ตามบทความของ KW Regan ว่า "เชื่อมต่อดวงดาว"เขากล่าวในตอนท้ายว่ามันยังคงเป็นปัญหาที่เปิดกว้างเพื่อค้นหาการแสดงจำนวนเต็มเช่นการดำเนินการเพิ่มการคูณและการเปรียบเทียบในเวลาเชิงเส้น:
มีการแสดงจำนวนเต็มเพื่อให้การบวกการคูณและการเปรียบเทียบทั้งหมดทำได้ในเวลาเชิงเส้นหรือไม่? โดยทั่วไปมีเวลาเชิงเส้นสั่งซื้อเป็นแหวน discretely?
(1) เราจะเข้าใกล้การคูณเวลาเชิงเส้นและการบวกโดยไม่เปรียบเทียบได้อย่างไร ที่นี่ฉันคิดว่าขนาดของปัญหาอาจแตกต่างกันไปดังนั้นเราอาจต้องการโครงสร้างข้อมูล / อัลกอริทึมที่ช่วยให้การเปลี่ยนขนาดจำนวนเต็ม
(2) สำหรับปัญหาที่สมบูรณ์เราสามารถสรุปได้ว่าเราจะหารูปแบบที่เหมาะสมสำหรับการคูณเพิ่มและเปรียบเทียบจำนวนเต็ม เราจะสามารถทำให้การดำเนินการทั้งสามนี้ช้าที่สุด (ในกรณีที่เลวร้ายที่สุด) ในเวลาเชิงเส้นได้อย่างไร และในบันทึกนั้นการปฏิบัติการอื่นจะรวดเร็วแค่ไหน?
งบปัญหาอย่างเป็นทางการ
ในฐานะที่เอมิลJeřábekกล่าวถึงเราต้องการแยกแยะกรณีเล็ก ๆ น้อย ๆ และมุ่งเน้นไปที่พฤติกรรมกรณีที่เลวร้ายที่สุดสำหรับคำถามนี้
ดังนั้นเราจึงถามว่าสำหรับจำนวนเต็มไม่เป็นลบและ∀ yโดยที่0 ≤ x < nและ0 ≤ y < nเราสามารถหาโครงสร้างข้อมูล / อัลกอริทึมที่สามารถทำการบวกการคูณและเปรียบเทียบกับ \ ระหว่างxและyในเวลาO ( n log ( n ) )และพื้นที่O ( log 2 ( n ) ) ?