จำนวนรอบมิลโตเนียนในกราฟสุ่ม

เราคิดว่า$G\in G(n,p),p=\frac{\ln n +\ln \ln n +c(n)}{n}$ . ดังนั้นข้อเท็จจริงต่อไปนี้จึงเป็นที่รู้จักกันดี:

$$\begin{eqnarray} Pr [G\mbox{ has a Hamiltonian cycle}]= \begin{cases} 1 & (c(n)\rightarrow \infty) \\ 0 & (c(n)\rightarrow - \infty) \\ e^{-e^{-c}} & (c(n)\rightarrow c) \end{cases} \end{eqnarray}$$

ฉันต้องการทราบผลลัพธ์เกี่ยวกับจำนวนรอบมิลโตเนียนในกราฟสุ่ม

ไตรมาสที่ 1 จำนวนรอบมิลโตเนียนรอบที่คาดไว้สำหรับเท่าใด?$G(n,p)$

ไตรมาสที่ 2 ความน่าจะเป็นสำหรับความน่าจะเป็นที่ขอบpบนG ( n , p )คืออะไร?$Pr [G \textrm{ has a *unique* Hamiltonian cycle}]$$p$$G(n,p)$

ดังที่ Yuval กล่าวว่า Q1 ง่ายต่อการตอบโดยใช้ linearity ของความคาดหวัง (สปอยเลอร์: ) ฉันไม่ทราบคำตอบที่แน่นอนของ Q2 แต่อาจดีพอถ้าคุณรู้ว่ามันต่ำมาก: สำหรับช่วงpที่มีรอบอย่างน้อยหนึ่งรอบก็ถือว่าP [ มีมากกว่าหนึ่งรอบ| มีอย่างน้อยหนึ่งรอบ] > 1 - 1 / n log n or so กล่าวอีกนัยหนึ่งเมื่อมีหนึ่งรอบมีจำนวนมาก เหตุผลก็คือเมื่อมีหนึ่งรอบมีประมาณn $(n-1)!p^n$$p$$P[\text{there is more than one cycle} | \text{there is at least one cycle}]>1-1/n^{\log n}$$n^2$$p^2$$(1-p^2)^{n^2}$$e^{-(pn)^2}$