ผลลัพธ์ที่แสดงการมีอยู่ / ไม่มีอยู่ของกราฟ จำกัด ที่มีคุณสมบัติการคำนวณเฉพาะบ่งบอกถึงความซับซ้อนบางอย่าง

มีผลลัพธ์ใด ๆ ที่ทราบว่ามีการดำรงอยู่ (หรือไม่มีอยู่) ของกราฟ จำกัด ที่มีคุณสมบัติการคำนวณเฉพาะบ่งบอกถึงความซับซ้อนบางอย่าง (เช่น P = NP)

นี่คือผลลัพธ์หนึ่งสมมุติอย่างสมบูรณ์ : หากมีกราฟ จำกัด ที่มีการแยกขอบ A, B, C และ D ซึ่งการจับคู่สูงสุดทั้งหมดมีทั้ง A, B, C และ D หรือไม่มี A, B, C และ D จากนั้น P = NP

หนึ่งผลของชนิดนี้ได้รับการพิสูจน์โดยลิปตัน"ในการพิสูจน์ว่ากราฟไม่มีก๊กขนาดใหญ่: การเชื่อมต่อกับทฤษฎีแรมซีย์" เขาเชื่อมโยงการคาดเดาขอบเขตล่างกับผลลัพธ์ทางทฤษฎีกราฟล้วนๆแสดงว่าถ้า$NP$ ไม่มีอยู่ใน $coNTIME(n^{O(\log n)})/(\log \log n)$ดังนั้นความไม่สามารถทำได้ของ $MAX-CLIQUE$หมายความว่ามีกราฟที่มีคุณสมบัติ Ramsey- ทฤษฎีที่เรียบร้อย (ดูกระดาษสำหรับคำจำกัดความ) ฉันไม่รู้ว่ามีความคืบหน้าใด ๆ ในการพิสูจน์ว่ากราฟดังกล่าวมีอยู่จริงหรือไม่

ขออภัยฉันพบคำถามอายุ 1 ปีเท่านั้นตอนนี้ ...

ในความเป็นจริงมีผลลัพธ์จำนวนมากแสดงให้เห็นว่ากราฟที่ชัดเจนกับคุณสมบัติบางอย่างบ่งบอกถึงขอบเขตที่ต่ำกว่าที่แข็งแกร่งสำหรับฟังก์ชั่นบูลีน บอกว่ากราฟของการเลียนแบบสูงหรือมิติฉายแววหมายถึงขอบเขตที่ต่ำกว่าที่แข็งแกร่งสำหรับสูตรและโปรแกรมการแตกแขนง นอกจากนี้ยังมีการวัดกราฟที่ "ง่ายกว่า" ขอบเขตที่ต่ำกว่าซึ่งจะมีผลกระทบอย่างมากต่อความซับซ้อนในการคำนวณ ขอผมร่างบางคน

ดูกราฟเป็นชุดของขอบ ปล่อย$s(G)$ เป็นจำนวนที่น้อยที่สุด $s$ ดังนั้น $G$ สามารถเขียนเป็นจุดตัดของ $\leq s$ กราฟซึ่งแต่ละอันเป็นสหภาพ $\leq s$bicliques (กราฟสองส่วนสมบูรณ์) นับง่ายแสดงให้เห็นว่า$s(G)\geq n^{1/2}$ สำหรับสองฝ่ายเกือบทั้งหมด $n\times n$กราฟ แต่จากผลลัพธ์ขององอาจกราฟสองฝ่ายอย่างชัดเจน$G$ (ลำดับที่มากขึ้นของกราฟ) ด้วย $s(G)\geq n^c$ สำหรับค่าคงที่ $c>0$จะแก้ปัญหาเก่า: จะให้ฟังก์ชันบูลีนซึ่งไม่สามารถคำนวณได้จากวงจรเชิงลึกของขนาดเชิงเส้น เป็นที่คาดคะเนว่ากราฟที่หนาแน่นโดยไม่ต้อง$K_{2,2}$ มีขนาดใหญ่ $s(G)$.

ดียิ่งกว่านั้นเถอะ $Star(G)$ เป็นจำนวนน้อยที่สุดของ fanin-$2$ การดำเนินการรวมและแยกที่เพียงพอที่จะสร้าง $G$ เริ่มต้นด้วยดาวที่สมบูรณ์ (กราฟของประเภท $K_{1,n}$ หรือ $K_{n,1}$) การนับแสดงว่ากราฟส่วนใหญ่มี$Star(G)=\Omega(n^2/\log n)$. แต่อย่างใด$G$ กับ $Star(G)\geq (4+c)n$ สำหรับค่าคงที่ $c>0$จะให้ฟังก์ชั่นบูลีนที่ชัดเจนซึ่งต้องการวงจรที่มีขนาดเอ็กซ์โปเนนเชียล! หากกราฟมีมิติ$m\times n$ กับ $m=o(n)$แม้กระทั่งขอบเขตที่ต่ำกว่า $Star(G)\geq (2+c)n$จะมีผลเหมือนกัน สิ่งที่ดีที่สุดที่เราสามารถแสดงได้คือ$Star(G)\geq 2n-1$.

