ความยาวขอบที่ยาวที่สุดของประแจตัวโลภบนจุดกระจายที่สม่ำเสมอใน

ให้เป็นชุดของคะแนนใน d สำหรับการใด ๆเป็น -spannerเป็นกราฟไม่มีทิศทางถ่วงน้ำหนักภายใต้มาตรการ Euclidian เช่นว่าสองจุดใด ๆ , , ระยะทางที่สั้นใน , , อย่างมากคือคูณระยะทางยูคลิดระหว่างและ ,(โปรดทราบว่าคำจำกัดความนี้สามารถขยายไปยังขอบเขตการวัดโดยพลการได้อย่างง่ายดาย)N R d t ≥ 1 t G = ( P , E ) v u G d ( v , u ) t v u | v u $P$$N$$\mathbb{R}^d$$t \geq 1$$t$$G=(P, E)$$v$$u$$G$$d(v, u)$$t$$v$$u$$|v u|$

พิจารณาอัลกอริทึมต่อไปนี้ด้วยและเป็นอินพุต:$P$$t$

E = empty
for every pair of points (v, u) in ascending order under |vu|
    if the shortest path in (P, E) is more than t times |vu|
        add (v, u) to E
return E

อัลกอริธึมนี้คำนวณตัวเรียกโลภ (หรือตัวพา ธ แบบโลภ) กราฟนี้เป็นงานวิจัยจำนวนมาก: มันสร้างสไปเดอร์ที่ดีมากทั้งในทางปฏิบัติและในทางทฤษฎี

ฉันสนใจในความยาวของขอบที่ยาวที่สุดในประแจตะกละหากถูกกระจายอย่างสม่ำเสมอใน (กรณีที่ d = 2 นั้นใช้ได้เช่นกัน) ผมคาดเดาความยาวสูงสุดนี้เป็นอย่างมากเกี่ยวกับอาจมีบางส่วนปัจจัยบันทึกและปัจจัยวันที่การคาดเดานี้เกิดจากข้อมูลการทดลอง[ 0 , 1 ] d 1 / $P$$[0,1]^d$$1 / \sqrt{N}$$d$

เหตุผลสำหรับความสนใจของฉันคือฉันมีอัลกอริทึมที่คำนวณประแจโลภได้อย่างรวดเร็วหากความยาวของขอบที่ยาวที่สุดนั้นค่อนข้างสั้น หากข้อมูลข้างต้นถูกต้องแสดงว่าอัลกอริทึมของฉันใช้ได้กับสถานการณ์ข้างต้นและอาจมีประโยชน์ในทางปฏิบัติ

ฉันได้พบเอกสารบางอย่างวิเคราะห์จำนวนของขอบและระดับของประเภทอื่น ๆ ของ spanners ในการกระจายคะแนนแบบสุ่ม แต่ไม่มีความยาวของขอบที่ยาวที่สุด ทฤษฎีความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้องนั้นค่อนข้างซับซ้อนดังนั้นฉันจึงหวังว่าจะมีบางสิ่งเป็นที่รู้จักก่อนที่จะพยายามพิสูจน์ตัวเอง

ในการสร้างการกระจายกระดาษที่ละเอียดอ่อนของ Greedy Spanner (ยอมรับสำหรับ ESA 2014) เราได้พิสูจน์สิ่งต่อไปนี้ (การรวมทฤษฎีบท 4 และบทแทรก 6):

มีอยู่ขึ้นอยู่เฉพาะบนเสื้อดังกล่าวว่าสำหรับทุกค> 0ถ้าPเป็นชุดของจุดที่สม่ำเสมอและเป็นอิสระกระจายที่สุ่มใน$c_t$$t$$c > 0$$P$ตารางและnเป็นพอใหญ่แล้วมีโอกาสอย่างน้อย1-nค, โลภเสื้อ-spanner บนPไม่มีขอบนานกว่าค⋅คทีบันทึกn$\sqrt{n} \times \sqrt{n}$$n$$1 - n^c$$t$$P$$c \cdot c_t \log n$

ขอบเขตของเราในนั้นค่อนข้างใหญ่ แต่เรามีหลักฐานเชิงทดลองว่าขอบเขต 'ถูกต้อง' คือ$c_t$ n$\frac{1}{\sqrt[4]{t-1}} \cdot \frac{\log n}{\log \log n}$