ย่านที่สะดวกสบายของ“ P” และ“ NP-hard”

ให้เป็นงานอัลกอริทึม (อาจเป็นปัญหาการตัดสินใจหรือปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพหรืองานอื่น ๆ ) ให้เราเรียกX "ทางด้านพหุนาม" ถ้าสมมติว่าXเป็น NP-hard เป็นที่รู้กันว่าบ่งบอกว่าพหุนาม hieararchy พังทลายลงมา ให้เราเรียกX "บน NP-side" ถ้าสมมติว่าXยอมรับว่าอัลกอริธึมแบบพหุนามเป็นที่รู้กันว่าบ่งบอกว่าลำดับชั้นพหุนามลดลง$X$$X$$X$$X$$X$

แน่นอนว่าทุกปัญหาใน P อยู่ที่ด้านพหุนามและทุกปัญหาที่ NP-hard อยู่ใน NP-side ยกตัวอย่างเช่นแฟคตอริ่ง (หรืออะไรก็ตามใน NP intersection coNP) อยู่ทางด้านพหุนาม กราฟมอร์ฟิซึมอยู่ที่ด้านพหุนาม QUANTUM-SAMPLING อยู่ใน NP-side

1) ฉันสนใจตัวอย่างมากขึ้น (โดยธรรมชาติที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้) ของงาน Algoritmic ในด้านพหุนามและ (โดยเฉพาะ) ในตัวอย่างเพิ่มเติมในด้าน NP

2) ไร้เดียงสาดูเหมือนว่าด้าน NP เป็นปัญหาของ "เพื่อนบ้าน" ของปัญหา NP-hard และ P-side เป็น "เพื่อนบ้านของ P" มันเป็นความเข้าใจที่ถูกต้องหรือไม่ในการพิจารณาปัญหาในด้าน NP ว่า "ยากขึ้นมาก" เมื่อเทียบกับปัญหาในด้าน P หรือแม้แต่จะมองปัญหาในด้าน NP ว่า "ผิดกฏหมาย NP-hard"

3) (อาจชัดเจน แต่ฉันไม่เห็น) มีทั้งสองด้านหรือมีเหตุผลทางทฤษฎีที่เชื่อว่าXไม่น่าจะเป็นเช่นนี้ อัปเดตคำตอบคือใช่; ดูคำตอบของ Yuval Filmus ด้านล่าง$X$$X$

(หาก "ฝ่าย" เหล่านี้เกี่ยวข้องกับคลาสความซับซ้อนจริง ๆ และถ้าฉันพลาดศัพท์แสง cc ที่เกี่ยวข้องหรือผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้องโปรดแจ้งให้เราทราบ)

ปรับปรุง:ตอนนี้มีหลายคำตอบที่ดีสำหรับคำถาม ดังที่ระบุไว้เป็นครั้งแรกโดย Yuval Filmus และกล่าวถึงอีกครั้งคำถามนี้ไม่เป็นทางการและมีข้อ จำกัด บางประการเกี่ยวกับการโต้แย้งที่แสดงว่า X อยู่บน P-side / NP-side เป็นสิ่งจำเป็น (มิฉะนั้นคุณสามารถให้ X เป็นงานนำเสนอการพิสูจน์สำหรับ 0 = 1 ซึ่งอยู่ทั้งสองข้าง) วางสิ่งนี้ไว้มันอาจเป็นกรณีที่ปัญหา X (แท้จริง) บนการจับด้าน NP อย่างใดความแข็ง ของ SAT แม้ว่านี่อาจเป็นกรณีของปัญหาบางอย่างเกี่ยวกับ P-side ที่ความแข็งของ SAT ลดลง (แม้แต่เล็กน้อย) ในลักษณะที่พิสูจน์ได้ Yuval Filmus ให้ SAT ที่อ่อนตัวลงซึ่งอยู่ทั้งสองด้าน Andy Drucker ให้ตัวอย่างที่น่าสนใจห้าคำตอบรวมถึงการอ้างอิงถึงลำดับขั้นต่ำและสูงของSchöningและ Scott Aaronson ให้ตัวอย่างที่น่าสนใจเพิ่มเติม กล่าวถึงคำถามของการย้อนกลับฟังก์ชั่นทางเดียวซึ่งใกล้เคียงกับการจับความแข็งของ NP และที่ด้าน P และคำตอบของเขายังกล่าวถึงกรณีที่น่าสนใจของ QUANTUMSAMPLING ฉัน metioned ผลลัพธ์แบบเก่าของ Feige และ Lund

