อัลกอริธึมการสลับแบบ riffle แบบเชิงเวลา

มีเวลาเชิงเส้นในสถานที่อัลกอริทึมสับเปลี่ยน riffle หรือไม่? นี่คืออัลกอริธึมที่บางคนมีมือที่คล่องแคล่วโดยเฉพาะอย่างยิ่งมีความสามารถในการดำเนินการ: แบ่งเท่า ๆ กันอาร์เรย์อินพุตขนาดที่เท่ากันแล้ว interleaving องค์ประกอบของทั้งสองแบ่งเท่า ๆ กัน

Mathworld มีหน้าสั้น ๆ เกี่ยวกับการสับเปลี่ยนระลอกคลื่นน้อย โดยเฉพาะอย่างยิ่งผมสนใจในความหลากหลายออกสับเปลี่ยนที่แปลงการป้อนข้อมูลอาร์เรย์ 1 2 3 4 5 6 ลง 1 4 2 3 5 6 ทราบว่าในความหมายของพวกเขา, ความยาวใส่เป็น$2n$ n

มันตรงไปตรงมาที่จะแสดงในเวลาเชิงเส้นถ้าเรามีขนาดที่สองเป็นอาร์เรย์$n$หรือมีประโยชน์มากกว่า ก่อนอื่นให้คัดลอกองค์ประกอบสุดท้าย$n$ไปยังอาร์เรย์ แล้วสมมติว่าการจัดทำดัชนี 0-based คัดลอกแรก$n$องค์ประกอบจากดัชนี$[0,1,2,...,n-1]$เพื่อ$[0, 2, 4,...,2n-2]$ ] จากนั้นคัดลอก$n$องค์ประกอบจากอาร์เรย์หลังที่สองไปยังอาร์เรย์ป้อนข้อมูลดัชนีการทำแผนที่$[0,1,2,...,n-1]$ไป$[1,3,5,...,2n-1]$ ] (เราสามารถทำงานได้น้อยกว่านั้นเล็กน้อยเพราะองค์ประกอบแรกและองค์ประกอบสุดท้ายในอินพุตไม่ย้าย)

วิธีหนึ่งในการพยายามทำสิ่งนี้ในสถานที่เกี่ยวข้องกับการสลายตัวของการเปลี่ยนแปลงไปสู่รอบแยกจากนั้นจัดเรียงองค์ประกอบตามแต่ละรอบ อีกครั้งสมมติ 0 ตามการจัดทำดัชนีการเปลี่ยนแปลงที่เกี่ยวข้องในกรณี 6 องค์ประกอบคือ

$$\sigma=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 2 & 4 & 1 & 3 & 5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 2 & 4 &3 \end{pmatrix}.$$

ตามที่คาดไว้องค์ประกอบแรกและสุดท้ายเป็นคะแนนคงที่และถ้าเราอนุญาตองค์ประกอบกลาง 4 เราได้รับผลลัพธ์ที่คาดหวัง

น่าเสียดายที่ความเข้าใจของฉันเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ของพีชคณิต (และLของพวกเขา ) ส่วนใหญ่มาจากวิกิพีเดียและฉันไม่รู้ว่าสามารถทำได้ในเวลาเชิงเส้นหรือไม่ บางทีการเรียงสับเปลี่ยนที่เกี่ยวข้องกับการสับนี้สามารถย่อยสลายได้อย่างรวดเร็ว? นอกจากนี้เราไม่จำเป็นต้องแยกย่อยทั้งหมด เพียงแค่กำหนดองค์ประกอบเดียวของแต่ละรอบของความไม่ลงรอยจะพอเพียงเนื่องจากเราสามารถสร้างวงจรใหม่จากองค์ประกอบหนึ่งของมัน อาจจำเป็นต้องใช้แนวทางที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิง$\LaTeX$

แหล่งข้อมูลที่ดีเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องมีค่าเท่ากับอัลกอริทึม ขอบคุณ!

ปัญหาไม่น่าแปลกใจเลย นี่คือทางออกที่ดีโดย Ellis และ Markov, In-Situ, Stable Merging โดย Perfect Shuffle (ตอนที่ 7) Ellis, Krahn และ Fan, การคำนวณรอบในการสลับสับเปลี่ยนที่สมบูรณ์แบบประสบความสำเร็จในการเลือก "ผู้นำวง" โดยเสียค่าใช้จ่ายของหน่วยความจำมากขึ้น ที่เกี่ยวข้องยังเป็นกระดาษที่ดีโดย Fich, Munro และ Poblete, Permuting In Placeซึ่งให้อัลกอริทึมเวลาสำหรับแบบจำลอง oracle หากมีเพียง oracle สำหรับการเปลี่ยนแปลงเท่านั้นขั้นตอนวิธีนั้นต้องการพื้นที่ลอการิทึม ถ้าเรามี oracle สำหรับค่าผกผันมันก็ต้องการพื้นที่คงที่$O(n\log n)$

ตอนนี้สำหรับโซลูชันของ Ellis และ Markov ครั้งแรกคิดว่า y ที่ จากนั้นคำนวณการสลับคำสั่งที่สมบูรณ์แบบnลดการคำนวณการสลับคำสั่งที่สมบูรณ์แบบxและyด้วยการหมุนก่อนหน้าพวกเขา นี่คือข้อพิสูจน์โดยตัวอย่าง ( n = 5 , x = 3 , y = 2 ): 012 345 67 89 012 567 34 89 051627 $n = x+y$$n$$x$$y$$n=5$$x=3$$y=2$

$$\begin{array}{cc} 012\mathbf{345} & \mathbf{67}89 \\ 012\mathbf{567} & \mathbf{34}89 \\ 051627 & 3849 \end{array}$$

