ทำไมการวิเคราะห์ฟูริเยร์ของฟังก์ชั่นบูลีนจึง“ ทำงาน”?

หลายปีที่ฉันคุ้นเคยกับการเห็นทฤษฎีบท TCS จำนวนมากที่พิสูจน์แล้วโดยใช้การวิเคราะห์ฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง การแปลง Walsh-Fourier (Hadamard) มีประโยชน์ในแทบทุกสาขาย่อยของ TCS รวมถึงการทดสอบคุณสมบัติการปลอมแปลงความซับซ้อนการสื่อสารและการคำนวณควอนตัม

ในขณะที่ฉันรู้สึกสบายใจกับการใช้การวิเคราะห์ฟูริเยร์ของฟังก์ชั่นบูลีนเป็นเครื่องมือที่มีประโยชน์มากเมื่อฉันจัดการกับปัญหาและแม้ว่าฉันจะมีลางสังหรณ์ที่ดีซึ่งกรณีที่ใช้การวิเคราะห์ฟูริเยร์อาจให้ผลลัพธ์ที่ดี ฉันต้องยอมรับว่าฉันไม่แน่ใจจริงๆว่ามันคืออะไรที่ทำให้การเปลี่ยนแปลงพื้นฐานนี้มีประโยชน์มาก

ไม่มีใครมีสัญชาตญาณว่าทำไมการวิเคราะห์ฟูริเยร์จึงมีผลในการศึกษา TCS หรือไม่? ทำไมปัญหาที่ยากลำบากมากมายดูเหมือนจะได้รับการแก้ไขโดยการเขียนส่วนขยายฟูริเยร์และดำเนินการจัดการบางอย่าง?

หมายเหตุ: ปรีชาหลักของฉันป่านนี้น้อยอาจเป็นว่าเรามีความเข้าใจที่ดีเกี่ยวกับวิธีการทำงานของพหุนามและการแปลงฟูริเยร์เป็นวิธีธรรมชาติของการดูฟังก์ชั่นเป็นพหุนามหลายชั้น แต่ทำไมฐานนี้โดยเฉพาะ มีอะไรพิเศษในฐานของความเท่าเทียมกัน?

$f: \{0,1\}^n\to\mathbb{R}$$\sigma_w$$w\in\{0,1\}^n$$f(x)$$f(x+w)$. ในหลายคำถามของ TCS มีความจำเป็นพื้นฐานในการวิเคราะห์ผลกระทบที่ผู้ประกอบการดังกล่าวมีในฟังก์ชั่นบางอย่าง

ตอนนี้ประเด็นก็คือพื้นฐานของฟูริเยร์เป็นพื้นฐานที่ทำให้ผู้ประกอบการเหล่านั้นกระจายตัวในแนวทแยงมุมในเวลาเดียวกันซึ่งทำให้การวิเคราะห์ผู้ประกอบการเหล่านั้นง่ายขึ้นมาก โดยทั่วไปแล้วฟูเรียร์พื้นฐานทำให้ผู้ประกอบการสนทนาชักจูงซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของคำถามเหล่านี้ ดังนั้นการวิเคราะห์ฟูริเยร์จึงน่าจะมีประสิทธิภาพทุกครั้งที่ต้องการวิเคราะห์ตัวดำเนินการเหล่านั้น

$f:G\to \mathbb{C}$$G$$\sigma_h$$h\in G$$f(x)$$f(x\cdot h)$

นี่อาจเป็นคำถามอีกข้อหนึ่ง

สมมติว่าฟังก์ชั่นหลอกบูลีนเป็น k- ขอบเขตการเป็นตัวแทนพหุนาม Walsh ของฟังก์ชั่นสามารถสลายตัวลงในฟังก์ชั่นย่อย k คำศัพท์เชิงเส้นทั้งหมดจะถูกเก็บรวบรวมไว้ในหนึ่งฟังก์ชั่นย่อยทั้งหมดของการติดต่อแบบคู่ตามลำดับทั้งหมดในหนึ่งฟังก์ชั่นย่อยจากนั้นก็มีปฏิสัมพันธ์ 3 ทาง ฯลฯ

หนึ่งใน subfunctions เหล่านี้คือ "ภูมิทัศน์เบื้องต้น" และดังนั้นแต่ละ subfunctions เป็น eigenvector ของ Laplacian adjacency matrix (เช่น, ระยะทาง Hamming 1 ละแวก). แต่ละฟังก์ชั่นย่อยมี "สมการคลื่น" ที่สอดคล้องกันของชนิดที่พบในภูมิประเทศเบื้องต้นทั้งหมด ยกเว้นตอนนี้มี k สมการคลื่นที่ทำหน้าที่รวมกัน

การรู้สมการของคลื่นทำให้สามารถกำหนดลักษณะของพื้นที่การค้นหาที่สอดคล้องกันในรูปแบบที่ค่อนข้างแม่นยำ คุณสามารถคำนวณค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนและเอียงบนลูกบอล Hamming ตามอำเภอใจ (ใหญ่ชี้แจงแทน) และบนไฮเปอร์เพลนตามอำเภอใจของพื้นที่การค้นหา

