เราจะไปถึงการคูณเชิงเส้นเพิ่มและเปรียบเทียบ (กับจำนวนเต็ม) ได้อย่างไร

ตามบทความของ KW Regan ว่า "เชื่อมต่อดวงดาว"เขากล่าวในตอนท้ายว่ามันยังคงเป็นปัญหาที่เปิดกว้างเพื่อค้นหาการแสดงจำนวนเต็มเช่นการดำเนินการเพิ่มการคูณและการเปรียบเทียบในเวลาเชิงเส้น:

มีการแสดงจำนวนเต็มเพื่อให้การบวกการคูณและการเปรียบเทียบทั้งหมดทำได้ในเวลาเชิงเส้นหรือไม่? โดยทั่วไปมีเวลาเชิงเส้นสั่งซื้อเป็นแหวน discretely?

(1) เราจะเข้าใกล้การคูณเวลาเชิงเส้นและการบวกโดยไม่เปรียบเทียบได้อย่างไร ที่นี่ฉันคิดว่าขนาดของปัญหาอาจแตกต่างกันไปดังนั้นเราอาจต้องการโครงสร้างข้อมูล / อัลกอริทึมที่ช่วยให้การเปลี่ยนขนาดจำนวนเต็ม

(2) สำหรับปัญหาที่สมบูรณ์เราสามารถสรุปได้ว่าเราจะหารูปแบบที่เหมาะสมสำหรับการคูณเพิ่มและเปรียบเทียบจำนวนเต็ม เราจะสามารถทำให้การดำเนินการทั้งสามนี้ช้าที่สุด (ในกรณีที่เลวร้ายที่สุด) ในเวลาเชิงเส้นได้อย่างไร และในบันทึกนั้นการปฏิบัติการอื่นจะรวดเร็วแค่ไหน?

งบปัญหาอย่างเป็นทางการ

ในฐานะที่เอมิลJeřábekกล่าวถึงเราต้องการแยกแยะกรณีเล็ก ๆ น้อย ๆ และมุ่งเน้นไปที่พฤติกรรมกรณีที่เลวร้ายที่สุดสำหรับคำถามนี้

ดังนั้นเราจึงถามว่าสำหรับจำนวนเต็มไม่เป็นลบและโดยที่และเราสามารถหาโครงสร้างข้อมูล / อัลกอริทึมที่สามารถทำการบวกการคูณและเปรียบเทียบกับ \ ระหว่างและในเวลาและพื้นที่ ? $\forall x$ $\forall y$ $0 \le x < n$ $0 \le y < n$ $x$ $y$ $O(n \log{(n)})$ $O(\log^2{(n)})$

ds.algorithms ds.data-structures worst-case

— Matt Groff
แหล่งที่มา

ผมจะพูดถึงว่ามันเป็นไปได้ที่จะสร้างโครงการที่มีประสิทธิภาพการดำเนินงานเหล่านี้ในช่วงเวลาที่

ใน integers เชิงลบที่

คือ bitsize ของจำนวนเต็มที่ใหญ่ที่สุด (สมมติว่าเรารู้ว่า

ก่อนเวลา) ฉันสงสัยว่าเราจะทำได้ดีกว่านี้หรือไม่และทำสิ่งนี้ตามสัดส่วนกับจำนวนเต็มในปัจจุบันที่คำนวณได้

Θ (n)

$\Theta(n)$

n

$n$

n

$n$

— Matt Groff

@TysonWilliams: ใช่! เลขฐานสอง!

— Jeff

O (n \log n)

$O(n\log n)$

n^{2}

$n^2$

n

$n$

f (n)

$f(n)$

f (n) = Θ (\log n)

$f(n)=\Theta(\log n)$

$n$

p_{n} # = \exp ((1 + o (1)) n \log n) .

$p_n\# =\exp((1+\mathcal{o}(1) )n\log n).$

N

$N$

n

$n$

N < \exp ((1 + o (1)) n \log n)

$N<\exp((1+\mathcal{o}(1) )n\log n)$

N < p_{n} #

$N<p_n\#$

n

$n$

n \log n \propto \log (N)

$n \log n \propto \log(N)$

n

$n$

n \log (n)

$n\log(n)$

O (n \log \log (N))

$O(n\log\log(N))$

O (n \log \log (N) \log \log \log \log (N) \log \log \log (N))

$O(n\log\log(N)\log\log\log\log(N)\log\log\log(N))$

n \log n \propto \log N

$n \log n \propto \log N$

n

$n$

O (\log N / \log \log N)

$O(\log N/\log\log N)$

O (\log N)

$O(\log N)$

O (\log N \log \log \log N \log \log \log \log N)

$O(\log N \log\log\log N \log\log\log\log N)$

— Joe Fitzsimons
แหล่งที่มา

ดูทฤษฎีบทส่วนที่เหลือของจีนด้วย

— vzn

@ vzn: ใช่ฉันจะพูดถึงว่าสำหรับการเปรียบเทียบ แต่แล้วมันก็เกิดขึ้นกับฉันว่าอาจมีการดำเนินการเปรียบเทียบที่รวดเร็วกว่าผ่านการเป็นตัวแทน radix ผสม

— Joe Fitzsimons