กฏการปิดสำหรับประเภทอุปนัยที่มีช่องว่างของฟังก์ชั่น

ผู้สร้างขึ้นจากผลิตภัณฑ์ จำกัด และผลรวมมีลำดับปิด $\omega$มีรายละเอียดอย่างชัดเจนใน ต้นฉบับนี้โดย Francois Metayer เช่นเราสามารถเข้าถึงประเภทอุปนัย$nat := \mu X. 1 + X$ โดยทำซ้ำ functor $1 + X$ซึ่งมาถึงจุดคงที่หลังจากนั้น $\omega$ ซ้ำ

แต่เมื่อเราอนุญาตการยกกำลังคงที่เช่นใน $\mu X. 1 + X + (nat \rightarrow X)$จากนั้น $\omega$ ไม่เพียงพอ

ฉันกำลังมองหาผลลัพธ์ที่มีการยกกำลัง กฎประเภทใดเพียงพอ

ความนิยมโดยเฉพาะจะเป็นข้อมูลอ้างอิงที่นำเสนอหลักฐานที่แสดงว่า $\alpha$- ต่อเนื่องสำหรับบางลำดับ $\alpha$ เหมือนในต้นฉบับด้านบน

คำตอบสำหรับคำถามของคุณขึ้นอยู่กับหลายสิ่งหลายอย่างที่สำคัญที่สุดซึ่งเป็นขนาดของพื้นที่การทำงานของคุณ ฉันจะอธิบาย กำหนด

$$O_0 = nat$$ $$O_{n+1} = \mu X.\ 1+X+(O_n\rightarrow X)$$ ตามที่คุณบันทึกไว้ในคำตอบของคุณแต่ละคน $O_n$สามารถพิจารณาภายในเพื่อเป็น$n$-th ปกติสำคัญของระบบของคุณ ในทฤษฎีเซตประเภทข้อมูลนี้สามารถแสดงด้วยลำดับจริงและมีขนาดใหญ่พอสมควร

อย่างไรก็ตามทฤษฏีดังกล่าวอาจถูกเพิ่มเข้าไปในทฤษฎีประเภทบางประเภทและคำถามก็กลายเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องมีการจัดลำดับการตีความตามทฤษฎีเซตให้กับสิ่งก่อสร้างนี้? ตอนนี้ถ้าเรา จำกัด ตัวเองให้มีความหมายเชิงสร้างสรรค์ความคิดตามธรรมชาติคือพยายามตีความแต่ละประเภทด้วยชุดของ "realizers" ของประเภทนี้ซึ่งเป็นส่วนย่อยของชุดของ$\lambda$-terms หรือเทียบเท่าตัวเลขธรรมชาติ $\mathbb{N}$.

ในกรณีนี้มันเป็นเรื่องง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่าลำดับที่นับได้ใด ๆ $O_n$แต่ลำดับนี้เติบโตเร็วมาก เร็วแค่ไหน? สิ่งนี้ขึ้นอยู่กับจำนวนอิสระที่คุณมีเมื่อพยายามสร้างฟังก์ชั่น ทฤษฎีการสร้างกฎดังกล่าวอธิบายไว้ในทฤษฎีของกฎเกณฑ์จำนวนมากที่วิกิพีเดียมีซึ่งน่าประหลาดใจมากที่จะพูด โดยทั่วไปมันเป็นเรื่องง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่าศาสนพิธีที่มีปัญหานั้นเล็กกว่าศาสนจักร - คลีน Ordinalยกเว้นว่าคุณอนุญาตให้มีวิธีการที่ไม่สร้างสรรค์ในการสร้างฟังก์ชัน (พูด$Beaver(n)$ ที่คำนวณหมายเลขบีเวอร์ไม่ว่างสำหรับเครื่องที่มี $n$ รัฐ)

