ปัญหาที่สามารถใช้ในการแสดงผลลัพธ์ความแข็งเวลาพหุนาม

58

เมื่อออกแบบอัลกอริทึมสำหรับปัญหาใหม่ถ้าฉันไม่พบอัลกอริธึมเวลาแบบพหุนามหลังจากผ่านไประยะหนึ่งฉันอาจลองพิสูจน์ว่ามันเป็น NP-hard แทน หากฉันประสบความสำเร็จฉันได้อธิบายว่าทำไมฉันจึงไม่พบอัลกอริธึมเวลาแบบพหุนาม ไม่ใช่ที่ฉันรู้แน่ ๆ ว่า P! = NP มันแค่นี้ดีที่สุดที่สามารถทำได้ด้วยความรู้ปัจจุบันและแน่นอนฉันทามติคือ P! = NP

ในทำนองเดียวกันบอกฉันได้พบวิธีพหุนามเวลาสำหรับปัญหาบางอย่าง แต่เวลาทำงานเป็น2) หลังจากความพยายามอย่างมากฉันก็ไม่มีความก้าวหน้าในการปรับปรุงสิ่งนี้ ดังนั้นฉันอาจลองพิสูจน์ว่ามันเป็น 3SUM-hard แทน นี่เป็นเรื่องปกติที่น่าพอใจไม่ใช่เพราะความเชื่อสูงสุดของฉันที่ 3SUM ต้องใช้เวลาแต่เพราะนี่คือสถานะปัจจุบันของศิลปะและคนฉลาดจำนวนมากพยายามปรับปรุง มันและล้มเหลว ดังนั้นมันไม่ใช่ความผิดของฉันที่ดีที่สุดที่ฉันสามารถทำได้ $O(n^2)$ $\Theta(n^2)$

ในกรณีเช่นนี้สิ่งที่ดีที่สุดที่เราทำได้คือผลความแข็งแทนขอบเขตล่างจริงเนื่องจากเราไม่มีขอบเขตต่ำสุดเชิงเส้นสำหรับเครื่องทัวริงสำหรับปัญหาใน NP

มีชุดของปัญหาที่สามารถใช้กับพหุนามวิ่งทุกครั้งหรือไม่ ตัวอย่างเช่นถ้าฉันต้องการพิสูจน์ว่ามันไม่น่าเป็นไปได้ว่าปัญหาบางอย่างมีอัลกอริทึมที่ดีกว่ามีปัญหา X บ้างไหมที่ฉันสามารถแสดงให้เห็นว่าเป็น X-hard และปล่อยให้เป็นแบบนั้น? $O(n^7)$

อัปเดต : คำถามนี้ขอมาสำหรับครอบครัวที่มีปัญหา เนื่องจากมีปัญหาหลายครอบครัวและคำถามนี้ได้รับตัวอย่างที่ยอดเยี่ยมของปัญหาที่ยากของแต่ละบุคคลฉันกำลังผ่อนคลายคำถามกับปัญหาใด ๆ ที่สามารถใช้สำหรับผลลัพธ์ความแข็งแบบพหุนามเวลา ฉันยังเพิ่มความโปรดปรานให้กับคำถามนี้เพื่อส่งเสริมคำตอบเพิ่มเติม

cc.complexity-theory lower-bounds conditional-results

— Robin Kothari
แหล่งที่มา

5

หน้าmaven.smith.edu/~orourke/TOPP/P11.htmlสรุปผลลัพธ์บางประการเกี่ยวกับขอบเขต (และด้านบน) ที่ต่ำกว่าของ 3SUM และปัญหาที่เกี่ยวข้องและคุ้มค่าที่จะอ่าน

— Tsuyoshi Ito

2

การไม่มีขอบเขตต่ำสุดเชิงเส้นเป็นสำหรับ TM ที่มีอย่างน้อยสองเทปใช่ไหม? ฉันจำได้ว่าอ่านที่ไหนสักแห่งว่าการตรวจสอบ palindrome บนเทปเดี่ยว TM มีขอบเขตล่างเป็นกำลังสอง เมื่อเราพูดถึงขอบเขตที่ต่ำกว่าใน ของชนิดกับมันยังคงโอเคที่จะสมมติว่ารุ่นที่แน่นอนของ TM ไม่สำคัญหรือไม่?