Ellis และ Markov พบวิธีที่ง่ายในการคำนวณการสลับที่สมบูรณ์แบบเมื่อโดยใช้พื้นที่คงที่และเวลาเชิงเส้น ใช้นี้เราได้รับอัลกอริทึมสำหรับการคำนวณที่สมบูรณ์แบบสำหรับการสับเปลี่ยนพลn ก่อนเขียนn = 2 k 0 + ⋯ + 2 k Wโดยใช้การเข้ารหัสแบบไบนารีของnและให้n ฉัน = 2 k ฉัน + ⋯ + 2 k W หมุนตรงกลางnบิต0 , สับเปลี่ยนมือขวา2 $n=2^k$$n$$n = 2^{k_0} + \cdots + 2^{k_w}$$n$$n_i = 2^{k_i} + \cdots + 2^{k_w}$$n_0$บิต ให้ข้ามไปทางขวา2 k 0บิตหมุนตรงกลางn1บิตแล้วสุ่มทางขวา2 k 1บิต และอื่น ๆ โปรดทราบว่าการหมุนนั้นง่ายเนื่องจากองค์ประกอบสองสามตัวแรกที่หมุนหน้าที่เป็นผู้นำวง ความซับซ้อนของการหมุนรวมเป็นO(n0+⋯+nW)=O(n)ตั้งแต่n T + 1 <nT/2 ความซับซ้อนทั้งหมดของสับภายในคือO$2^{k_0}$$2^{k_0}$$n_1$$2^{k_1}$$O(n_0 + \cdots + n_w) = O(n)$$n_{t+1} < n_t/2$ )$O(2^{k_0} + \cdots + 2^{k_w}) = O(n)$

มันยังคงแสดงให้เห็นว่าการคำนวณสับเปลี่ยนที่สมบูรณ์แบบเมื่อ k ในความเป็นจริงเราจะสามารถระบุผู้นำวง, ติดตามงานคลาสสิกบนสร้อยคอ (Fredricksen และ Maiorana, สร้อยคอของลูกปัดในkสีและลำดับk -ary de Bruijn Fredricksen และ Kessler, อัลกอริทึมสำหรับการสร้างสร้อยคอลูกปัดในสองสี )$n=2^k$$k$$k$

การเชื่อมต่อคืออะไร? ฉันอ้างว่าการสับเปลี่ยนสับเปลี่ยนเป็นไปตามการเลื่อนที่ถูกต้องของการเป็นตัวแทนไบนารี นี่คือตัวอย่างที่พิสูจน์ได้สำหรับ : 000 001 010 011 100 101 110 111 000 100 001 101 010 110 011 111 ดังนั้นเพื่อหาผู้นำวงเราต้องหาตัวแทนหนึ่งคนจากแต่ละชั้นเทียบเท่าของการหมุนของ สตริงไบนารีของความยาวk เอกสารดังกล่าวข้างต้นให้อัลกอริทึมต่อไปนี้สำหรับการสร้างผู้นำวงจรทั้งหมด เริ่มต้นด้วย0 $n=8$

$$\begin{array}{cccccccc} 000 & 001 & 010 & 011 & 100 & 101 & 110 & 111 \\ 000 & 100 & 001 & 101 & 010 & 110 & 011 & 111 \end{array}$$ $k$$0^k$. ในแต่ละขั้นตอนเราอยู่ในบางจุด1 ... k ค้นหาดัชนีสูงสุดฉันของศูนย์บิตแบ่งkโดยที่ฉันจะได้รับk = d ⋅ ฉัน+ Rและให้จุดต่อไปนี้เป็น( 1 ... ฉัน- 1 1 ) วันที่1 ... R เมื่อใดก็ตามที่R = 0ที่ใหม่สตริงเป็นผู้นำวงจร$a_1 \ldots a_k$$i$$k$$i$$k = d\cdot i + r$$(a_1\ldots a_{i-1}1)^d a_1\ldots a_r$$r = 0$

ตัวอย่างเช่นเมื่อนี้สร้างลำดับที่ 0000 , 0001 , 0010 , 0011 , 0101 , 0110 , 0111 , $n=16$

$$\mathbf{0000}, \mathbf{0001}, 0010, \mathbf{0011}, \mathbf{0101}, 0110, \mathbf{0111}, \mathbf{1111}.$$

ผู้นำวงจรจะถูกเน้น

นี่เป็นคำถามเริ่มต้นที่ cs.stackexchange.com และคำตอบอยู่ที่นี่: /cs/332/in-place-algorithm-for-interleaving-an-array/400#400

มันคือคำอธิบายของกระดาษ: http://arxiv.org/abs/0805.1598

อัลกอริทึมดังกล่าวข้างต้นทั่วไปสำหรับทุกคน $k$$2$$k$$3^2$$k=2$)

โปรดทราบว่าคำตอบนั้นเกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนแปลง $j \to 2j \mod 2n+1$(เช่น Inshuffle) และการมีที่ทำให้ง่ายต่อการแก้ไขปัญหานี้ (Outshuffle) ด้วย

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าคุณจด riffle shuffle เป็นฟังก์ชัน? ถ้า$m$ คือความยาวของอาเรย์ทั้งหมดที่อนุญาต $n = m-2$เป็นความยาวของอาร์เรย์หลังจากลบองค์ประกอบแรกและองค์ประกอบสุดท้าย จากนั้นดัชนีสับของดัชนี$i$ คือ $f(i) = 2\cdot i$ ถ้า $i \leq n/2$ และ $f(i) = 2 \cdot (i \mod n/2) - 1$ if $i > n/2$. Then you can just "pointer jump" through the array, swapping by re-applying the function.

Assuming random access, this would be linear time while requiring $O(1)$ extra words (for storing the value of the array at any given index), and so $O(\log n)$ extra space.