การประยุกต์ทฤษฎีการเป็นตัวแทนของกลุ่มสมมาตร

ได้รับแรงบันดาลใจจากคำถามนี้และโดยเฉพาะอย่างยิ่งย่อหน้าสุดท้ายของคำตอบของ Or ฉันมีคำถามต่อไปนี้:

คุณรู้เกี่ยวกับการประยุกต์ใช้ทฤษฎีการเป็นตัวแทนของกลุ่มสมมาตรใน TCS หรือไม่?

กลุ่มสมมาตร$S_n$คือกลุ่มของพีชคณิตทั้งหมดของ$\{1, \ldots, n\}$มีองค์ประกอบการทำงานเป็นกลุ่ม เป็นตัวแทนของ$S_n$เป็น homomorphism จาก$S_n$เพื่อให้ตรงกลุ่มทั่วไปของ invertible $n \times n$เมทริกซ์ที่ซับซ้อน การเป็นตัวแทนกระทำบน$\mathbb{C}^n$โดยการคูณเมทริกซ์ การเป็นตัวแทนลดลงของ$S_n$คือการกระทำที่ทำให้ไม่มีช่องว่างที่เหมาะสมของ$\mathbb{C}^n$ไม่แปรเปลี่ยน การเป็นตัวแทนที่ไม่ลดทอนของกลุ่ม จำกัด อนุญาตให้กลุ่มหนึ่งนิยามฟูเรียร์มากกว่ากลุ่มที่ไม่ใช่ศาสนาคริสต์ ฟูริเยร์นี้แปลงคุณสมบัติที่ดีบางส่วนของฟูเรียร์แบบไม่ต่อเนื่องที่แปลงเป็นกลุ่มวงจร / abelian ยกตัวอย่างเช่นการบิดกลายเป็นการคูณแบบพอยต์ในพื้นฐานฟูริเยร์

ทฤษฎีการแสดงของกลุ่มสมมาตรคือรวมกันอย่างสวยงาม แต่ละแทนที่ลดลงของ$S_n$สอดคล้องกับพาร์ทิชันจำนวนเต็มของnโครงสร้างนี้และ / หรือการแปลงฟูริเยร์เหนือกลุ่มสมมาตรพบการใช้งานใด ๆ ใน TCS หรือไม่?$n$

นี่คือตัวอย่างอื่น ๆ

1. Diaconis และ Shahshahani (1981) ศึกษาว่าต้องมีการขนย้ายแบบสุ่มจำนวนเท่าใดเพื่อสร้างการเปลี่ยนแปลงแบบใกล้เคียง พวกเขาพิสูจน์ขีด จำกัด ที่คมชัดของ 1/2 n log (n) +/- O (n) สร้างเรียงสับเปลี่ยนสุ่มกับสุ่ม transpositions

2. Kassabov (2005) พิสูจน์ให้เห็นแล้วว่าเราสามารถสร้างตัวขยายองศาที่มีขอบเขตบนกลุ่มสมมาตร สมมาตรกลุ่มและ Expander กราฟ

3. Kuperberg, Lovett และ Peled (2012) พิสูจน์ว่ามีพีชคณิตชุดเล็ก ๆ ซึ่งทำหน้าที่เหมือนกันบน k-tuples การดำรงอยู่ของความน่าจะเป็นของโครงสร้าง combinatorial แข็ง

$S_n$$H_0(S_n)$$(\min,+)$

A. Tiskin การเปรียบเทียบสตริงกึ่งโลคอล: เทคนิคและแอพพลิเคชั่น http://arxiv.org/abs/0707.3619

นี่คือตัวอย่างหนึ่งที่ฉันรู้:

`` การคาดคะเน 'Log-Rank' ในการสื่อสารที่ซับซ้อน '' , R.Raz, B.Spieker,

Proceeding of the 34th FOCS, 1993, pp. 168-177
Combinatorica 15(4) (1995) pp. 567-588 

ฉันเชื่อว่ามีมากขึ้น

นี่คือตัวอย่างจากการคำนวณควอนตัม:

Roland, Jeremie; Roetteler มาร์ติน; Magnin, Loïck; Ambainis, Andris (2011), "ผู้ช่วยสมมาตรที่ได้รับการช่วยเหลือสำหรับการสร้างรัฐควอนตัม", การประชุมวิชาการประจำปีครั้งที่ 26 ของ IEEE ครั้งที่ 26 เรื่องความซับซ้อนในการคำนวณ, CCC '11, IEEE Computer Society, หน้า 167-107 / CCC 2,011.24

