CLIQUE ธรรมชาติลด k-Color

มีการลดลงอย่างชัดเจนจาก CLIQUE เป็น k-Color เพราะทั้งคู่เป็น NP-Complete ในความเป็นจริงฉันสามารถสร้างได้โดยการลดจาก CLIQUE เป็น 3-SAT ด้วยการลดจาก 3-SAT เป็น k-Color สิ่งที่ฉันสงสัยคือว่ามีการลดโดยตรงระหว่างปัญหาเหล่านี้อย่างสมเหตุสมผลหรือไม่ บอกเด็ก ๆ ว่าการลดที่ฉันสามารถอธิบายให้เพื่อนฟังได้ค่อนข้างสั้นโดยไม่จำเป็นต้องอธิบายภาษาระดับกลางเช่น SAT

เป็นตัวอย่างของสิ่งที่ฉันกำลังค้นหานี่คือการลดลงโดยตรงในทิศทางย้อนกลับ: เมื่อ G กับและบาง(จำนวนสี) ทำกราฟ G 'กับจุดยอด (หนึ่งต่อสีต่อจุดยอด) จุดยอด ,สอดคล้องกับจุดยอดและสีตามลำดับอยู่ติดกันถ้าหากและ (หรือ ) -clique ในมีเพียงหนึ่งจุดสุดยอดต่อยอดในและสีที่สอดคล้องกันเป็นที่เหมาะสม -coloring ของn k k n วี' U 'โวลต์, ยูc , d วี≠ U c ≠ d วียู∉ G n G ' G k $n$$k$$kn$$v'$$u'$$v, u$$c, d$$v \neq u$$c \neq d$$vu \not \in G$$n$$G'$$G$$k$$G$. ในทำนองเดียวกันใด ๆ ที่เหมาะสม -coloring ของมีก๊กที่สอดคล้องกันในG'k G G $k$$G$$G'$

แก้ไข : เพื่อเพิ่มแรงจูงใจสั้น ๆปัญหา 21 ข้อของ Karp นั้นได้รับการพิสูจน์แล้วว่า NP-Complete ด้วยต้นไม้แห่งการลดลงโดยที่ CLIQUE และ Chromatic Number ก่อให้เกิดรากของสายพันธุ์ย่อยที่สำคัญ มีการลดลงอย่างเป็นธรรมชาติระหว่างปัญหาในทรีย่อย CLIQUE และทรี Chromatic Number แต่ปัญหาเหล่านั้นส่วนใหญ่หายากพอ ๆ กับที่ฉันถาม ฉันพยายามที่จะเจาะลึกลงไปว่าโครงสร้างของต้นไม้นี้แสดงโครงสร้างพื้นฐานบางอย่างในปัญหาอื่น ๆ หรือว่าเป็นผลมาจากการลดการค้นพบครั้งแรกเนื่องจากมีแรงจูงใจน้อยกว่าในการค้นหาการลดลงของปัญหาสองอย่างเมื่อพวกเขา เป็นที่รู้กันว่าอยู่ในระดับความซับซ้อนเดียวกัน แน่นอนว่าคำสั่งมีอิทธิพลบางอย่างและสามารถจัดเรียงส่วนของต้นไม้ใหม่ได้ แต่สามารถจัดเรียงใหม่ตามอำเภอใจได้หรือไม่?

แก้ไข 2 : ฉันยังคงค้นหาการลดลงโดยตรง แต่นี่คือภาพร่างที่ใกล้เคียงที่สุดที่ฉันได้รับ (ควรเป็นการลดที่ถูกต้อง แต่มี CIRCUIT SAT เป็นตัวกลางที่ชัดเจนมันค่อนข้างเป็นส่วนตัวว่าเรื่องนี้ดีกว่าไหม การเขียนสองการลดตามที่กล่าวถึงในย่อหน้าแรก)

เมื่อให้$G, k$เรารู้ว่า$\overline{G}$สามารถเป็น$n-k+1$ -colored กับ$k$จุดยอดสี True iff $G$มี$k$ -clique เราตั้งชื่อจุดเดิมของ$G$ $v_1, \ldots, v_n$แล้วเพิ่ม$\overline G$จุดเพิ่มเติม:กับ ,k ค่าคงที่ที่สำคัญคือสามารถทำให้สีเป็นจริงได้หากอยู่ระหว่างจุดยอด{C i j 1 ≤ ฉัน≤ n 0 ≤ j ≤ k C ฉัน$C_{ij}$$1 \le i \le n$$0 \le j \le k$$C_{ij}$$\{v_1,\ldots, v_i\}$มีอย่างน้อย$j$สียอดจริง ดังนั้น C i 0แต่ละตัว$C_{i0}$สามารถเป็นจริงได้ จากนั้น$C_{ij}$สำหรับ$j > 0$จะได้สี$C_{(i-1)j} \vee C_{(i-1)(j-1)} \wedge v_i$ที่ซึ่งสีที่ไม่จริงทั้งหมดจะถือว่าเป็นเท็จ มี$k$ -clique ใน$G$iff $C_{nk}$สามารถเป็นสีจริงได้ดังนั้นหากเราบังคับให้สีนั้นกราฟใหม่เป็น colorable ถ้าสมมุติว่ามี$k$ -clique ในกราฟต้นฉบับ

