NP-ครบถ้วน / ความแข็งต้องสร้างสรรค์?

มีใด ๆ ที่มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:$L\in {\bf NP}$

1. เป็นที่รู้จักกันว่าหมายถึงP = N P$L\in {\bf P}$${\bf P}={\bf NP}$

2. ไม่มี (ที่รู้จักกัน) พหุนามลดเวลาการทัวริงคือ (หรืออื่น ๆN Pปัญหาที่สมบูรณ์) เพื่อL$SAT$${\bf NP}$$L$

ในคำอื่น ๆ ถ้าอัลกอริทึมเวลาพหุนามสำหรับหมายถึงการล่มสลายของN Pเข้าPแล้วมันจำเป็นที่ว่านี้ "ความแข็งทั่วไป" ของLสำหรับN Pจะต้องเป็นอย่างใดคo n s T R U คทีฉันวีอีในแง่ที่ว่าS A Tต้องสามารถลดให้Lผ่านการลดลงบางอย่างได้หรือไม่$L$${\bf NP}$${\bf P}$$L$${\bf NP}$$constructive$$SAT$$L$

ใช่มีชุดดังกล่าวเอาชุดระดับกลาง (ชุดใด ๆ ที่พิสูจน์ได้ว่าN P -ระดับกลางสมมติว่าP ≠ N P ) เช่นสร้างจาก SAT โดยใช้ทฤษฎีบทของ Ladner$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}\neq\mathsf{NP}$

โปรดทราบว่าของคุณจำเป็นต้องพิจารณาปัญหาN P- Intermediate เนื่องจากอยู่ในN Pแต่ไม่สมบูรณ์ ยังทราบว่าคุณกำลังสมมติว่าP ≠ N Pอย่างอื่นไม่มีเช่นLเป็นทุกปัญหาที่ไม่น่ารำคาญจะเป็นที่สมบูรณ์แบบสำหรับN Pถ้าN P = P นอกจากนี้เงื่อนไขที่คุณให้ไม่ได้หมายถึงความสมบูรณ์ดังนั้นคำถามในส่วนแรกจะไม่เหมือนกับคำถามเกี่ยวกับความสร้างสรรค์ของความสมบูรณ์$L$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}\neq\mathsf{NP}$$L$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}=\mathsf{P}$

---

เกี่ยวกับคำถามในชื่อกล่าวคือ " -hardness นั้นต้องสร้างสรรค์หรือไม่?"$\mathsf{NP}$

คำตอบขึ้นอยู่กับสิ่งที่เราหมายถึงโดย "สร้างสรรค์" ปัญหาการตัดสินใจถูกกำหนดให้เป็นN P -hard iff$A$$\mathsf{NP}$

$$\forall B\in \mathsf{NP} \ B \leq^\mathsf{P}_m A$$

ซึ่งหมายความว่า

$$\forall B\in \mathsf{NP} \ \exists f\in\mathsf{FP} \ \forall x\in\{0,1\}^* \ (x\in B \leftrightarrow f(x)\in A)$$

และด้วยทฤษฎีบทของคุกสิ่งนี้เทียบเท่ากับ

$$SAT \leq^\mathsf{P}_m A$$

ซึ่งหมายความว่า

$$\exists f\in\mathsf{FP} \ \forall x\in\{0,1\}^* \ (x\in SAT \leftrightarrow f(x)\in A)$$

เราจะสร้างคำจำกัดความที่สร้างสรรค์ได้อย่างไร ดูเหมือนว่าจะสร้างสรรค์มากสำหรับฉัน ผมคิดว่าสิ่งที่คุณต้องการที่จะถามคือถ้าเราสามารถพิสูจน์นี้สำหรับบางโดยไม่ทราบว่าสิ่งที่fอย่างชัดเจน ฉันจำไม่ได้ว่าเห็นการพิสูจน์ความแข็งดังกล่าว$A$$f$

คลาสสิกแม้ว่าเราจะไม่ได้มีฟังก์ชั่นที่เฉพาะเจาะจงมีฟังก์ชั่นบอกว่ามันเป็นไปไม่ได้ที่ไม่มีฟังก์ชั่นคือการลดเทียบเท่ากับการพูดว่าฟังก์ชั่นบางอย่างจะลดลง เพื่อพูดคุยเกี่ยวกับความคิดสร้างสรรค์เราต้องมีน้ำใจมากขึ้น ตัวอย่างเช่นเราสามารถพูดคุยเกี่ยวกับข้อความที่พิสูจน์ได้แบบคลาสสิก แต่ไม่สามารถสร้างสรรค์ได้ (เช่นสัญชาตญาณที่สถานะความรู้ทางคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกันทำให้รู้สึก Google สำหรับ "นักคณิตศาสตร์ในอุดมคติ" หรือตรวจสอบสิ่งนี้ )

ดูเหมือนว่าเป็นไปได้สำหรับฉันที่เราสามารถพิสูจน์ข้อความดังกล่าวโดยใช้การพิสูจน์โดยความขัดแย้งและไม่ให้ฟังก์ชันการลดที่ชัดเจน แต่มันไม่ได้หมายความว่าจะไม่มีข้อพิสูจน์เชิงสร้างสรรค์ของข้อความ หากต้องการพูดเพิ่มเติมว่าไม่มีการพิสูจน์เชิงสร้างสรรค์อยู่เราต้องเจาะจงมากขึ้น: การพิสูจน์ในทฤษฎี / ระบบใด เราหมายถึงอะไรโดยการพิสูจน์ที่สร้างสรรค์?

