การสั่งทอพอโลยีเชิงบวกใช้เวลา 2

นี่คือการติดตามคำถามล่าสุดของ David Eppsteinและได้รับแรงบันดาลใจจากปัญหาเดียวกัน

สมมติว่าฉันมี dag ที่มีน้ำหนักจริงจำนวนมากที่จุดยอด ในขั้นต้นจุดยอดทั้งหมดจะไม่มีการทำเครื่องหมาย ฉันสามารถเปลี่ยนชุดจุดยอดที่ถูกทำเครื่องหมายด้วย (1) ทำเครื่องหมายจุดสุดยอดโดยไม่มีผู้ทำเครื่องหมายก่อนหน้าหรือ (2) ยกเลิกการทำเครื่องหมายจุดยอดที่ไม่มีผู้สืบทอดที่ทำเครื่องหมายไว้ (ดังนั้นชุดของจุดยอดที่ถูกทำเครื่องหมายจะเป็นคำนำหน้าของคำสั่งบางส่วนเสมอ) ฉันต้องการค้นหาลำดับของการทำเครื่องหมาย / การทำเครื่องหมายที่สิ้นสุดด้วยการทำเครื่องหมายจุดยอดทั้งหมดเช่นน้ำหนักรวมของจุดยอดที่ถูกทำเครื่องหมายจะไม่เป็นลบเสมอ .

• การค้นหาลำดับของการดำเนินการนั้นยากเพียงใด ไม่เหมือนกับปัญหาของเดวิดมันไม่ชัดเจนเลยว่าปัญหานี้เป็นปัญหา โดยหลักการ (แม้ว่าฉันจะไม่มีตัวอย่างใด ๆ ) ทุกลำดับการย้ายตามกฎหมายอาจมีความยาวเป็นเลขชี้กำลัง ที่ดีที่สุดที่ฉันสามารถพิสูจน์ได้คือปัญหาอยู่ใน PSPACE

• การดำเนินการที่ไม่มีเครื่องหมายจำเป็นจริงหรือไม่? หากมีลำดับการย้ายที่ถูกต้องจะต้องมีลำดับการย้ายที่ถูกต้องที่จะไม่ยกเลิกการทำเครื่องหมายจุดสุดยอดหรือไม่? คำตอบยืนยันว่าจะทำให้ปัญหานี้เหมือนกันที่จะดาวิด ในทางกลับกันหากบางครั้งไม่จำเป็นต้องทำเครื่องหมายควรมีตัวอย่างขนาดเล็ก (ขนาดคงที่) ที่พิสูจน์ได้

ในการสัมมนาการวิจัย 666 ครั้งของเราเรามีหลักฐานดังต่อไปนี้

เราเริ่มต้นด้วยคำจำกัดความบางอย่าง ให้ P เป็นตำแหน่งของเรา เพื่อความง่ายสมมติว่าไม่มีน้ำหนักรวมกันเป็นศูนย์ แสดงน้ำหนักของจุดยอดด้วย w (x) และผลรวมของน้ำหนักของชุดโดย w (X) เราบอกว่า set X คือ Y-up (ปิด) ถ้ามันมีอยู่ใน Y และทุกองค์ประกอบของ Y ที่ใหญ่กว่าองค์ประกอบของ X นั้นก็เป็น X ด้วยเช่นกันสมมติว่าเซต X เป็น Y-down ถ้ามัน มีอยู่ใน Y และทุกองค์ประกอบของ Y ที่น้อยกว่าองค์ประกอบของ X ก็เป็น X ในภาษานี้ชุดขององค์ประกอบที่ทำเครื่องหมายไว้จะต้อง P-down เสมอ

เราพิสูจน์ด้วยความขัดแย้ง ใช้ลำดับการทำเครื่องหมาย / การทำเครื่องหมายที่สั้นที่สุด เราเรียกลำดับดังกล่าวเต็ม เมื่อถึงจุดใดก็ตามให้พิจารณาชุดขององค์ประกอบที่ถูกทำเครื่องหมายก่อนหน้า แต่ตอนนี้จะไม่มีการทำเครื่องหมาย แสดงว่าชุดนี้โดยคุณ

อ้างสิทธิ์: w (U)> 0

หลักฐาน: เราพิสูจน์ว่าน้ำหนักของชุด U-up ใด ๆ X เป็นค่าบวก หลักฐานคือการเหนี่ยวนำในขนาดของ X หากมีชุด X-down, Y เช่นนั้น w (Y)> 0 จากนั้นตั้งแต่โดยการเหนี่ยวนำเรารู้ว่า w (X \ Y)> 0 (เนื่องจากเป็น X-up) เรายังมี w (X)> 0 หากสำหรับชุด X-down ทุกชุด Y เรามี w (Y) <0 จากนั้นโดยการลบเครื่องหมายและการทำเครื่องหมายองค์ประกอบของ X ทั้งหมดจากลำดับของเราจนถึงจุดนี้เราจะได้ลำดับเต็มที่สั้นกว่า เราทำกับหลักฐานการเรียกร้อง

ทีนี้สมมติว่าเรามีลำดับเต็มรูปแบบโดยที่ w (U)> 0 ที่จุดใด ๆ สำหรับชุด U ขององค์ประกอบที่ไม่มีเครื่องหมายในปัจจุบัน ใช้ลำดับที่เราได้รับจากสิ่งนี้โดยการทำเครื่องหมายครั้งแรกของทุกองค์ประกอบและไม่เคยทำเครื่องหมายอะไร เป็นที่ชัดเจนว่าสิ่งนี้จะเป็นลำดับที่น่าพึงพอใจว่าชุดขององค์ประกอบที่ถูกทำเครื่องหมายจะเป็น P-down เสมอ ยิ่งไปกว่านั้นผลรวมของน้ำหนักจะเป็นอย่างน้อยเท่ากับลำดับเดิมตั้งแต่เวลาใดก็ตามความแตกต่างคือ w (U) เราทำเสร็จแล้ว

ด้วยวิธีการนี้เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าหากทำเครื่องหมายทั้งหมดของ P เราเพียงต้องการทำเครื่องหมายส่วนย่อยของ P จากนั้นก็สามารถทำได้ด้วยลำดับของการทำเครื่องหมายตามด้วยลำดับการยกเลิกการทำเครื่องหมาย การพิสูจน์นั้นเหมือนกันยกเว้นว่าในตอนท้ายองค์ประกอบบางอย่าง U ไม่ถูกทำเครื่องหมาย แต่สิ่งเหล่านี้สามารถย้ายไปยังจุดสิ้นสุดของลำดับได้เนื่องจากน้ำหนักของชุด U-up ใด ๆ เป็นค่าบวก