ทำไมเราต้องมีความหมายอย่างเป็นทางการสำหรับตรรกะภาคแสดง?

พิจารณาคำถามนี้แก้ไข ฉันจะไม่เลือกคำตอบที่ดีที่สุดเพราะทุกคนมีส่วนทำให้ฉันเข้าใจหัวข้อ

ฉันไม่แน่ใจว่าสิ่งที่เป็นประโยชน์เรามีอย่างเป็นทางการโดยการกำหนดความหมายของตรรกะภาคแสดง แต่ฉันเห็นคุณค่าในการมีแคลคูลัสพิสูจน์อย่างเป็นทางการ ประเด็นของฉันคือเราไม่ต้องการซีแมนทิกส์แบบทางการเพื่อพิสูจน์กฎการอนุมานของแคลคูลัสเชิงพิสูจน์

เราสามารถกำหนดแคลคูลัสที่เลียนแบบ "กฎแห่งความคิด" เช่นกฎการอนุมานที่นักคณิตศาสตร์ใช้มานับร้อยปีเพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทของพวกเขา แคลคูลัสดังกล่าวมีอยู่แล้ว: การหักตามธรรมชาติ จากนั้นเราจะกำหนดแคลคูลัสนี้ให้เป็นเสียงที่สมบูรณ์

สิ่งนี้สามารถพิสูจน์ได้ด้วยการตระหนักว่าซีแมนทิกส์เชิงตรรกะของเพรดิเคตเชิงตรรกะเป็นเพียงตัวอย่างเท่านั้น ความเหมาะสมของแบบจำลองสามารถพิสูจน์ได้อย่างสมเหตุสมผลเท่านั้น ดังนั้นการแสดงให้เห็นว่าการหักตามธรรมชาตินั้นสมบูรณ์และสมบูรณ์โดยการอ้างอิงถึงความหมายที่เป็นทางการไม่ได้ทำให้การลดลงตามธรรมชาติมากขึ้น "จริง" มันจะดีเหมือนกันถ้าเราจะพิสูจน์ให้เห็นถึงกฎของการลดธรรมชาติโดยตรงอย่างสังหรณ์ใจ ทางอ้อมโดยใช้ความหมายอย่างเป็นทางการทำให้เราไม่มีอะไร

จากนั้นเมื่อมีการนิยามการหักตามธรรมชาติให้เป็นเสียงและสมบูรณ์เราสามารถแสดงความสมบูรณ์และความสมบูรณ์ของแคลคูลัสอื่น ๆ โดยแสดงให้เห็นว่าหลักฐานที่พวกเขาสร้างขึ้นสามารถแปลเป็นการหักตามธรรมชาติและในทางกลับกัน

ภาพสะท้อนของฉันด้านบนถูกต้องหรือไม่ ทำไมจึงเป็นสิ่งสำคัญที่จะพิสูจน์ความสมบูรณ์และความสมบูรณ์ของแคลคูลัสพิสูจน์โดยอ้างอิงถึงความหมายที่เป็นทางการ?

ความคิดเห็นเล็กน้อยและคำตอบที่จริงจังมากขึ้น

ครั้งแรกมันไม่สมเหตุสมผลที่จะประกาศระบบการหักโดยธรรมชาติที่สมบูรณ์โดยคำสั่ง การหักตามธรรมชาติเป็นสิ่งที่น่าสนใจอย่างแน่นอนเพราะมันมีความเชื่อในเรื่องความคงเส้นคงวาและ / หรือความสมบูรณ์ - กล่าวคือการถูกตัดออก นี่เป็นทฤษฎีบทที่น่าอัศจรรย์และ IMO แสดงให้เห็นถึงความพยายามอย่างเต็มที่ที่จะให้ความหมายเชิงทฤษฎีอย่างหมดจด (และจากการติดต่อของ CH มันก็พิสูจน์ให้เห็นถึงการใช้วิธีการปฏิบัติงานในการเขียนโปรแกรมภาษาซีแมนติก) แต่นี่เป็นสิ่งที่น่าสนใจอย่างแน่นอนเพราะมันให้ความคิดที่ละเอียดยิ่งขึ้นในการรับตรรกะที่ถูกต้องมากกว่าความมั่นคง การพิสูจน์ทฤษฎีทางถนนหมายความว่าคุณจะต้องทำงานให้มากขึ้น แต่ในการแลกเปลี่ยนคุณจะได้รับผลลัพธ์ที่ดีขึ้น