คุณอาจสนใจชุด -creative ที่ประดิษฐ์ขึ้นใน[1]เพื่อเป็นตัวอย่างการคาดคะเนของBerman-Hartmanis การคาดคะเนว่าชุด NP-complete ทั้งหมด isomorphic ถึง SAT$k$

"Isomorphic" นั้นแตกต่างจากการลดของทัวริง (ลดลงอย่างเห็นได้ชัดในความเป็นจริง) แต่เซตเหล่านี้แสดงว่าเป็น NP-hard โดยตรงและเท่าที่ฉันรู้ว่าไม่มีการลดลงของ SAT ที่กล่าวว่าตามคำจำกัดความของความสมบูรณ์แบบ NP จะต้องมีการลดลงระหว่างทั้งสองดังนั้นในขณะที่สิ่งนี้ตรงกับเกณฑ์การลด "ไม่ทราบ" มันอาจไม่ตรงกับสิ่งที่คุณต้องการ

[1] Joseph, D. and Young, P. คำพูดบางอย่างเกี่ยวกับหน้าที่ของพยานสำหรับชุดที่ไม่ใช่เชิงพหุนามและไม่สมบูรณ์ใน NP วิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี. ตอนที่ 39, pg 225--237 พ.ศ. 2528

ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างสำหรับคำถามในชื่อเรื่อง มันถูกนำมาจากกระดาษต่อไปนี้: Jan Kratochvil, Petr Savicky และ Zsolt Tuza การเกิดขึ้นของตัวแปรอีกหนึ่งตัวทำให้ความพึงพอใจเพิ่มขึ้นจากเรื่องไร้สาระไปเป็นแบบ np-complete วารสารคอมพิวเตอร์สยาม, 22 (1): 203–210, 1993

ปล่อยให้ f (k) เป็นจำนวนเต็มสูงสุด r ดังเช่นฟอรัม k-SAT ทุกอันที่แต่ละตัวแปรเกิดขึ้นในเวลา r มากที่สุดเป็นที่น่าพอใจ ไม่มีใครรู้ว่า f (k) สามารถคำนวณได้หรือไม่แม้ว่าจะมีขอบเขตที่ค่อนข้างเข้มงวดสำหรับมัน (ดู H. Gebauer, R. Moser, D. Scheder และ E. Welzl ความรัก ́asz Lemma ท้องถิ่นและความพึงพอใจ หน้า 30–54, 2009)

(k, s) -SAT เป็นปัญหา k-SAT จำกัด เฉพาะฟอรัมที่ซึ่งแต่ละตัวแปรเกิดขึ้นในเวลาส่วนใหญ่

Kratochvil et al. พิสูจน์แล้วว่า (k, f (k) +1) -SAT นั้นสมบูรณ์ NP โปรดทราบว่า (k, f (k)) - ปัญหา SAT เป็นที่พอใจเสมอ (ตามคำนิยาม) การลดลงนั้นไม่ใช่การสร้างสรรค์: โปรดทราบว่าการลดการส่งออกสูตรที่แต่ละตัวแปรเกิดขึ้นมากที่สุด f (k) +1 ครั้งถึงแม้ว่า f (k) จะไม่สามารถคำนวณได้ แนวคิดที่ไม่สร้างสรรค์หลักคือแม้ว่าจะไม่ทราบค่า f (k) แต่ก็มีสูตร (k, f (k) +1)) -SAT ซึ่งไม่น่าพอใจและพวกเขาจัดการสูตรนั้นตามความต้องการของพวกเขา .

Agrawal และ Biswas นำเสนอภาษาที่สมบูรณ์แบบซึ่งไม่มีการลด Karp หรือ Cook ที่รู้จักกัน หลักฐานของความครบถ้วนตามมาเพราะความสัมพันธ์ของพยานเป็นสากล (ความสัมพันธ์ของพยานมีผู้ประกอบการเข้าร่วมและจำเป็นต้องเป็นสากล) ภาษาที่ให้ไว้ในส่วนที่ 6.3 ในการอ้างอิง

M.Agrawal, S.Biswas, ความสัมพันธ์สากลในการดำเนินการตามโครงสร้างการประชุม IEEE ในทฤษฎีความซับซ้อน (1992), หน้า 207–220