ดูผลงานของ Peter Stadler เกี่ยวกับภูมิประเทศเบื้องต้น

Andrew Sutton และ I (Darrell Whitley) ได้ทำงานเกี่ยวกับการใช้วิธีการเหล่านี้ในการทำความเข้าใจและปรับปรุงอัลกอริทึมการค้นหาในท้องถิ่นสำหรับการเพิ่มประสิทธิภาพหลอกเทียมบูลีน คุณสามารถใช้ชื่อพหุนาม Walsh เพื่อระบุการปรับปรุงการเคลื่อนไหวสำหรับอัลกอริทึมการค้นหาในท้องถิ่น ไม่จำเป็นต้องระบุพื้นที่ใกล้เคียงแบบสุ่มของพื้นที่ค้นหาใด ๆ การวิเคราะห์วอลช์สามารถบอกคุณได้โดยตรงว่ามีการเคลื่อนไหวที่ดีขึ้นอย่างไร

คำตอบที่ดีสำหรับคำถามนี้อาจยังไม่มีอยู่เนื่องจากเป็นงานวิจัยที่ค่อนข้างใหม่และมีความกระตือรือร้น เช่น Ingo Wegeners หนังสือที่ครอบคลุมเกี่ยวกับฟังก์ชั่นบูลีนจากปี 1987 ไม่มีอะไรในเรื่อง (ยกเว้นสำหรับการวิเคราะห์ความซับซ้อนของวงจรของ DFT)

สัญชาตญาณง่าย ๆ หรือการคาดเดาก็คือมันปรากฏว่าค่าสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ขนาดใหญ่ของลำดับที่สูงขึ้นบ่งบอกถึงการมีอยู่ของฟังก์ชั่นย่อยที่จะต้องคำนึงถึงตัวแปรอินพุตจำนวนมากและจึงต้องใช้ประตูหลาย นั่นคือการขยายฟูริเยร์เป็นวิธีธรรมชาติในการวัดปริมาณความแข็งของฟังก์ชันบูลีน ไม่ได้เห็นสิ่งนี้พิสูจน์โดยตรง แต่คิดว่ามันเป็นนัยในผลลัพธ์หลายอย่าง เช่น Khrapchenkos ขอบเขตล่างสามารถสัมพันธ์กับค่าสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ได้ [1]

การเปรียบเทียบแบบคร่าวๆอื่นสามารถยืมจาก EE หรือสาขาวิศวกรรมอื่น ๆ ในระดับหนึ่งซึ่งการวิเคราะห์ฟูริเยร์ถูกนำมาใช้อย่างกว้างขวาง มันมักจะใช้สำหรับฟิลเตอร์ EE / การประมวลผลสัญญาณ ค่าสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์แสดงถึง "แบนด์" ของฟิลเตอร์ เรื่องราวที่มีก็คือ "เสียง" ดูเหมือนว่าจะปรากฏในช่วงความถี่เฉพาะเช่นต่ำหรือสูง ในการเปรียบเทียบกับ "เสียง" คือ "สุ่ม" ในซีเอส แต่มันก็ชัดเจนจากการวิจัย (ถึงเหตุการณ์สำคัญใน e กรัม [4]) ว่าการสุ่มนั้นเป็นแบบเดียวกับความซับซ้อน (ในบางกรณี "เอนโทรปี" ก็ปรากฏในบริบทเดียวกัน) การวิเคราะห์ฟูริเยร์ดูเหมือนว่าจะเหมาะสมกับการศึกษา "เสียง" แม้ในการตั้งค่า CS [2]

สัญชาตญาณหรือภาพอื่นมาจากทฤษฎีการลงคะแนน / ตัวเลือก [2,3] มันเป็นประโยชน์ในการวิเคราะห์ฟังก์ชั่นบูลีนว่ามีส่วนประกอบย่อยที่ "โหวต" และมีอิทธิพลต่อผลลัพธ์ การวิเคราะห์การลงคะแนนคือการแยกประเภทของระบบสำหรับฟังก์ชั่น นี่ยังยกระดับทฤษฎีการลงคะแนนบางส่วนซึ่งมาถึงความสูงของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์และเห็นได้ชัดว่ามีการใช้การวิเคราะห์ฟูริเยร์ในฟังก์ชันบูลีนมาก

นอกจากนี้แนวคิดเรื่องความสมมาตรนั้นดูเหมือนจะสำคัญที่สุดในการวิเคราะห์ฟูริเยร์ ยิ่งฟังก์ชั่น "สมมาตร" มากเท่าไหร่ค่าสัมประสิทธิ์ของฟูริเยร์ก็จะถูกยกเลิกและยิ่งฟังก์ชั่น "ง่าย" มากขึ้นก็คือการคำนวณ แต่ยิ่ง "สุ่ม" มากขึ้นและทำให้ฟังก์ชันมีความซับซ้อนมากขึ้นค่าสัมประสิทธิ์การยกเลิกก็จะยิ่งน้อยลง กล่าวอีกนัยหนึ่งความสมมาตรและความเรียบง่ายและความไม่สมดุลในทางตรงกันข้ามและความซับซ้อนในฟังก์ชั่นดูเหมือนจะมีการประสานงานในลักษณะที่การวิเคราะห์ฟูริเยร์สามารถวัดได้

[1] ในการวิเคราะห์ฟูริเยร์ของฟังก์ชันบูลีนโดย Bernasconi, Codenotti, Simon

[2] แนะนำสั้น ๆ เกี่ยวกับการวิเคราะห์ฟูริเยร์ในลูกบาศก์บูลีน (2008)โดย De Wolf

[3] บางหัวข้อเกี่ยวกับการวิเคราะห์ฟังก์ชั่นบูลีนโดย O'Donnell

[4] ปรู๊ฟธรรมชาติโดย Razborov & Rudich