พวกเขาแสดงให้เห็นว่าความซับซ้อนของการสืบค้นควอนตัมของปัญหาบางอย่างที่เรียกว่าการลบดัชนีคือโดยใช้ทฤษฎีการแทนของกลุ่มสมมาตรเพื่อสร้างเมทริกซ์ฝ่ายตรงข้ามที่ดีที่สุด$\Omega(\sqrt{n})$

1. เล่มที่ 3 ของศิลปะการเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์อุทิศให้กับการค้นหาและการเรียงลำดับและอุทิศให้กับการผสมผสานและการเรียงสับเปลี่ยนและการสื่อสารแบบโรบินสัน - ชเนสเตด - นูทซึ่งเป็นหัวใจสำคัญในการเป็นตัวแทนของกลุ่มสมมาตร

2. มีเอกสารหลายเอลลิส-Friedgut-Pilpel และเอลลิส-Friedgut-Filmus ซึ่งแก้ปัญหา combinatorial extremal โดยใช้การวิเคราะห์สอดคล้องกันในการเป็นS_nไม่ใช่ TCS แต่อยู่ใกล้$S_n$

3. Ajtai มีผลลัพธ์ที่ยอดเยี่ยมในช่วงต้นทศวรรษที่ 90 ในการแสดงแบบแยกส่วนของซึ่งได้รับแรงบันดาลใจจากคำถามความซับซ้อนในการคำนวณ ฉันจำรายละเอียดไม่ได้หรือถ้ามันถูกตีพิมพ์ แต่มันก็คุ้มค่าที่จะอ่าน!$S_n$

กลุ่มสมมาตรท้าทายการสุ่มตัวอย่างฟูริเยร์ที่แข็งแกร่งโดย Moore, Russell, Schulman

"เราแสดงให้เห็นว่าปัญหากลุ่มย่อยที่ซ่อนอยู่ในกลุ่มสมมาตรไม่สามารถแก้ไขได้อย่างมีประสิทธิภาพโดยการสุ่มตัวอย่างฟูริเยร์ที่แข็งแกร่ง ... ผลลัพธ์เหล่านี้ใช้กับกรณีพิเศษที่เกี่ยวข้องกับปัญหากราฟ Isomorphism"

ด้วยการเชื่อมต่อกับการแก้ปัญหากราฟ Isomorphism ผ่านแนวทาง QM

วินาที 5 ทฤษฎีการเป็นตัวแทนของกลุ่มสมมาตร

สถิติมากกว่าวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ แต่ก็ยังน่าสนใจ: ในบทที่ 8 ในเอกสารของ Diaconis เกี่ยวกับความเป็นไปได้ของกลุ่มและความน่าจะเป็นสถิติเทคนิคการวิเคราะห์สเปกตรัมสำหรับข้อมูลที่เกี่ยวข้องกับกลุ่มได้รับการพัฒนา นี่เป็นการขยายการวิเคราะห์สเปกตรัมแบบคลาสสิกมากขึ้นของข้อมูลอนุกรมเวลากล่าวโดยที่ธรรมชาติเป็นจริงหรือจำนวนเต็มภายใต้นอกจากนี้ การใช้เป็นเมื่อมีการจัดอันดับข้อมูล เอกสารจะเข้าสู่การตีความค่าสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ของข้อมูลการจัดอันดับ ในกรณีนั้นชุดข้อมูลจะถูกแสดงด้วย sparseG G S n f : S n → R$G$$G$$G$$S_n$$f:S_n \rightarrow \mathbb{R}^+$ ซึ่งการจัดอันดับแผนที่ (ที่กำหนดโดยการเปลี่ยนแปลง) กับเศษส่วนของประชากรที่ชอบการจัดอันดับ

นอกจากนี้ในบทเดียวกันการวิเคราะห์ฟูริเยร์เหนือกลุ่มสมมาตรและกลุ่มอื่นใช้เพื่อให้ได้แบบจำลองและการทดสอบ ANOVA

ส่วนขยายตามธรรมชาติของสิ่งนี้คือทฤษฎีการเรียนรู้เชิงสถิติสำหรับการจัดอันดับปัญหาที่ได้รับประโยชน์จากเทคนิคการแสดงเชิงทฤษฎีในลักษณะที่คล้ายคลึงกับวิธีการเรียนรู้ทฤษฎีสำหรับการจำแนกไบนารีภายใต้การแจกแจงแบบเดียวกัน