คำศัพท์ "ทางด้าน P" และ "ทางด้าน NP" และแน่นอนชื่อคำถามกระตุ้นให้เรานึกภาพ "ย่านที่คุ้นเคย" รอบตัว P และอีก "แนวอบอุ่น" รอบ ๆ ปัญหาที่ยากลำบาก อย่างไรก็ตามฉันต้องการที่จะยืนยันว่าสองย่านนี้ไม่ได้ "อบอุ่น" เลย!

จากการสังเกตครั้งแรกมีปัญหา "ทางด้าน P" ซึ่งดูเหมือนว่า "ถูกต้องตามหลักจริยธรรม" ที่ใกล้เคียงกับปัญหา NP-hard มากกว่า P. ตัวอย่างหนึ่งซึ่งคาดการณ์โดย Gil แน่นอนว่าเป็นปัญหาทั่วไปของการทำหน้าที่ทางเดียว ( ขึ้นอยู่กับประเภทของการลดราคาที่ได้รับอนุญาตดู Bogdanov-Trevisan หรือ Akavia et al.)

ในทางกลับกันก็มีปัญหา "ทางด้าน NP" ที่ดูเหมือนว่า "ห่างไกลโดยพลการ" จากปัญหาเรื่อง NP-hard ตัวอย่างหนึ่งที่โง่คือภาษาสุ่ม L โดยมีความน่าจะเป็น 1 ส่วน L! สำหรับถ้า L ดังกล่าวอยู่ใน P ดังนั้น 0 = 1 และคณิตศาสตร์ไม่สอดคล้องกันและ PH ก็ทรุดตัวลงเช่นกัน ;-D

(หมายเหตุว่าภาษาสุ่ม L นั้นยัง "บน P-ด้านข้าง" กับความน่าจะเป็น 1 ลิตรในช่วงเวลาเกือบทั้งหมดเช่น L's มีคุณสมบัติที่ว่าพวกเขากำลัง NP-ยากแล้วNP⊆BPPและ PH ยุบ. และนี้ พิสูจน์ได้ง่ายกว่าการอุทธรณ์ทฤษฎีบทของ Ladner ซึ่งมีทั้งสองภาษาจริง ๆ แล้วมันแสดงให้เห็นว่าไม่มีที่สิ้นสุดนับไม่ถ้วนของภาษา "เกือบทั้งหมด" ของพวกเขา - ในความเป็นจริง 100% - อยู่ทั้งสองด้าน!)

ฟังดูเหมือนการเล่นเกมของเด็กและเยาวชน แต่มีบทเรียนที่จริงจังที่ฉันต้องการดึงออกมา ฉันขอยืนยันว่าแม้ว่าการสุ่มตัวอย่าง QUANTUM นั้นเป็นทางการ "ทางด้าน NP" ปัญหานั้นแทบจะไม่ได้ใกล้เคียงกับการ "คุณธรรม NP-hard" มากกว่าภาษาแบบสุ่ม L Arkhipov และฉัน (และเป็นอิสระ Bremner-Jozsa-Shepherd) แสดงให้เห็นว่าถ้า QUANTUM SAMPLING อยู่ใน P (หรือมากกว่าใน SampBPP ชั้นของปัญหาการสุ่มตัวอย่างแบบ polynomially- ^solvable ) ดังนั้น P ^#P = BPP ^NPและดังนั้น ลำดับชั้นพหุนามยุบ แต่ถ้าคุณเป็นเครื่องจักร BPP, oracle สำหรับ BosonSampling เท่าที่เรารู้จะทำให้คุณไม่มีทางแก้ไขปัญหา NP-Complete ได้มากกว่าที่จะเป็น oracle แบบสุ่ม เฉพาะในกรณีที่คุณมีอยู่แล้วมีความสามารถในการแก้ NP-สมบูรณ์ปัญหา - พูดเครื่อง^NP - คุณ "สังเกตเห็น" ว่า oracle BosonSampling ช่วยเพิ่มความสามารถของคุณให้ดียิ่งขึ้นไปที่ #P แต่คุณสมบัติของการเพิ่ม NP ให้สูงขึ้นถึง #P นั้นแตกต่างจากและบางทีอาจเป็น "มุมฉากถึง" คุณสมบัติของ NP-hard ด้วยตัวของมันเอง

