ชุดที่เล็กที่สุดไม่รวมอยู่ในชุดของชุด

ป.ร. ให้ไว้เป็น input จำนวนเต็ม$n$และชุด$S$ชุดขององค์ประกอบของสิ่งที่เป็นความซับซ้อนของการหาชุดขององค์ประกอบของ{ 1 , . . , n }เช่นนั้นTมีความเป็นเชิงหัวใจน้อยที่สุดและTรวมอยู่ในเซตใดของS ?$\{1, ..., n\}$$T$$\{1, ..., n\}$$T$$T$$S$

ให้และให้F = { S 1 , S 2 , … , S m } ⊆ 2 [ n ]เป็นตระกูลชุดอินพุต ถ้าฉันไม่เข้าใจสูตรปัญหาของคุณผิดเราต้องการหาชุดขนาดต่ำสุดT ⊆ [ n ]ดังนั้นT ⊈ S iสำหรับi = 1 , $[n] = \{ 1, 2, \dotsc, n \}$$\mathcal{F} = \{S_1, S_2, \dotsc, S_m \} \subseteq 2^{[n]}$$T \subseteq [n]$$T \not\subseteq S_i$ .$i = 1, 2, \dotsc, m$

เพื่อที่จะตอบคำถามของคุณทราบว่าถ้าหากว่าT ∩ ( [ n ] ∖ S ฉัน ) ≠ ∅ นั่นคือTต้องตัดกันส่วนประกอบของS iแต่ละตัว แต่นี่หมายความว่าปัญหาของคุณคือโดยพื้นฐานแล้วเท่ากับปัญหาชุดกดปุ่ม (ลองพิจารณาชุดการกดปุ่มพร้อมอินพุตG = { [ n ] ∖ S i : i = 1 , 2 , … , m } ):$T \not\subseteq S_i$$T \cap ([n] \setminus S_i) \not= \emptyset$$T$$S_i$$\mathcal{G} = \{ [n] \setminus S_i \ \colon \ i = 1, 2, \dotsc, m \}$

ชุดการกดปุ่ม ให้ชุดครอบครัวและเลขจำนวนเต็มkมีชุดT ⊆ [ n ]กับ| T | ≤ KและT ∩ S ≠ ∅สำหรับทุกS ∈ F ?$\mathcal{F} \subseteq 2^{[n]}$$k$$T \subseteq [n]$$|T| \le k$$T \cap S \not= \emptyset$$S \in \mathcal{F}$

ชุดการกดเป็นที่ทราบกันว่าเป็นปัญหาสมบูรณ์และไม่สามารถพูดหลวมแก้ไขได้เร็วกว่าเวลาเว้นแต่ว่าการคาดเดาที่รัดกุมในช่วงชิงเวลาจะล้มเหลว$O(2^n)$

ปัญหาเทียบเท่ากับปัญหาการตั้งค่าปก / ปัญหาการตั้งค่าการกดปุ่ม:

ป.ร. ให้ครอบครัวของส่วนย่อยของ{ 1 , ... , n } , หาชุดT ⊂ { 1 , ... , n }ขนาดที่เป็นไปได้น้อยที่สุดที่ตัดทุกชุดในครอบครัวF$\cal F$$\{1,\dots, n\}$$T \subset \{1,\dots, n\}$$\cal F$

ปัญหาของคุณคือเทียบเท่ากับชุดปัญหาตีตั้งแต่ไม่ได้อยู่ในชุดใด ๆ ในSและถ้าหากตัดชุดในทุกF = { ˉ : ∈ S } (ดังนั้นเพื่อแก้ตัวอย่างของชุดปัญหากดปุ่มก็พอเพียงที่จะแก้ตัวอย่างของปัญหาของคุณกับS = { ˉ : ∈ F } .)$T$$S$${\cal F} = \{\bar A: A\in S\}$$S = \{\bar A: A\in {\cal F}\}$

ชุด Hitting Set เป็นปัญหา NP-hard [Karp '72] มีอัลกอริทึมการประมาณสำหรับมันและความแข็งของการจับคู่ของผลลัพธ์การประมาณ [Lund, Yannakakis '94, Feige '98]$O(\log n)$