การรวมกราฟของ Combinatorial

ที่นี่: http://www.planarity.org/Klein_elementary_graph_theory.pdf (ในบทที่จัดงานแต่งงาน) จะได้รับความหมายของการฝังกราฟเชิงระนาบcombinatorial (ที่มีคำจำกัดความของใบหน้าและอื่น ๆ ) แม้ว่ามันจะสามารถใช้งานได้ง่ายสำหรับกราฟใด ๆ แต่พวกมันก็กำหนดกราฟระนาบเป็นกราฟซึ่งสูตรของออยเลอร์ถืออยู่ (สมมติว่ากราฟนั้นเชื่อมต่อกัน) เป็นที่เข้าใจกันดีว่าสำหรับทุกระนาบกราฟนิยามของใบหน้าในการฝังแบบ combinatorial นั้นคล้ายคลึงกับคำจำกัดความของใบหน้าในการฝังทอพอโลยี (สมมติว่ามีการเชื่อมต่อกับกราฟมิฉะนั้นในการฝัง combinatorial เราจะมีใบหน้าที่ไม่มีที่สิ้นสุดสำหรับทุกองค์ประกอบที่เชื่อมต่อ)

คำถามคือ: ถ้ากราฟที่เชื่อมต่อกันมันเป็นการรวมตัวกันของ combinatorial สูตรออยเลอร์หมายความว่ากราฟนี้เป็นระนาบในแง่ทอพอโลยี (มันมีการฝังเครื่องบินนั่นคือกราฟระนาบ )?

มันน้อยกว่ากราฟต่อ se และทอพอโลยี Combinatorial embedding กำหนด 2-manifold, topological space ที่ทุก ๆ จุดมี homeomorphic ที่อยู่ใกล้เคียงกับ disk open 2 มิติ: the embedding อนุญาตให้ใบหน้าถูกกำหนดและเราสามารถกำหนด topology space โดยเลือก disk สำหรับแต่ละอัน เผชิญหน้าและติดกาวเข้าด้วยกันตามขอบกราฟ ทฤษฎีบทที่รู้จักกันดีในโทโพโลยี (เรียกว่าการจำแนกประเภทของ 2- แมนิโฟลด์) บอกเราอย่างแน่ชัดว่า 2- แมนิโฟลด์เป็นไปได้และพวกมันต่างกันจากกันไม่ว่าพวกเขาจะปรับทิศทางหรือว่าพวกมันมีลักษณะออยเลอร์เหมือนกัน ) - ดูhttp://www.maths.ed.ac.uk/~aar/surgery/zeeman.pdfสำหรับบันทึกการบรรยายที่สมเหตุสมผลในเรื่องนี้ซึ่งรวมถึงหลักฐานที่คุณขอ ไม่มี 2 แมนิโฟลด์อื่น ๆ ในการจัดประเภทนี้ที่มีลักษณะออยเลอร์เหมือนกับทรงกลมดังนั้นหากคุณคำนวณลักษณะออยเลอร์และพบว่าตรงกับสูตรสำหรับทรงกลมคุณรู้ว่าการฝังของคุณต้องอยู่บนทรงกลม

การค้นหาการฝังด้วยพิกัดเชิงเรขาคณิตที่เกิดขึ้นจริงในระนาบเมื่อคุณมีการฝังแบบเชิงระนาบเชิงระนาบนั้นไม่ได้เป็นเรื่องเล็กน้อย แต่สามารถทำได้เช่นการใช้ทฤษฎีของป่าชไนเดอร์ ฉันมีบันทึกการบรรยายเกี่ยวกับเรื่องนี้ที่http://www.ics.uci.edu/~eppstein/gina/schnyder/เป็นต้น