P

$P$

Ω (n^{i})

$\Omega(n^i)$

Ω (n^{i + 1})

$\Omega(n^{i+1})$

— gphilip

3

ปิดหัวข้อ: Robin, Tsuyoshi ขอบคุณสำหรับการแนะนำตระกูล 3SUM ของขอบเขตล่าง: ฉันไม่เคยได้ยินชื่อพวกเขามาก่อน

— gphilip

2

@Tsuyoshi: ขอบคุณสำหรับข้อมูล นี้คือการสำรวจความสุขในหัวข้อ: cs.mcgill.ca/~jking/papers/3sumhard.pdf @ gphilip: ฉันเพิ่งได้รับการแนะนำให้รู้จักกับปัญหานี้โดย geometers การคำนวณบางอย่าง ฉันคิดว่ามันเป็นที่รู้จักกันดีในพื้นที่นั้น

— Robin Kothari

เป็นคำถามที่ดีมาก คุณสามารถอธิบายสิ่งที่คุณหมายถึงโดย "เครื่องแบบ": คุณต้องการที่จะผูกพันจำนวนของการประมวลผลพารามิเตอร์ล่วงหน้า?

— András Salamon

35

ใช่อัลกอริทึมที่รู้จักกันดีที่สุดสำหรับ -SUM ทำงานในเวลาดังนั้นมันเป็นไปได้มากที่คุณจะเถียงปัญหาได้ยากเพราะถ้ามันอยู่ในจากนั้นคุณสามารถแก้ไข -sUM เร็ว $k$ $O(n^{\lceil k/2 \rceil})$ $n^7$ $n^{6.99}$ $14$

หมายเหตุ -SUM ปัญหาได้รับ "ง่ายขึ้น" เป็นเพิ่มขึ้น: กำหนดขั้นตอนวิธีการที่ดีขึ้นสำหรับ -SUM มันค่อนข้างง่ายที่จะได้รับการขั้นตอนวิธีการที่ดีขึ้นสำหรับ -SUM: ใช้เวลาทั้งหมดคู่ตัวเลขในของคุณ รับเช่น -SUM แทนที่แต่ละคู่กับผลรวมของทั้งสองและมองหาผลรวมของตัวเลขจากผู้ที่มีค่าเท่ากับ0จากนั้นอัลกอริทึมสำหรับ -SUM หมายถึงอัลกอริทึมสำหรับ -SUM ใส่อีกวิธีหนึ่งซึ่งเป็นขอบเขตล่างที่แน่นเป็นเวลา $k$ $k$ $k$ $2k$ $O(n^2)$ $n$ $2k$ $k$ $0$ $O(n^{k/2-\varepsilon})$ $k$ $O(n^{k-2\varepsilon})$ $2k$ $2k$ -SUM เป็นสมมติฐานที่แข็งแกร่งกว่าขอบเขตล่างที่แคบสำหรับ -SUM $k$

ตัวเลือกอื่นสำหรับปัญหาที่ยากคือ -Clique ดูของฉัน คำตอบสำหรับ -Clique เพิ่มเติมว่า หากคุณสามารถแสดง (ตัวอย่าง) ว่าอัลกอริทึมที่ดีกว่าสำหรับปัญหาของคุณแสดงถึงอัลกอริทึมสำหรับ -clique ดังนั้นจึงจำเป็นต้องมีการพัฒนาขั้นสูงเพื่อปรับปรุงอัลกอริทึมของคุณ ซับซ้อน Parameterized ให้ตัวอย่างหลายปัญหาอื่น ๆ เช่นนี้: -Clique เป็นเรื่องยากสำหรับชั้นและ -SUM เป็นเรื่องยากสำหรับ\] $k$ $O(\log n)$ $O(n^2)$ $3$ $k$ $W\[1\]$ $k$ $W\[2\]$