ปล่อย $Sym(G)$ เป็นจำนวนที่น้อยที่สุด $t$ ซึ่งมีชุดย่อย $T\subseteq\{0,1,\ldots,t\}$ และลำดับของ $t$ bicliques เช่นนั้น $(u,v)\in G$ iff จำนวน bicliques ที่มี $(u,v)$ เป็นของ $T$. การนับให้อีกครั้ง$Sym(G)\geq n/2$สำหรับกราฟส่วนใหญ่ แต่จากผลลัพธ์ของ Yao, Beigel และ Tarui กราฟที่ชัดเจนด้วย$Sym(G)$ ใหญ่กว่า $2^{poly(\ln\ln n)}$ จะทำให้เรามีฟังก์ชั่นบูลีนนอก $ACC$. คำเตือน: การเป็น "combinatorialy ซับซ้อน" เพียงอย่างเดียวไม่ได้หมายความว่ามีขนาดใหญ่$Sym(G)$: มีกราฟ Ramsey อย่างยิ่งซึ่ง $Sym(G)=O(\log n)$แม้ว่า $T$ = ชุดจำนวนเต็มคี่

รายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับวิธีการที่เกิดขึ้นทั้งหมดนี้สามารถพบได้ที่นี่

ตัวอย่างคลาสสิกคือโดย Valiant (ฉันไม่ทราบข้อมูลอ้างอิง แต่ฉันคิดว่านี่อธิบายไว้ในหนังสือHoory, Linial และ Wigderson บนกราฟตัวขยาย ) Valiant แสดงขอบเขตล่างชัดเจน (ฉันคิดว่าฟังก์ชันบางอย่างชัดเจน$f:{0,1}^n\rightarrow {0,1}^n$ ไม่มีวงจร $O(n)$ ขนาดและ $O(\log n)$ความลึก - บางสิ่งที่เรายังห่างไกลจากการพิสูจน์) ภายใต้สมมติฐานที่ว่ากราฟบางประเภทที่เรียกว่า superconcentrators ไม่มีอยู่จริง (นี่เป็นคำถามเชิงเส้นกำกับไม่ใช่แค่กราฟเดียว) อย่างไรก็ตามเขาแสดงให้เห็นในภายหลังว่าสิ่งเหล่านี้มีอยู่จริง (และอันที่จริงแล้วมีประโยชน์อื่น ๆ )

คำตอบนั้นแน่นอนว่า "ใช่" ถ้าเราพูดถึงครอบครัวของกราฟมากกว่ากราฟที่เฉพาะเจาะจง ตัวอย่างเช่นมีการคาดคะเนของ Mihail และ Vazirani ว่ากราฟโพลิทอปติก 0/1 ทั้งหมดนั้นเป็นตัวขยายขอบที่ดีหรือดีมาก

หากนี่เป็นความจริงแสดงว่ามีการสุ่มอัลกอริธึมของมาร์คอฟโซ่มอนติคาร์โลแบบสุ่มที่มีประสิทธิภาพสำหรับปัญหา combinatorial แบบเปิดและการนับจำนวนโดยใช้กลยุทธ์การสุ่มตัวอย่างของ Alon, Jerrum และ Sinclair

ในหลอดเลือดดำที่คล้ายกันหากมีครอบครัวของกราฟโพลิทอปที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางโตเร็วกว่าพหุนามใด ๆ ในจำนวน facets และระดับกราฟการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นจะไม่สามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนามอย่างรุนแรงผ่านอัลกอริธึมขอบ

ขยายความคิดเห็นของ Anand Kulkarni:

สมมติว่ามีทัวริงเครื่องกำหนด M ที่รับรู้ SAT ในเวลาพหุนาม จากนั้นความสัมพันธ์การเปลี่ยน จำกัด ของ M จะเป็นฟังก์ชัน เรารู้เกี่ยวกับ TMs ที่รู้จัก SAT ในเวลาพหุนาม แต่ความสัมพันธ์ในการเปลี่ยนผ่านไม่ใช่หน้าที่ โปรดทราบว่าความสัมพันธ์การเปลี่ยนแปลงเป็นกราฟกำกับสองฝ่ายที่มี tuples ของ (รัฐสัญลักษณ์เทป) ในหนึ่ง bipartition หนึ่ง tuples ของ (รัฐสัญลักษณ์เทปย้าย) ใน bipartition อื่น ๆ และโค้งจากคู่กับอเนกประสงค์

ดังนั้นถ้าเป็นเรื่องไร้สาระเช่นนั้นเป็นฟังก์ชั่นแล้ว P = NP

แน่นอนว่านี่ไม่ใช่คำจำกัดความที่เป็นธรรมชาติมากเพราะมันต้องการเครื่องจักรเสริมเพื่อให้ความหมายกับความต้องการที่ทุกเส้นทางในพื้นที่ของรัฐที่ไปถึงรัฐที่รับมีความยาวล้อมรอบด้วยพหุนามในขนาดอินพุต ไม่ชัดเจนเลยว่าชุดของกราฟ จำกัด ที่แสดงเครื่องทัวริงที่มีขอบเขต จำกัด มีลักษณะเป็นอย่างไรหรือว่ากราฟเหล่านี้มีคุณสมบัติกราฟเชิงทฤษฎีที่น่าสนใจหรือไม่