ความเป็นคู่ประเภทกำหนดไว้อย่างไร?

ในประเภท Recursiveของ Wadler ฟรี! [1], เขาแสดงให้เห็นสองประเภทและ∃ X ( X → F ( X ) ) × Xและอ้างว่าพวกเขาเป็นคู่ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเขาชี้ให้เห็นว่าชนิด∃ X X → ( X → F ( X ) )คือไม่ได้$\forall X . (F(X) \rightarrow X) \rightarrow X$$\exists X . (X \rightarrow F(X)) \times X$$\exists X . X \rightarrow (X \rightarrow F(X))$คู่ของอดีต ดูเหมือนว่าคู่ในคำถามที่นี่แตกต่างจากคู่เดอมอร์แกนในตรรกะ ฉันสงสัยว่าประเภทของ duality ถูกกำหนดไว้อย่างไรโดยเฉพาะสำหรับทั้งสามประเภทที่กล่าวถึงเหตุผลที่สองเป็นคู่แรกในขณะที่สามไม่ได้ ขอบคุณ

[1] http://homepages.inf.ed.ac.uk/wadler/papers/free-rectypes/free-rectypes.txt

ในบริบทนี้ความเป็นคู่หมายถึงการใช้จุดคงที่น้อยที่สุดในกรณีหนึ่งและจุดคงที่ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในอีกกรณีหนึ่ง เราควรพยายามที่จะเข้าใจในสิ่งที่รู้สึกและG = ∃ X ( X → F ( X ) ) × Xคือ "น้อย" และ "ที่ยิ่งใหญ่ที่สุด" การแก้ปัญหาของสม recursive F ( X ) ≅ X$L = \forall X . (F(X) \to X) \to X$$G = \exists X . (X \to F(X)) \times X$$F(X) \cong X$

ก่อนอื่นและGเป็นจุดคงที่แน่นอน (ภายใต้สมมติฐานทางเทคนิคบางอย่างซึ่ง จำกัด ลักษณะของF ) เนื่องจากแผนที่เปรียบเทียบv : F ( L ) → Lและw : G → F ( G ) ที่กำหนดโดย $L$$G$$F$$v : F(L) \to L$$w : G \to F(G)$ และ w ( X , ( f , x ) ) = F ( λ y :

$$v \, x \, X \, g = g \, (F (\lambda h : L \,.\, h \,X\, g)\, x)$$ คือความผิดปกติ โปรดสังเกตว่าเราใช้ความจริงที่ว่า Fเป็นนักแสดงเช่นมันเป็นเสียงเดียวเมื่อเรานำไปใช้กับฟังก์ชั่น $$w (X, (f, x)) = F (\lambda y : X \,.\, (X, (f, y))) \, (f x)$$ $F$

สมมติว่าเป็นวิธีการแก้ใด ๆ กับF ( Y ) ≅ Yกับมอร์ฟไกล่เกลี่ยU : F ( Y ) → Y จากนั้นเรามีแผนที่ที่ยอมรับได้α : L → Y  และ  β : Y → G ที่กำหนดโดย $Y$$F(Y) \cong Y$$u : F(Y) \to Y$

$$\alpha : L \to Y \text{ and } \beta : Y\to G$$ และ $$\alpha \, f = f\, Y\, u$$ ดังนั้น Lจึงน้อยที่สุดเพราะเราสามารถแมปจากโซลูชันนี้กับโซลูชันอื่นใดและ Gนั้นยิ่งใหญ่ที่สุดเพราะเราสามารถแมปจากโซลูชันอื่น ๆ ได้ เราสามารถทำให้ทั้งหมดนี้ถูกต้องมากขึ้นโดยการพูดถึงพีชคณิตเริ่มต้นและถ่านหินขั้นสุดท้าย แต่ฉันต้องการคำตอบที่สั้นและหวาน $$\beta \, y = (Y, (u^{-1}, y)).$$ $L$$G$