อย่างไรก็ตามมันเกิดขึ้นที่บางครั้งตรรกะต่อ seมีบทบาทรอง เราอาจเริ่มด้วยโมเดล (ตระกูล) แล้วหาวิธีพูดคุยเกี่ยวกับวากยสัมพันธ์เกี่ยวกับมันโดยใช้ตรรกะ ความสมบูรณ์และความสมบูรณ์ของลอจิกที่เกี่ยวกับตระกูลของโมเดลแสดงให้เห็นว่าตรรกะนั้นจับภาพทุกสิ่งทั้งที่น่าสนใจและเป็นจริงคุณสามารถพูดเกี่ยวกับคลาสของโมเดลได้ ตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมของเมื่อแบบจำลองมีความน่าสนใจมากกว่าทฤษฎีเชิงตรรกะที่เกิดขึ้นในการวิเคราะห์โปรแกรมและการตรวจสอบแบบจำลอง สิ่งที่ต้องทำตามปกติคือการนำโมเดลของคุณไปสู่การทำงานของโปรแกรมและตรรกะเพื่อแยกส่วนของตรรกะทางโลก ข้อเสนอที่คุณสามารถพูดได้ในภาษาเหล่านี้คือ (โดยเจตนา) ไม่น่าตื่นเต้นอย่างมาก - เช่นไม่มีการระบุตัวชี้โมฆะ - แต่ข้อเท็จจริงที่ว่ามันใช้กับโปรแกรมจริงที่ให้ความสนใจ

ฉันจะเพิ่มมุมมองอื่นเพื่อเพิ่มการตอบกลับข้างต้น ประการแรกภาพสะท้อนเหล่านี้มีความคุ้มค่าและหลายคนมีความคิดคล้ายกัน ในปรัชญานี้บางครั้งเรียกว่า "พิสูจน์ความหมายเชิงทฤษฎี -" น่าสนใจที่จะทำงานโดยนูเอล Belnap, แด๊ก Prawitz, ไมเคิล Dummett และคนอื่น ๆ ในยุค 60 และยุค 70 คนที่ตัวเองสนใจกลับไปทำงานของ Gentzen หักธรรมชาติ Per Martin-Löfและ Jean-Yves Girard ก็ดูเหมือนจะเสนอสายพันธุ์ของตำแหน่งนี้ในงานเขียนของพวกเขา และการพูดในวงกว้างมากในภาษาการเขียนโปรแกรมนี่คือ "วิธีการสร้างประโยคแบบวากยสัมพันธ์"

สิ่งนี้คือแม้ว่าคุณจะยอมรับว่ากฎของตรรกะไม่จำเป็นต้องตีความความหมายแยกกันก็ไม่น่าสนใจมาก / มีประโยชน์ที่จะบอกว่าพวกเขาเป็นธรรมด้วยตนเองและปล่อยให้มันเป็นอย่างนั้น คำถามคือสิ่งที่ความหมายทางการสำเร็จหรือไม่และเป็นไปได้หรือไม่ที่จะบรรลุเป้าหมายเดียวกัน อย่างไรก็ตามโครงการของทฤษฎีการรวมตัวแบบจำลองกับทฤษฎีการวิเคราะห์เชิงวิเคราะห์มีความสำคัญ แต่ก็ยังไม่ได้รับการแก้ไข, ถูกติดตามอย่างต่อเนื่องตามแนวหน้าที่หลากหลายรวมถึงตรรกะเชิงตรรกะ, ความหมายของเกม, และ "ludics" ของ Girard ยกตัวอย่างเช่นในนอกเหนือไปจากสิ่งที่ชาร์ลส์กล่าวถึงประโยชน์อื่นที่คุณภาพของการมีรูปแบบคือความสามารถในการให้เป็นรูปธรรมcounterexamplesจะไม่ใช่- ทฤษฎีและคำถามคือทำอย่างไรจึงจะเข้าใจได้ในแนวทาง "ตรง" สำหรับคำตอบที่ได้รับแรงบันดาลใจจากเรื่องเหลวไหลดูที่"ความหมายของความสมบูรณ์เชิงตรรกะ"โดย Michele Basaldella และ Kazushige Terui

ความหมายอย่างเป็นทางการให้ความหมายโดยตรงของข้อตกลงในแคลคูลัสเป็นอิสระจากกฎการพิสูจน์วากยสัมพันธ์สำหรับการจัดการกับพวกเขา หากไม่มีความหมายอย่างเป็นทางการคุณจะระบุได้ว่ากฎการหักเงินนั้นถูกต้องหรือไม่ (ความสมบูรณ์) หรือว่าคุณมีพอเพียง (ครบถ้วน) หรือไม่