ทฤษฎีการเป็นตัวแทนของกลุ่มสมมาตรมีบทบาทสำคัญในแนวทางเชิงเรขาคณิตที่ซับซ้อนเพื่อลดขอบเขตบนตัวกำหนดหรือการคูณเมทริกซ์

• Bürgisserและ Ikenmeyerพิสูจน์ผูกพันที่ลดลงในชายแดนยศคูณเมทริกซ์โดยใช้ทฤษฎีการแสดงของS_n$S_n$

• สำหรับทฤษฎีการเป็นตัวแทนของเกี่ยวข้องกับขอบเขตล่างของดีเทอร์มิแนนต์ดูทฤษฎีเชิงซ้อนเชิงเรขาคณิต II: สู่สิ่งกีดขวางที่ชัดเจนสำหรับงานแต่งงานในหมู่สายพันธุ์และทฤษฎีความซับซ้อนเชิงเรขาคณิต VI: ip ผ่านทางบวก$S_n$

• วิทยานิพนธ์ปริญญาเอก Huangs, ความน่าจะเป็นเหตุผลและการเรียนรู้พีชคณิต: การใช้ประโยชน์จากการสลายตัวของโครงสร้างของกลุ่มได้ส่วน แอปพลิเคชันคือ "สถานการณ์จำลองการติดตามหลายคนแบบใช้กล้องจริง"

• ฟูริเยร์ทฤษฎีการอนุมานความน่าจะเป็นมากกว่าการเรียงสับเปลี่ยนโดย Huang, Guestrin, Guibas; วารสารการวิจัยการเรียนรู้ของเครื่อง 10 (2009) 997-1070 ดูตัวอย่างที่ 5 ทฤษฎีการเป็นตัวแทนกลุ่ม Symmetric

• กระดาษใบสมัครหลายแทร็กอื่น การติดตามวัตถุหลายอย่างพร้อมด้วยการเป็นตัวแทนของกลุ่มสมมาตร (2007)โดย Kondor, Howard, Jebara

• การเรียนรู้การแจกแจงความน่าจะเป็นมากกว่าการเรียงสับเปลี่ยนโดยค่าสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์, Irurozki, Calvo, Lozano (Dept CS / AI) ดูวินาที 2 การแปลงฟูริเยร์ในกลุ่ม Symmetric

การประยุกต์ใช้ทฤษฎีการเป็นตัวแทนของกลุ่มสมมาตรในการคำนวณพหุนามหลายสีของกราฟโดย Klin และ Pech

กระดาษที่ถูกอ้างถึงอย่างนี้โดย Beals, 1997, STOC ดูเหมือนจะพิสูจน์ว่าการคำนวณควอนตัมของการแปลงฟูริเยร์เหนือกลุ่มสมมาตรอยู่ใน BQP เช่นเวลาควอนตัมควอนตัม

ตัวอย่างที่เก่ากว่า แต่ยังคงมีการวิจัยล่าสุด / ต่อเนื่องบางส่วนของทฤษฎีนี้แสดงให้เห็นในคณิตศาสตร์ของ"การสลับที่สมบูรณ์แบบ"ซึ่งถูกมองว่าเป็นองค์ประกอบของกลุ่มสมมาตร & ซึ่งเป็นการค้นพบที่มีชื่อเสียงในเวลา [1] กล่าวถึงแอพพลิเคชั่นของอัลกอริธึมการสลับแบบขนานที่สมบูรณ์แบบและการเชื่อมต่อกับ Cooley-Tukey O (n log n) DFT [2] ล่าสุด การสลับที่สมบูรณ์แบบแสดงขึ้นในการประมวลผลแบบขนาน [3], การออกแบบหน่วยความจำและเครือข่ายการเรียงลำดับ

[1] คณิตศาสตร์ของการสลับที่สมบูรณ์แบบโดย Diaconis, Graham, Cantor 1983

[2] วงรอบของการสับเปลี่ยนสับเปลี่ยนหลายทางที่สมบูรณ์แบบโดย Ellis, Fan, Shallit (2002)

[3] การประมวลผลแบบขนานด้วยการสลับที่สมบูรณ์แบบโดย Stone, 1971

[4] เครือข่ายโอเมก้าอิงจากการสับที่สมบูรณ์แบบ

[5] การสับเปลี่ยนตำแหน่งแบบขนานและต่อเนื่องและการสับแบบสมบูรณ์แบบโดยใช้ involutions Yang et al (2012)