราฟขอบเขตชนิด

— Radu Curticapean

2

สำหรับการแก้ไขใด ๆ มีขั้นตอนวิธีการพหุนามเวลาเพื่อตรวจสอบว่ากราฟมีสกุล (ที่มากที่สุด) กรัมให้ เป็นปัญหาใด ๆ ที่ NP-complete บนกราฟของสกุลที่มากกว่า (เช่น 3-colourability) สำหรับแต่ละคง , ปัญหา "ไม่ป้อนข้อมูลกราฟมีประเภทที่มากที่สุด หรือจะเป็นใน (หรือทั้งสอง)?" เป็น NP-ที่สมบูรณ์แบบสำหรับการป้อนข้อมูลทั่วไป แต่มีขั้นตอนวิธีการพหุนามเวลาเมื่อป้อนข้อมูลที่ถูก จำกัด ให้กราฟของพืชและสัตว์ที่มากที่สุด กรัม $g$ $g$ $X_g$ $g$ $g$ $g$ $X_g$ $g$

$\mathcal C$ $\mathcal C$ C

— David Richerby
แหล่งที่มา