ให้ฉันเตือนคุณว่าถึงแม้ปัญหาเช่นนี้จะสะดวกในการทำงาน แต่ปัญหาอย่าง -SUM ไม่ได้อยู่ใน "ยากที่สุด" ในเช่นมันไม่น่าเป็นไปได้ที่ทุกปัญหาในสามารถลดระยะเวลาเชิงเส้นได้ถึง -SUM นี่เป็นเพราะ -SUM สามารถแก้ไขได้ด้วยบิตของ nondeterminism ในเวลาเชิงเส้นดังนั้นหากทุกอย่างในเวลากำลังสองสามารถลดลงเหลือ -SUM ดังนั้นและผลลัพธ์ที่น่าอัศจรรย์อื่น ๆ ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับประเด็นนี้สามารถพบได้ในบทความ"ปัญหาหนักแค่ไหน " $3$ $TIME[n^2]$ $TIME[n^2]$ $3$ $3$ $O(\log n)$ $3$ $P \neq NP$ $n^2$ (ในบางจุด "3SUM-hard" ถูกเรียกว่า " -hard"; บทความ SIGACT นี้บ่นเกี่ยวกับชื่อนั้นอย่างถูกต้อง) $n^2$

— Ryan Williams
แหล่งที่มา

4

ปัญหาเดียวที่ฉันมีกับการใช้ K-ก๊กคือ 3 ก๊กเป็นแก้ปัญหาได้ใน2.376) ถ้าเป็นกรณีที่ k-clique ดูเหมือนจะต้องการนั่นจะเป็นครอบครัวธรรมชาติที่ยิ่งใหญ่ที่จะใช้

O (n^{2} .376)

$O(n^2.376)$

Θ (n^{k})

$\Theta(n^k)$

— Robin Kothari

ฉันไม่เห็นความแตกต่างพื้นฐานระหว่างการใช้ -SUM และ -Clique -SUM อยู่ในสำหรับแม้แต่kหากคุณสามารถแสดงให้เห็นว่าอัลกอริทึมที่ดีกว่าสำหรับปัญหาของคุณหมายความว่า -Clique อยู่ในนี่เป็นหลักฐานที่ชัดเจนว่าอัลกอริทึมที่ดีกว่าสำหรับปัญหาของคุณจะหายาก

k

$k$

k

$k$

k

$k$

O (n^{k / 2})

$O(n^{k/2})$

k

$k$

k

$k$

O (n^{k / 2})

$O(n^{k/2})$

— Ryan Williams

การอ้างอิงที่เป็นระเบียบไรอัน ฉันละอายใจที่ฉันไม่เคยรู้เรื่องนี้มาก่อนเนื่องจาก 3SUM ยอดนิยมอยู่ในชุมชนเรขาคณิต แน่นอนว่าสิ่งนี้ทำให้เกิดคำถาม: มีผู้สมัครรับเลือกตั้งตามธรรมชาติสำหรับการเป็นคนยากหรือไม่

n^{2}

$n^2$

— Suresh Venkat

@Ryan: ถูกต้องพวกเขาเหมือนกัน แม้ว่าด้วย k-SUM อย่างน้อยเราก็มีหลักฐานในแบบจำลองที่อ่อนกว่าว่าขอบเขตการคาดคะเนนั้นถูกต้อง ฉันไม่รู้ว่ามีข้อโต้แย้งใด ๆ ที่แนะนำ 3-clique ไม่ควรแก้ไขได้เร็วกว่าการคูณเมทริกซ์

— Robin Kothari

@ Robin: ฉันคิดว่าครอบครัวที่มีปัญหาตามธรรมชาติกับขอบเขตล่างที่เป็นไปได้สำหรับจะเป็นคำตอบที่ดี ค่าคงที่ที่แม่นยำดูเหมือนว่าสำคัญน้อยกว่า

n^{f (k)}

$n^{f(k)}$

f (k) = Θ (k)