มีการนำเสนอ "กฎแห่งความคิด" ก่อนที่จะมีการลดทอนธรรมชาติ syllogisms ของอริสโตเติลเป็นหนึ่งในคอลเลกชันดังกล่าว หากเรากำหนดให้พวกเขาฟังดูดีและสมบูรณ์เราอาจจะยังคงใช้มันในวันนี้แทนที่จะพัฒนาเทคนิคเชิงตรรกะขั้นสูงเพิ่มเติม ประเด็นคือถ้า syllogisms จับกฎแห่งความคิดได้อย่างสมบูรณ์ทำไมเราจะต้องคิดเชิงตรรกะเพิ่มเติมอีก เกิดอะไรขึ้นถ้าพวกเขาอยู่ในความเป็นจริงที่ไม่สอดคล้องกัน? มีความหมายพร้อมกับแคลคูลัสอย่างเป็นทางการหลักฐานและความมั่นคงและพิสูจน์ครบถ้วนเชื่อมต่อพวกเขาให้ติดวัดสำหรับการตัดสินคุณค่าของระบบการให้เหตุผลเช่น มันจะไม่โดดเดี่ยวอีกต่อไป

หรือไม่ความหมายที่นำเสนอสอดคล้องกับความคิดที่ใช้งานง่ายของการหักเงินเป็นเรื่องปรัชญา พิจารณาความแตกต่างระหว่างตรรกะคลาสสิกและ intuitionistic สาระสำคัญซึ่งก็คือว่ากฎแห่งการยกเว้นตรงกลาง ( ) ควรพิจารณาว่ามีเหตุผลที่ถูกต้อง ปริมาณงานศาสนาที่เกือบจะมากมายได้พิสูจน์ความถูกต้องของตรรกะเชิงสัญชาตญาณ (ดูปรีชา ) ดังนั้นเราจึงไม่สามารถตกลงกันได้ว่าแนวคิดเรื่องการลดทอนความรู้สึกนั้นสมเหตุสมผลหรือไม่ Beall และ Greg Restall$X\lor \neg X$แม้จะไปไกลเท่าที่การโต้เถียงว่าเราควรยอมรับว่าไม่มีใครมีเหตุผลที่แท้จริงและใช้ทัศนคติที่หลากหลายโดยใช้ตรรกะที่เหมาะสมที่สุดสำหรับโอกาส ด้วยเหตุผลมากมายที่นักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ได้รับ (ตรรกะเชิงเส้น, ตรรกะการแยก, ตรรกะเชิงสร้างสรรค์ที่สูงกว่า, ตรรกะลอจิกจำนวนมาก, ทั้งหมดในรูปแบบคลาสสิกและสัญชาตญาณ), การใช้ทัศนคติพหุนิยมเป็นสิ่งที่พวกเราส่วนใหญ่ คิดว่าเนื่องจาก logics เป็นเครื่องมือในการแก้ปัญหาเฉพาะและเราพยายามเลือกสิ่งที่เหมาะสมที่สุด ความหมายอย่างเป็นทางการเป็นวิธีหนึ่งในการตัดสินความเหมาะสมของตรรกะ

เหตุผลอีกประการหนึ่งสำหรับการมีความหมายอย่างเป็นทางการก็คือว่ามี logics มากกว่าแคลคูลัสภาคแสดง Logics เหล่านี้จำนวนมากได้รับการออกแบบมาเพื่อให้เหตุผลเกี่ยวกับระบบบางประเภท (ฉันกำลังคิดเกี่ยวกับคำกริยาเป็นกิริยาช่วย) นี่คือระดับของระบบที่เป็นที่รู้จักและตรรกะมาในภายหลัง (แม้ว่าในอดีตนี้ยังไม่เป็นความจริง) อีกครั้งความสมบูรณ์บอกเราว่าสัจพจน์ของตรรกะจับ "พฤติกรรม" ของระบบได้อย่างถูกต้องหรือไม่และความสมบูรณ์บอกเราว่าเรามีสัจพจน์เพียงพอหรือไม่ หากปราศจากความหมายเราจะรู้ได้อย่างไรว่ากฎการหักเงินนั้นเพียงพอและไร้สาระ?

