แรงจูงใจในการใช้ Karp-Reduction ในทฤษฎี

ความคิดเรื่องการลดเวลาพหุนาม (Cook Reduction) เป็นนามธรรมของแนวคิดที่ใช้งานง่ายมาก: การแก้ปัญหาอย่างมีประสิทธิภาพโดยใช้อัลกอริทึมสำหรับปัญหาที่แตกต่างกัน

อย่างไรก็ตามในทฤษฎีของความไม่สมบูรณ์ของความคิดของN P -hardness นั้นถูกบันทึกผ่านการลดการทำแผนที่ (Karp Reduction) แนวคิดของการลด "ถูก จำกัด " นี้ใช้งานง่ายกว่ามาก (อย่างน้อยสำหรับฉัน) ดูเหมือนว่าจะถูกประดิษฐ์ขึ้นเล็กน้อยเนื่องจากมันสร้างความรู้สึกที่เข้าใจง่ายเกี่ยวกับความแข็ง โดยที่ฉันหมายถึงความจริงที่ว่าN Pไม่ประกอบด้วยc o - N Pเพียงเล็กน้อย แม้ว่าในทฤษฎีความซับซ้อนเราคุ้นเคยกับแนวคิดที่ว่าสามารถแก้ปัญหาเช่นS A Tไม่ได้แปลว่าเราสามารถแก้ปัญหาได้¯ S A $\mathcal{NP}$$\mathcal{NP}$$\mathcal{NP}$$co-\mathcal{NP}$$\mathsf{SAT}$$\overline{\mathsf{SAT}}$ในการตั้งค่าตามธรรมชาติ (ซึ่งถูกบันทึกโดยการลดลงของ Cook) สมมติว่าเรามีอัลกอริทึมสำหรับการแก้เราสามารถแก้¯ S A T ได้เพียงแค่เรียกใช้อัลกอริทึมสำหรับS A Tและกลับด้านตรงข้าม$\mathsf{SAT}$$\overline{\mathsf{SAT}}$$\mathsf{SAT}$

คำถามของฉันคือเหตุผลที่เราควรจะใช้การลดคาร์พสำหรับทฤษฎีของ -completeness? ความคิดที่เข้าใจง่ายอะไรที่มันจับ? มันเกี่ยวข้องกับวิธีที่เราเข้าใจ "ความแข็งของการคำนวณ" ในโลกจริงอย่างไร$\mathcal{NP}$

เช่นเดียวกับทัวริงการลดลงการลดลงของหลายคนเข้ามาในทฤษฎีความซับซ้อนจากวรรณคดีทฤษฎีการคำนวณ / การเรียกซ้ำ การลดลงของ Cook และ Karp เป็นความซับซ้อนตามธรรมชาติในเชิงทฤษฎีของการลดลงที่มีอยู่เดิมในการคำนวณ

มีวิธีที่ใช้งานง่ายในการอธิบายการลดลงของหลาย ๆ คน: มันเป็นข้อ จำกัด ของการลดทัวริงที่เราสามารถถามเพียงคำถามเดียวจากออราเคิลและคำตอบของออราเคิลจะเป็นคำตอบของเรา

ตอนนี้คำถามคือทำไมเราต้องศึกษาเรื่องนี้ (และการลดประเภทอื่น ๆ เช่นตารางความจริงตารางความจริงที่อ่อนแอเป็นต้น)

การลดลงเหล่านี้ให้ภาพที่ดีกว่าการทัวริงการลดลง การลดระดับทัวริงมีประสิทธิภาพเกินกว่าที่จะแยกแยะระหว่างแนวคิดต่าง ๆ ได้ ส่วนใหญ่ของทฤษฎีการคำนวณได้อุทิศให้กับการศึกษาระดับปริญญาตรี ความคิดของชุด ce เป็นศูนย์กลาง เราสามารถมีเครื่อง TM ที่สามารถระบุเซตที่ไม่มีที่สิ้นสุดเราอาจไม่สามารถระบุส่วนประกอบที่สมบูรณ์ได้ ถ้าคุณต้องการศึกษาชุดเซต ce การลดทัวริงแรงเกินไปเนื่องจากชุดเซ็ต ce ไม่ได้ปิดอยู่ การลดลงของหลายคนเป็นวิธีที่เป็นธรรมชาติในการกำหนดการลดลงสำหรับวัตถุประสงค์นี้

การลดประเภทอื่น ๆ นั้นถูกกำหนดด้วยเหตุผลที่คล้ายกัน หากคุณสนใจฉันขอแนะนำให้ตรวจสอบ "ทฤษฎีการเรียกซ้ำแบบคลาสสิก" ของ Piergiorgio Odifreddi มันมีบทที่ค่อนข้างครอบคลุมเกี่ยวกับการลดและความสัมพันธ์ที่ต่างกัน

ทีนี้สำหรับทฤษฎีความซับซ้อนอาร์กิวเมนต์ก็คล้ายกัน หากคุณยอมรับว่าเป็นปัญหาที่เกิดขึ้นตามธรรมชาติเป็นอย่างมากและคุณต้องการศึกษาN Pดังนั้นการลดลงของ Cook จะรุนแรงเกินไป ทางเลือกที่เป็นธรรมชาติลดลงปรับตัวลดลงดังกล่าวว่าN Pปิดให้บริการภายใต้มันและเราสามารถพิสูจน์ได้ว่าการดำรงอยู่ของ WRT ปัญหาที่สมบูรณ์เพื่อลดผู้N P การลดคาร์ปเป็นทางเลือกที่เป็นธรรมชาติสำหรับวัตถุประสงค์นี้$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$

มีคำถามหลายข้อเกี่ยวกับเว็บไซต์นี้ที่เกี่ยวข้องกับการลด Cook vs Karp ไม่เคยเห็นคำอธิบายที่ชัดเจนมากสำหรับนีโอไฟท์เพราะมันค่อนข้างบอบบางในหลาย ๆ ด้านและเป็นพื้นที่เปิดใช้งาน / การวิจัย นี่คือการอ้างอิงบางอย่างที่อาจเป็นประโยชน์ในการแก้ไข ดังที่วิกิพีเดียสรุปว่า "การลดลงหลายครั้งมีค่าเพราะคลาสความซับซ้อนที่ได้รับการศึกษาอย่างดีส่วนใหญ่จะถูกปิดภายใต้การลดทอนหลายประเภทรวมถึง P, NP, L, NL, co-NP, PSPACE, EXP และอื่น ๆ อย่างไรก็ตามคลาสเหล่านี้ไม่ได้ปิดอยู่ภายใต้การลดจำนวนครั้งเดียว

ดูเหมือนยุติธรรมที่จะกล่าวว่าแม้แต่นักทฤษฎีขั้นสูงก็ยังคงไตร่ตรองถึงความแตกต่างและความแตกต่างที่แน่นอนดังที่กล่าวไว้ด้านล่างและเรื่องราวทั้งหมดจะไม่สามารถใช้งานได้เว้นแต่จะมีการแยกชั้นความซับซ้อนแบบเปิดที่มีความสำคัญเช่นคำถามเหล่านี้ ไม่ทราบ

[1] ทำอาหารกับ Karp-Levin: การแยกความสมบูรณ์แบบถ้า NP ไม่เล็ก (1992) Lutz, Mayordomo

[2] ทำอาหารและ Karp เหมือนกันหรือไม่? Beigel และ Fortnow

[3] ปัญหา NP-Complete เพิ่มเติม (PPT)ดูภาพนิ่ง 9-14 เกี่ยวกับประวัติ & Cook vs ความแตกต่างในการลด Karp