ความแตกต่างขององค์ประกอบในเวลา O (n)?

เราทุกคนรู้ว่าแตกต่างองค์ประกอบในรูปแบบการเปรียบเทียบตามไม่สามารถทำได้ในเวลา อย่างไรก็ตามสำหรับ word-RAM เราสามารถทำได้ดีกว่า$o(n\log n)$

แน่นอนถ้าเราสมมติว่ามีฟังก์ชันแฮชที่สมบูรณ์แบบที่สามารถคำนวณได้ในเวลาเชิงเส้นเราจะได้อัลกอริธึมเชิงเส้นเวลาสำหรับความแตกต่างขององค์ประกอบ: เพียงแค่ hashing หมายเลขหนึ่งต่อหนึ่งและส่งคืน 1 หากมีการชนกัน

อย่างไรก็ตามมีสองประเด็น: 1) สิ่งก่อสร้างส่วนใหญ่ของฟังก์ชั่นแฮชที่สมบูรณ์แบบที่ฉันสามารถหาแบบสุ่มที่ใช้แล้วและ 2) ฉันไม่สามารถหาเวลาสนทนาล่วงหน้าได้ทุกที่นั่นคือเวลาที่ต้องตัดสินใจว่าจะใช้ฟังก์ชันแฮชแบบใด ที่จะใช้ขึ้นอยู่กับชุดของตัวเลข

Fredman et al. "การจัดตาราง sparse ด้วยเวลาเข้าถึงกรณีที่เลวร้ายที่สุด$O(1)$ " จะแก้ไขปัญหาแรกได้โดยจัดให้มีฟังก์ชันแฮชที่มีเวลาเข้าถึงในกรณีที่แย่ที่สุด แต่ไม่ได้พูดเกี่ยวกับปัญหาที่สอง .$O(1)$

สรุปแล้วนี่คือสิ่งที่ฉันต้องการ:

ออกแบบอัลกอริทึมที่กำหนดชุดของตัวเลข (แต่ละหมายเลขมีความยาวบิต ) บน word-RAM ที่มีความยาวคำค้นหาฟังก์ชันแฮชในเวลาที่(n) ฟังก์ชันควรมีคุณสมบัติที่สำหรับ , จำนวนองค์ประกอบของที่แม็พกับนั้นเป็นค่าคงที่และการคำนวณควรใช้O (1)n w w h : S → { 1 , … , m } O ( n ) m = O ( n ) h j ∈ { 1 , … , m } S $S$$n$$w$$w$$h:S\rightarrow \{1, \ldots , m\}$$O(n)$$m = O(n)$$h$$j \in \{1, \ldots , m\}$$S$$j$O ( 1 $h(i)$$O(1)$เวลาใน "เหมาะสม" รูปแบบคำ RAM, คือตัวแบบไม่ควรอนุญาตให้มีฟังก์ชั่น "ที่แปลกใหม่" ในคำที่จะได้รับการประเมินใน$O(1)$เวลา

ฉันยังต้องการทราบว่ามีอัลกอริทึมในการแก้ไขความแตกต่างขององค์ประกอบใน word-RAM ที่ไม่ใช้ฟังก์ชันแฮชทั้งหมดหรือไม่

ความแตกต่างขององค์ประกอบสามารถแก้ไขได้อย่างแน่นอนในรูปแบบ RAM ในเวลาภายในเวลา:$O(n\log\log n)\subset o(n\log n)$

เรียงในเวลาภายในของคุณตัวเลขของบิตโดยใช้ขั้นตอนวิธีการเรียงลำดับการอธิบายโดยฮันใน STOC 2002 ( "ตายตัวเรียงลำดับในเวลาและพื้นที่เชิงเส้น") จากนั้นสแกนในเวลาเชิงเส้นเพื่อหาการชน$O(n\log\log n)$$n$$w$$O(n\log\log n)$

เท่าที่ฉันรู้นั่นเป็นผลลัพธ์ที่ดีที่สุดที่รู้จักกันมาจนถึงทุกวันนี้

นั่นคือสิ่งที่คุณพูดถึง FKS และต้องใช้เวลาเชิงเส้น (ตามความคาดหมาย) ดูหน้า 5 ที่นี่สำหรับการวิเคราะห์ ... http://www1.icsi.berkeley.edu/~luby/PAPERS/pairwise.ps