ตรรกะตัวอย่างหนึ่งซึ่งถูกกำหนดไว้อย่างบริสุทธิ์ทาง syntactically และการทำงานยังคงดำเนินต่อไปเพื่อให้มันมีความหมายอย่างเป็นทางการคือตรรกะตรรกะสำหรับเหตุผลเกี่ยวกับโปรโตคอลการเข้ารหัส กฎการอนุมานเชิงตรรกะดูสมเหตุสมผลแล้วเหตุใดจึงต้องจัดให้มีความหมายที่เป็นทางการ ขออภัยตรรกะของ BAN สามารถใช้เพื่อพิสูจน์ว่าโปรโตคอลนั้นถูกต้อง แต่อาจมีการโจมตีโปรโตคอลดังกล่าว กฎการหักเงินจึงผิดอย่างน้อยก็เกี่ยวกับความหมายที่คาดหวัง

ฉันเห็นด้วยกับ supercooldave แต่ก็มีอีกเหตุผลที่เป็นไปได้มากกว่าสำหรับการต้องการมากกว่าชุดหรือกฎการอนุมานที่มีลักษณะเป็นตรรกะ: ชุดของกฎการอนุมานที่กำหนดมีแนวโน้มที่จะไม่ดีสำหรับการตอบปัญหาที่ต้องเผชิญเมื่อวางตรรกะ ใช้.

หากคุณมีเหตุผลที่ระบุไว้ในรายการสัจพจน์และกฎสองข้อในฐานะระบบฮิลแบร์ตมักจะเป็นงานที่ยากที่จะหาวิธีที่จะพิสูจน์ทฤษฎีบทที่ระบุในระบบและหากไม่มีความเข้าใจเชิงทฤษฎีคุณจะไม่เข้าใจ เพื่อให้สามารถพิสูจน์ได้ว่าข้อเสนอที่กำหนดไม่สามารถพิสูจน์ได้ในระบบ แบบดั้งเดิมนั้นดีสำหรับการพิสูจน์คุณสมบัติที่ยึดถือตรรกะทั้งหมดโดยการเหนี่ยวนำ

เครื่องมือสี่ชนิดมีประโยชน์ในการแก้ปัญหาที่นักตรรกวิทยาส่วนใหญ่ต้องการแก้ไขโดยเรียงจากน้อยไปหามากที่สุด:

1. ระบบสไตล์ของฮิลแบร์ตนั้นดีสำหรับการจำแนกลักษณะความสัมพันธ์เชิงตรรกะของตรรกะและพวกมันมักจะดีสำหรับการจัดหมวดหมู่ logics หลายอย่างเช่น logics modal ของคู่แข่ง;
2. ระบบฉากเป็นสิ่งที่ดีสำหรับขั้นตอนวิธีการตัดสินใจอย่างเป็นทางการ โดยทั่วไปแล้วถ้าเป็นตรรกะ decidable เราจะพบว่าระบบการตัดสินใจเป็นขั้นตอนวิธีการตัดสินใจและถ้าไม่มีใครสามารถหาระบบที่อาจยุติการตัดสินใจที่ไม่ใช่ - กึ่ง - กระบวนการ หากต้องการแสดงขอบเขตบนความซับซ้อนของความสามารถในการตัดสินใจ (เช่นคลาสความซับซ้อนของตรรกะ) ระบบ tableau มักจะเป็นที่แรกที่มีลักษณะ
3. ทฤษฎีการพิสูจน์การวิเคราะห์เช่นการหักตามธรรมชาติของ Gentzen และแคลคูลัสตามลำดับให้การรับรองการพิสูจน์ที่ดีสำหรับการให้เหตุผลและเสนอแนวคิดของการพิสูจน์การวิเคราะห์ซึ่งเป็นประโยชน์สำหรับการพิสูจน์คุณสมบัติที่มีประโยชน์เช่นการแก้ไขสำหรับทฤษฎี
4. ทฤษฎีแบบจำลอง Tarski มักจะดีกว่าสำหรับเหตุผลเกี่ยวกับ logics เพราะพวกเขาเกือบจะเป็นนามธรรมอย่างสมบูรณ์จากรายละเอียดวากยสัมพันธ์ของตรรกะ ในตรรกศาสตร์โมดอลและทฤษฎีเซตพวกเขาดีขึ้นอย่างมากในการนำเสนอผลลัพธ์ที่นักตรรกวิทยาเหล่านั้นมักจะมีความสนใจ จำกัด ในทฤษฎีการวิเคราะห์ฉากและการวิเคราะห์

เนื่องจาก supercooldave กล่าวถึงตรรกะของสัญชาตญาณ: โดยไม่มีการปกครองของกลางแยกทฤษฎีรูปแบบกลายเป็นความซับซ้อนมากขึ้นและทฤษฎีการวิเคราะห์การวิเคราะห์มีความสำคัญมากขึ้นโดยทั่วไปแล้วความหมายของการเลือก เทคนิคเชิงพีชคณิตเช่นทฤษฎีหมวดหมู่กลายเป็นที่ต้องการสำหรับการแยกออกจากความซับซ้อนของวากยสัมพันธ์