$f(k) = \Theta(k)$

— András Salamon

14

ทุกคู่ที่สั้นที่สุดเส้นทาง (APSP) ปัญหาเชื่อว่าจะต้องเวลา การลดลงจากวิธีนี้เป็นวิธีที่ดีในการยืนยันว่าการปรับปรุงที่ยึดตามการคูณด้วยเมทริกซ์อย่างรวดเร็ว (FMM) นั้นไม่น่าเป็นไปได้ $\Omega^\star(n^3)$

— หมดเวลา
แหล่งที่มา

2

เส้นผ่านศูนย์กลางของกราฟเป็นอย่างไร? ยังดีกว่าทำให้เป็นปัญหาในการตัดสินใจ "เส้นผ่านศูนย์กลางอย่างน้อย k หรือไม่" นี่เป็นข้อได้เปรียบของการไม่มีขีด จำกัด ยอดเยี่ยมอย่างเห็นได้ชัดเท่าที่ฉันรู้

— Raphael

9

เป็นที่เชื่อกันว่าขั้นตอนวิธีการที่ดีที่สุดสำหรับปัญหาเสื่อมเลียนแบบในพื้นที่ทำงานในมิติเวลา ปัญหามีดังต่อไปนี้: เมื่อกำหนดจุดในพื้นที่ -dimensional ด้วยจำนวนเต็มพิกัด, จุดใดวางอยู่บนไฮเปอร์เพลนทั่วไปหรือไม่? $d$ $O(n^d)$ $n$ $d$ $d+1$

ปัญหาความเสื่อมของเลียนแบบคือ -SUM ยาก ถ้าเราเสียบคาดคะเนขอบเขตล่างสำหรับ -SUM เราได้รับขอบเขตล่างของ1}) การคาดคะเนความซับซ้อนของปัญหาการเสื่อมเลียนแบบแข็งแรงมากสำหรับแม้ว่า $(d+1)$ $k$ $\Omega(n^{\lfloor d/2 \rfloor +1})$ $d \geq 3$

J. Erickson, S. Har-Peled และ DM Mount, บนปัญหา Median Square ที่น้อยที่สุด, เรขาคณิตไม่ต่อเนื่องและการคำนวณ, 36, 593-607, 2006. http://www.cs.umd.edu/~mount/Papers /dcg06-lms.pdf

J. Erickson และ R. Seidel ขอบเขตที่ต่ำกว่าดีกว่าในการตรวจจับความเสื่อมและทรงกลม การคำนวณแบบแยก Geom., 13: 41–57, 1995 http://compgeom.cs.uiuc.edu/~jeffe/pubs/degen.html

J. Erickson ขอบเขตล่างใหม่สำหรับปัญหาลำเรือนูนในมิติที่แปลก SIAM J. Comput., 28: 1198–1214, 1999. http://compgeom.cs.uiuc.edu/~jeffe/pubs/convex.html

— Guilherme D. da Fonseca
แหล่งที่มา

ฉันชอบคำตอบนี้ แต่คุณช่วยอธิบายได้ไหม ทำไมถึงเชื่อ?

— Aaron Sterling

8

ปัญหาของ Hopcroft คาดว่าจะต้องใช้เวลาเวลา: กำหนดชุดของจุดและชุดของเส้นในระนาบจุดใดที่อยู่บนบรรทัดใด ๆ หรือไม่? $\Theta(n^{4/3})$ $n$ $n$

— Jeffε
แหล่งที่มา

7

มีปัญหาที่ไม่เกี่ยวข้องกับเรขาคณิตที่ลดปัญหาของ Hopcroft หรือไม่?

— Suresh Venkat

ฉันตัดสินใจมอบรางวัลให้กับคำตอบนี้เพราะฉันไม่เคยได้ยินปัญหานี้มาก่อน

— Robin Kothari