มีหลักฐานว่าการเพิ่มเร็วกว่าการคูณหรือไม่?

ขอบเขตบนที่ดีที่สุดที่รู้จักกันในความซับซ้อนของเวลาของการคูณคือ Martin fürer's bound ซึ่งมากกว่าความซับซ้อนเชิงเส้นเวลาของการบวก เรามีหลักฐานว่าการเติมนั้นง่ายกว่าการคูณหรือเปล่า $n\log n2^{O(\log^* n)}$

cc.complexity-theory time-complexity

— Hooman
แหล่งที่มา

แก้ไขเวลาที่ถูกผูกไว้

— Jeffε

ดูปัญหาที่ยังไม่ทราบที่สำคัญใน TCS

— vzn

มันจะขึ้นอยู่กับว่าคุณเป็นตัวแทนตัวเลขของคุณอย่างไร ถ้าคุณจัดการกับการเข้าสู่ระบบของการคูณจำนวนที่มีการได้เร็วขึ้นนอกจากนี้ที่ (มันต้องมีธารและบันทึก)

— วงล้อประหลาด

เลขที่

ไม่มีขอบเขตที่ต่ำกว่าดีกว่าแบบไม่มีเงื่อนไขที่ดีกว่าในปัจจุบันสำหรับการคูณจำนวนเต็ม มีขอบเขตที่ต่ำกว่าเงื่อนไขบางอย่างแม้ว่า สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้คุณสามารถดูได้ที่มาร์ตินกระดาษ Furer ของได้เร็วขึ้นจำนวนเต็มคูณ $\Omega(n)$

แก้ไขดังต่อไปนี้ความคิดเห็นของ Andrej: เพิ่มสามารถทำได้ในเวลา )ในการเปรียบเทียบที่รู้จักกันดีที่ถูกผูกไว้บนสำหรับการคูณ (โดยประมาณ) )ในทางตรงกันข้ามไม่มีขอบเขตล่างที่ไม่สำคัญสำหรับการคูณดังนั้นจึงไม่มีข้อพิสูจน์ว่าการเพิ่มนั้นเร็วกว่าการคูณ บ่อยครั้งที่ในทฤษฎีความซับซ้อนเราก็ไม่รู้เหมือนกัน $\mathcal O(n)$ $\mathcal O(n\log n)$

— บรูโน่
แหล่งที่มา

สำหรับฉันแล้วดูเหมือนว่ากระดาษไม่ได้พิสูจน์ว่าการเพิ่มนั้นเร็วกว่าการคูณ ฉันควรสรุปว่ายังไม่มีข้อพิสูจน์สำหรับเรื่องนั้นหรือ

— Hooman

สิ่งที่บรูโน่พูดคือ: เราสามารถเพิ่มเวลาเชิงเส้นได้อย่างชัดเจนและเราไม่สามารถทำได้เร็วกว่าเวลาเชิงเส้น (เพราะคุณต้องดูที่อินพุต) ดังนั้นการแสดงว่าการเพิ่มนั้นยากกว่าการคูณจึงเหมือนกับการแสดงว่าการคูณไม่สามารถทำได้ในเวลาเชิงเส้น แต่ไม่มีหลักฐานดังกล่าว

— Andrej Bauer

@ และคุณหมายถึง "การแสดงการคูณนั้นยากกว่าการเติม" ใช่ไหม? โปสเตอร์ทำให้มันปะปนกับคำถามรุ่นก่อนหน้า ยังเล่นลิ้นไม่มีหลักฐานดังกล่าวเป็นที่รู้จักกัน นอกจากนี้ยังดูเหมือนว่าผู้สมัครที่ดีสำหรับ mathoverflow, "ส่วนใหญ่ที่เห็นได้ชัดปัญหาเปิดในทฤษฎีความซับซ้อน"

— vzn

@vzn เป็นคำตอบที่ยอดเยี่ยมสำหรับคำถาม MO ว่า IMO

— Sasho Nikolov

@SashoNikolov ฉันไม่แน่ใจ - ฉันไม่รู้ว่าการคูณใน O (n) จะเป็นเรื่องที่น่าตกใจหรือไม่ น่าประหลาดใจอย่างแน่นอน แต่ AFAIK ไม่มีเหตุผลที่ดียกเว้นโดยการเปรียบเทียบกับปัญหาเช่นการเรียงลำดับการแปลงฟูริเยร์ ฯลฯ เชื่อว่าปัญหาการคูณ 'ตามธรรมชาติ' O (n ^ 2) ไม่สามารถทำให้ง่ายขึ้นจนถึงเวลาเชิงเส้น .

— Steven Stadnicki