$F(X) = 1 + A \times X$$A$$A$

$I$$\cal C$$F:{\cal C}\rightarrow{\cal C}$$F$

• $A$$\cal C$ $$\alpha:F(A)\rightarrow A$$

• เป็นลูกศร: สี่เหลี่ยม

  

$I$$F$$I$

1. $in:F(I) \rightarrow I$
2. $F$$(A,\alpha)$$fold: I\rightarrow A$

$I=\forall X.(F(X)\rightarrow X)\rightarrow X$$fold$

$$fold=\lambda i:I. i\ A\ \alpha : I\rightarrow A$$ $in$$F$ซึ่งสามารถมองเห็นได้ว่าเป็นความต้องการบวก

$F$$F$

• $Z$$\cal C$ $$\omega: Z\rightarrow F(Z)$$
• $F$$\alpha$$\beta$

$T$

1. $out:T\rightarrow F(T)$
2. $F$$Z$$cofold: Z\rightarrow T$

$T=\exists X.(X\rightarrow F(X))\times X$

$$cofold = \lambda z:Z.(Z,\omega,z) : Z\rightarrow T$$ $T=\exists X.X\rightarrow (X\rightarrow F(X))$

$\lambda$$\pi$

เมื่อคุณแปล (ย่อยสลาย) ชนิดเข้าสู่กระบวนการแคลคูลัสคู่จะกลายเป็นง่าย: การป้อนข้อมูลเป็นแบบคู่เพื่อการส่งออกและในทางกลับกัน ไม่มีอะไรมากไปกว่าความเป็นคู่

$\pi$$\alpha = (Bool, Int)^{\uparrow}$$\alpha$$\alpha$$x$$\overline{x}\langle false,7\rangle$$\overline{\alpha}$$(v, w)$$v$$w$$\overline{\alpha}$$(bool,int)^{\downarrow}$$\overline{\alpha}$$x$$c(v,w).0$

$\beta = (int, (int)^{\uparrow})^{\downarrow}$$(v, w)$$v$$w$$\overline{\beta} =(int, (int)^{\downarrow})^{\uparrow}$$\alpha$$\overline{\alpha}$$P$$\alpha$$x$$Q$$\overline{\alpha}$$x$$P$$Q$$\beta$$\overline{\beta}$

$\forall X.(X,(X)^{\uparrow})^{\downarrow}$$(v, w)$$v$$X$$w$$X$$x$

$$x(vw).\overline{w}v$$ $\forall X.(X,(X)^{\uparrow})^{\downarrow}$

การวัดปริมาณสากลหมายถึงอะไรในระดับกระบวนการ มีการตีความที่ตรงไปตรงมา: หากข้อมูลถูกพิมพ์โดยตัวแปรประเภทมันไม่สามารถใช้เป็นหัวเรื่องของผลลัพธ์ได้เพียงวัตถุเท่านั้น ดังนั้นเราไม่สามารถตรวจสอบข้อมูลนี้เราสามารถส่งต่อหรือลืมได้

$\forall X.(X,(X)^{\uparrow})^{\downarrow}$$\exists X.(X,(X)^{\downarrow})^{\uparrow}$

ทฤษฎีนี้ได้รับการทำงานในรายละเอียดบางอย่างใน [1, 2, 3] และบางส่วนอื่น ๆ ยากที่จะเข้าถึงการทำงานและที่เกี่ยวข้องได้อย่างแม่นยำมากที่จะโพลาไรซ์เชิงเส้นตรรกะและความคิดของการเป็นคู่ใน4

$\lambda$$\lambda$$\pi$$\lambda$$\pi$$\lambda$

$\pi$

$\pi$

$\pi$

4พฮอนด้า et al., จดหมายที่แน่นอนระหว่างพิมพ์ปี่แคลคูลัสและขั้วหลักฐานมุ้ง

5อาร์มิลเนอร์, ฟังก์ชั่นเป็นกระบวนการ