สิ่งนี้ไม่ได้พูดมากนักยกเว้นว่าในทฤษฎีเชิงสร้างสรรค์คุณจะต้องใช้คำสั่งเชิงสร้างสรรค์เพื่อสร้างการตีความ มีมากกว่าที่จะพูดว่าเป็น ครั้งแรกมีการนำเสนอที่ดีมากโดยThierry Coquandซึ่งมีรายละเอียดว่าในกรณีที่ไม่มีตัวกำจัดสำหรับประเภทอื่น ๆ ทั้งหมด แต่$nat$คุณสามารถสร้าง $O_1$ ในสิ่งที่แน่นอน $\epsilon_0$ ขั้นตอน

โดยทั่วไปดูเหมือนว่าจะมีการติดต่อระหว่างความแข็งแกร่งเชิงตรรกะของทฤษฎีประเภทและขนาดของลำดับที่ใหญ่ที่สุดที่มันสามารถเป็นตัวแทนในลักษณะนี้ จดหมายโต้ตอบนี้เป็นหัวข้อของการวิเคราะห์ตามลำดับซึ่งได้รับการศึกษามาอย่างยาวนานตั้งแต่อายุหกสิบเศษปลายและยังอยู่ระหว่างการศึกษาในวันนี้ (พร้อมคำถามเปิดที่น่าอัศจรรย์) เตือนว่า: เนื้อหาเป็นเรื่องทางเทคนิคตามที่เป็นที่น่าสนใจ

หวังว่านี่จะช่วยได้

ฉันคิดว่าฉันพบคำตอบที่ใช้ได้กับหมวดหมู่อย่างเพียงพอเช่นตั้งค่า เป็นทฤษฎีบท 3.1.12 ในจีบราส์เริ่มต้นและเทอร์มินัลโคลเชส: การสำรวจโดย Adamek, Milius และ Moss

คำตอบคือไม่มีใครสามารถจัดลำดับได้เพียงพอสำหรับหน้าที่ดังกล่าวทั้งหมด พวกมันใหญ่ขึ้นโดยพลการ

แม่นยำยิ่งขึ้นสำหรับ $F(X) = C_0\times(A_0 \rightarrow X) + C_1\times(A_1 \rightarrow X)\;+\;...\;+\; C_n\times(A_n \rightarrow X)$คำตอบคืออันดับแรกปกติมากกว่าทั้งหมด$A_i$. เราพูดว่า$\alpha$ เป็นเรื่องปกติถ้าสำหรับทุกคน $\beta < \alpha$ทั้งหมด $\beta$- ดัชนีโซ่ของเลขลำดับ < $\alpha$ มีจำนวนสูงสุด $\alpha$. ประมาณ$\alpha$ ไม่สามารถเข้าถึงได้จากสายโซ่ขนาดเล็กที่มีขนาดเล็กกว่าปกติ

ผลลัพธ์ที่สำคัญคือสำหรับ $\alpha$ ลำดับปกติผู้ก่อตั้ง $\alpha$- การปลูกต้นไม้มีความลึกแบบ transfinite < $\alpha$.

ฉันเข้าใจเป็นอย่างไม่เป็นทางการ $f : A_k \rightarrow F^\alpha(0)$ (เช่น $f : A_k \rightarrow \bigcup_{i<\alpha} F^i(0)$) "พอดีกับ" $A_k \rightarrow F^j(0)$ ที่ไหน $j := \mathrm{sup}_{(a:A_k)} \text{``the i such that }f(a) \text{ fits into } F^i(0)"$. ที่$j < \alpha$ ถือได้อย่างแม่นยำเพราะ $\alpha$ เป็นปกติและ $|A_k| < \alpha$.

ดังนั้น $(A_k \rightarrow \bigcup_{i<\alpha}F^i(0)) \subseteq \bigcup_{j<\alpha} (A_k \rightarrow F^j(0))$ แต่ละ $k$.

ดังนั้นการขยายสิ่งนี้ไปทั่ว $+$และ $\times$เรามี: $F(F^\alpha(0)) \subseteq \bigcup_{j<\alpha}F(F^j(0)) = \bigcup_{j<\alpha}F^j(0) = F^\alpha(0)$และถึงจุดคงที่ที่ $\alpha$.

ยังไม่ชัดเจนสำหรับฉันที่จะพูดคุยเรื่องนี้เกินกว่าที่ตั้งไว้ เราจะทำยังไง$A_k$-exex colimits?