ความซับซ้อนในการรับรู้กราฟจุดสุดยอด - สกรรมกริยา

ฉันไม่มีความรู้ในเรื่องของทฤษฎีความซับซ้อนที่เกี่ยวข้องกับกลุ่มดังนั้นฉันจึงขออภัยถ้านี่เป็นผลลัพธ์ที่รู้จักกันดี

คำถาม 1. Letเป็นกราฟไม่มีทิศทางที่เรียบง่ายของการสั่งซื้อnความซับซ้อนในการคำนวณ (ในแง่ของ ) คืออะไรของการพิจารณาว่าเป็นจุดยอด transitive?$G$$n$$n$$G$

จำได้ว่ากราฟเป็นจุดยอดถ้าถ้าทำหน้าที่เกี่ยวกับการส่งผ่าน$G$$\mathrm{Aut}(G)$$V(G).$

ฉันไม่แน่ใจว่านิยามข้างต้นอนุญาตให้ใช้อัลกอริธึมเวลาพหุนามเพราะอาจเป็นไปได้ว่าคำสั่งของเป็นแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล$\mathrm{Aut}(G)$

อย่างไรก็ตามกราฟจุดสุดยอด - สกรรมกริยามีคุณสมบัติโครงสร้างอื่น ๆ ที่อาจถูกนำมาใช้เพื่อให้สามารถระบุได้อย่างมีประสิทธิภาพดังนั้นฉันไม่แน่ใจว่าสถานะของคำถามข้างต้นคืออะไร

คลาสย่อยที่น่าสนใจอีกอย่างหนึ่งของกราฟจุดสุดยอด - สกรรมกริยาที่มีโครงสร้างมากขึ้นคือคลาสของกราฟCayley ดังนั้นจึงเป็นเรื่องธรรมดาที่จะตั้งคำถามต่อไปนี้

คำถามที่ 2ความซับซ้อนของการคำนวณคืออะไรหากกราฟเป็นกราฟ Cayley$G$

ฉันไม่มีคำตอบที่สมบูรณ์ แต่ฉันคิดว่าปัญหาทั้งสองเปิดอยู่

บทความโดย Jajcay, Malnič, Marušič [3] เกี่ยวข้องกับคำถามแรกของคุณ พวกเขามีเครื่องมือบางอย่างเพื่อทดสอบจุดสุดยอด - ความไว พวกเขาพูดในการแนะนำว่า:

สำหรับกราฟ จำกัด ที่ให้มันยากที่จะตัดสินว่าΓเป็นจุดยอด - สกรรมกริยาหรือไม่และคำตอบสุดท้ายมักเกิดขึ้นหลังจากส่วนสำคัญของกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมแบบเต็มรูปแบบของΓได้รับการพิจารณาแล้ว$\Gamma$$\Gamma$$\Gamma$

โปรดทราบว่าการทดสอบจุดสุดยอด - การทดสอบความไวสามารถทำได้โดยการทดสอบกราฟ isomorphism ครั้ง ทำให้ทั้งสองสำเนาGและG 'ของกราฟของคุณด้วยการเบรกพิเศษ (เช่นเส้นทางของความยาวn + 1 ) ที่ยู∈ V ( G )และวี∈ V ( G ' ) มีมอร์ฟระหว่างเป็นGและG 'ถ้าหากกราฟเดิมมีการทำแผนที่ automorphism Uเพื่อโวลต์ ดังนั้นคุณสามารถทดสอบจุดสุดยอด -tansitivity โดยการแก้ไขจุดสุดยอด$n−1$$G$$G'$$n+1$$u \in V(G)$$v \in V(G')$$G$$G'$$u$$v$และตรวจสอบว่ามีการแมป automorphisms xกับจุดยอดอื่น ๆ ทั้งหมด$x$$x$

นอกจากนี้โปรดทราบว่าหากการทดสอบจุดยอด - transitivity สามารถทำได้ในเวลาพหุนามดังนั้นการทดสอบ isomorphism สำหรับกราฟจุดยอด - สกรรมกริยา นี่เป็นเพราะกราฟสองจุดยอด - สกรรมกริยา isomorphic ถ้าหากว่ามันเป็นจุดยอด - สมาพันธ์สหภาพแรงงาน ฉันเชื่อว่าความซับซ้อนของกราฟมอร์ฟิซึมสำหรับกราฟจุดยอด - สกรรมกริยาไม่เป็นที่รู้จัก

สำหรับคำถามที่ 2 ฉันพบผลลัพธ์บางส่วน กราฟ circulantคือกราฟเคย์ลีในวงจรกลุ่ม Evdokimov และ Ponomarenko [2] แสดงให้เห็นว่าการรับรู้ของกราฟ circulant สามารถทำได้ในเวลาพหุนาม หนังสือบทโดย Alspach [1, ตอนที่ 6: กราฟ Cayley, ส่วนที่ 6.2: การรับรู้] จะน่าสนใจสำหรับคุณแม้ว่ามันจะบอกว่า:

เราจะเพิกเฉยต่อปัญหาการคำนวณของการรับรู้ว่ากราฟโดยพลการเป็นกราฟ Cayley หรือไม่ แต่เราคิดเสมอว่ากราฟของ Kayley ได้รับการอธิบายในแง่ของกลุ่มที่สร้างขึ้นพร้อมกับชุดการเชื่อมต่อ สำหรับปัญหาส่วนใหญ่นี่ไม่ใช่ข้อเสียเปรียบ

1. Beineke, Wilson, Cameron หัวข้อในพีชคณิตกราฟทฤษฎี สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, 2004
2. Evdokimov, Ponomarenko กราฟ Circulant: การจดจำและการทดสอบมอร์ฟิซึมในเวลาพหุนาม คณิตศาสตร์เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก J. 15 (2004) 813-835 ดอย: 10.1090 / S1061-0022-04-00833-7
3. Jajcay, Malnič, Marušič เกี่ยวกับจำนวนของการเดินปิดในกราฟจุดยอด - สกรรมกริยา คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง 307 (2007) 484-493 ดอย: 10.1016 / j.disc.2005.09.039