แรงจูงใจเบื้องหลังคำจำกัดความของ pseudorandom ใน Nisan / Wigderson คืออะไร?

ฉันกำลังอ่าน "Hardness vs Randomness" คลาสสิคโดย Nisan และ Wigderson Let และแก้ไขฟังก์ชั่นL : N → N พวกเขากำหนดครอบครัวของฟังก์ชั่นG = { G n : B L ( n ) → B n }จะเป็นpseudorandomในกรณีวงจรทุกขนาดnเรามี$B=\{0,1\}$$l\colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$$G = \{G_n : B^{l(n)} \to B^n\}$$n$

$(*) \ \ | P(C(x) = 1) - P(C(G(y))=1) | < 1/n$

(โดยที่เป็นตัวแปรสุ่มแบบสม่ำเสมอ)$x \in B^{n},y \in B^{l(n)}$

ฉันเข้าใจว่าฉันคิดว่าและyเป็นตัวแปรสุ่มและฉันต้องการเปรียบเทียบระยะห่างระหว่างxและG ( y )เป็นตัวแปรสุ่ม ฉันได้รับสัญชาตญาณว่ามีการใช้วงจรเป็น "การทดสอบ" เพื่อดูว่าGสามารถ "คิดออก" ได้หรือไม่ สิ่งที่ฉันกำลังดิ้นรนจริงๆคือเหตุผลที่เงื่อนไข( ∗ )เป็นสิ่งที่ถูกต้อง ใครบ้างมีคำแนะนำเกี่ยวกับวิธีการคิดคำจำกัดความนี้?$x$$y$$x$$G(y)$$G$$(*)$

มีสองด้านที่ต้องกล่าวถึง

ที่แรกก็คือความคิดทั่วไปของการกำหนด PRG โดยมีการส่งออกที่แตกต่างกันลักษณะของกว่าเครื่องแบบวงจรขนาดเล็ก แนวคิดนี้กลับไปที่ Yao และเป็นคำจำกัดความที่แข็งแกร่งที่สุดที่คุณสามารถขอได้เมื่อเล็งไปที่การสุ่มหลอกสำหรับผู้สังเกตการณ์ที่มี ขอบเขตการคำนวณ

ด้านที่สองคือตัวเลือกของพารามิเตอร์ที่เรา จำกัด ขนาดของวงจรให้เป็นและความแตกต่างน่าจะเป็นที่ยอมรับได้คือ1 / nโดยที่nยังเป็นขนาดเอาต์พุต PRG ตัวเลือกนี้จะค่อนข้างแตกต่างกว่าการเข้ารหัสลับปกติที่ขนาดวงจรP o L Y ( n )และความแตกต่างน่าจะเป็นที่จะต้องมีขนาดเล็กกว่าใด ๆP o L Y ( n ) ในพารามิเตอร์เฉพาะกรณีของเรา (แทนที่จะp o l y ( n $n$$1/n$$n$$poly(n)$$poly(n)$$poly(n)$) จำเป็นต้องใช้เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่แคบที่สุดรวมถึงโดยเฉพาะอย่างยิ่งการจำลองพหุนาม ในขณะที่หลักการหนึ่งสามารถมีพารามิเตอร์ที่แตกต่างกัน 3 แบบมันกลับกลายเป็นว่าผลลัพธ์ของเรามีการทำงานเป็นหลักในลักษณะเดียวกันดังนั้นเราจึงพับมันเป็นหนึ่งเดียว (นอกเหนือจากขนาดอินพุตซึ่งถูกมองว่าเป็นหน้าที่ของn )$l(n)$$n$

ฉันไม่ได้เป็นผู้เชี่ยวชาญในเรื่องนี้ แต่ส่วนประกอบสำคัญของคำจำกัดความของ pseudorandomness (ซึ่งตรงข้ามกับความพยายามในการนิยามแบบสุ่ม) คือเป้าหมายของบางสิ่งบางอย่าง "pseudorandom" คือการหลอกวงจร กล่าวอีกนัยหนึ่งแรงจูงใจคือการคิดถึงสตริงหลอกเทียมที่ถูกส่งไปยังวงจรแทนที่จะเป็นสตริงสุ่มอย่างแท้จริง

ในแง่นั้นมันไม่ใช่ว่าคุณพยายามเสแสร้งว่าและG ( y ) "ดูเหมือนกัน" มันเป็นสิ่งที่พวกเขา "ดูเหมือนกัน" กับวงจร (ของความซับซ้อนที่ จำกัด ขอบเขต)$x$$G(y)$

ดังนั้นบทบาทของวงจรจึงมีความสำคัญเมื่อเทียบกับเพียงแค่เป็น "ฟังก์ชันทดสอบ"

$(*)$$1/n$$1/2n$

$G_i$$l(n) < n$$l(n)$$G_i$$l(n)$$n$.