และหรือแกดเจ็ตในการบังคับใช้ความสัมพันธ์ที่มีมากเช่นการลดลงจากวงจร SAT ถึง 3 สี แต่ที่นี่เรา ได้แก่$K_{n-k+1}$ในกราฟของเราเลือกจุด T, F, และพื้นดินและการเชื่อมต่อทั้งหมด อื่น ๆ ทุกอย่างยกเว้น$v_i$ s; สิ่งนี้รับประกันได้ว่า$C_{ij}$และอุปกรณ์อื่น ๆ จะได้รับเพียง 3 สี

ยังไงก็ตาม¯ Gส่วนหนึ่งของการลดลงนี้รู้สึกโดยตรง แต่การใช้และ / หรือประตูมากน้อยโดยตรง คำถามยังคงมีการลดลงที่สง่างามมากขึ้น?$\overline G$

แก้ไข 3 : มีความคิดเห็นเล็กน้อยเกี่ยวกับสาเหตุที่การลดลงนี้หายาก CLIQUE และ k-Color เป็นปัญหาที่แตกต่างกันไป แม้ว่าจะไม่มีการลดคำตอบว่ารายละเอียดว่าทำไมการลดลงอย่างหนักในทิศทางเดียว แต่สิ่งที่เป็นไปได้ในอีกด้านหนึ่งนั้นจะมีประโยชน์มากและช่วยแก้ไขปัญหาได้มาก

ได้รับกราฟGและหมายเลขkเช่นว่าคุณต้องการที่จะทราบว่าGมีk -clique ให้ n เป็นหมายเลขของจุดในG เราสร้างกราฟอื่นHเช่นนั้นHคือn- colorable ถ้าหากGมีk -clique ดังนี้:$G$$k$$G$$k$$G$$H$$H$$n$$G$$k$

(1) สำหรับแต่ละจุดสุดยอดวีในG , ทำให้n -clique ของจุด( โวลต์, ฉัน)ในHที่ฉันมีตั้งแต่1เพื่อn$v$$G$$n$$(v,i)$$H$$i$$1$$n$

(2) เพิ่มจุดสุดยอดเพิ่มเติมxเพื่อH$x$$H$

(3) สำหรับแต่ละสาม{ x , Y , Z }ของจุดในHที่Y = ( V , ฉัน)และZ = ( U , J )ทดสอบว่าเงื่อนไขใด ๆ ต่อไปนี้ถือ: ทั้งยู≠ วีและฉัน= jหรือuและvเป็นจุดยอดที่ไม่ติดกันในGกับmax ( i , j ) ≤ $\{x,y,z\}$$H$$y=(v,i)$$z=(u,j)$$u\ne v$$i=j$$u$$v$$G$$\max(i,j)\le k$. หากทั้งสองสิ่งเหล่านี้เป็นความจริงเพิ่มอีกn -clique เพื่อH ภายในก๊กนี้ให้เลือกสามจุดx ' , Y ' , และZ ' Connect xจุดสุดยอดในก๊กยกเว้นสำหรับทุกY 'และZ ' ; เชื่อมต่อyกับทุกจุดสุดยอดในกลุ่มยกเว้นx ′และz ′ ; และเชื่อมต่อZจุดสุดยอดทุกคนในก๊กยกเว้นx 'และY '$n$$H$$x'$$y'$$z'$$x$$y'$$z'$$y$$x'$$z'$$z$$x'$$y'$

แกดเจ็ตที่เพิ่มขึ้นในขั้นตอนที่ (3) ป้องกันไม่ให้สามของจุดx , YและZจากทั้งหมดที่ได้รับเป็นสีเดียวกันกับแต่ละอื่น ๆ ในสีที่ถูกต้องของH ก๊กในGสามารถกู้คืนได้จากสีของHเป็นชุดของจุด( โวลต์, ฉัน)ที่อยู่ในระดับสีเดียวกับxและที่มีฉัน≤ k$x$$y$$z$$H$$G$$H$$(v,i)$$x$$i\le k$

?? การค้นหาสีและกลุ่มได้รับการรู้จักกันอย่างแน่นหนามานานหลายสิบปีผ่านทางทฤษฎีกราฟ (อาจจะเป็นในยุค 60s) แม้จะไม่ได้ผ่าน SAT ในฐานะสื่อกลาง เชื่อว่ามีอัลกอริทึมตามคุณสมบัติพื้นฐานต่อไปนี้:

ถ้า G มีกลุ่มขนาด k ดังนั้นอย่างน้อย k สีจึงจำเป็นต้องใช้สีกลุ่มนั้น ในคำอื่น ๆ สีจำนวนอย่างน้อยจำนวนก๊ก: $\chi(G) \ge \omega(G).\,$

ไม่แน่ใจว่ามีการอ้างอิงที่แน่ชัด แต่ [1,2] เป็นจุดเริ่มต้นที่ดีขั้นตอนวิธีหรือการอ้างอิงที่แน่นอนน่าจะมีการอ้างถึงอย่างน้อยในหนังสือเหล่านี้

[1] ความท้าทาย, การระบายสี, และความน่าพอใจ, ความท้าทาย DIMACS ครั้งที่สอง

[2] Dimacs เล่มที่ 26: โบราณวัตถุการระบายสีและความพึงพอใจ