บังเอิญปัญหาเปิดที่ยอดเยี่ยมที่แนะนำโดยคำถามของ Gil คือการเลือกใช้ BosonSampling เป็น "ทางด้าน P" นั่นคือเราสามารถแสดงให้เห็นว่าถ้า NP ลดลงเป็น BosonSampling แล้ว PH จะยุบลงหรือไม่ ในขณะที่ฉันอาจจะหายไปบางสิ่งบางอย่างที่เห็นได้ชัดในครั้งแรกที่ฉันไม่มีเงื่อนงำวิธีการพิสูจน์สิ่งดังกล่าวมากกว่าที่ฉันรู้วิธีที่จะพิสูจน์ความหมายที่แข็งแกร่งว่าถ้า NP ⊆ BQP แล้ว PH ทรุดตัวลง

ความคิดเห็นสองประการไม่ว่าจะเป็นจำนวนเท่าใดสำหรับคำตอบ แต่อาจให้ประโยชน์บางอย่างในการอ่านเพิ่มเติม

$\cap$$\cap$

http://www.informatik.hu-berlin.de/forschung/gebiete/algorithmenII/Publikationen/Abstracts/low.ps.abstr_html

$t$

http://eccc.hpi-web.de/report/1999/045/

เพื่อความชัดเจนไม่มีหลักฐานที่แท้จริงว่าปัญหานี้ไม่ใช่ปัญหาที่ยากลำบากหรือเป็นเรื่องง่ายในทุกด้าน แต่ดูเหมือนว่าจะแตกต่างจากปัญหาหนักอื่น ๆ ใน NP ฉันคิดว่านี่เป็นหนึ่งในผู้สมัครที่น่าสนใจที่สุดสำหรับปัญหาระดับกลางและไม่ใช่ที่รู้จักกันดี

$X$

$M_i$$M_i$$n^{\log\log i}$$(\alpha,\beta)$

$f(n)$$f(1) = 1$$f(n)$$f(n+1)$$X_n$$(\phi,1^{|\phi|^{f(|\phi|)}})$$|\phi| \leq n$$\phi$$x$$\log n$$x \in L(M_{f(n)}) \triangle X_n$$f(n+1) = f(n)+1$$f(n+1) = f(n)$$f(n)$$n$

$X$$(\phi,1^{|\phi|^{f(|\phi|)}})$$\phi$$X = \bigcup_n X_n$

$X$$M_i$$f(n) \leq i$$n$$M_i$

$g$$X$$n^k$$X$$f(n) \longrightarrow \infty$$f(n) > k$$n \geq n_0$$g$$n_0$$(\phi,1^{|\phi|^{f(|\phi|)}})$$f$$g$

$PH$$P \neq NP$

$SAT$$NP$$SAT$$P = NP$

http://people.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/2q.pdf

$SAT$$\psi$$m$$n \ll m$$\psi$$n$$m$$SAT$

ในการตอบคำถามของ Bodlaender, Downey, Fellows และ Hermelin มันแสดงให้เห็นโดย Fortnow และ Santhanam ว่าการลดแรงอัดนั้นไม่น่าเป็นไปได้เพราะมันจะยุบ Poly Hierarchy:

http://people.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/compress.pdf

ผลลัพธ์ของพวกเขานำไปใช้กับการลดแบบสุ่มที่ช่วยให้เกิดข้อผิดพลาดด้านเดียว ฉันพิสูจน์ผลลัพธ์ที่สอดคล้องกันสำหรับข้อผิดพลาดสองด้านใน

http://eccc.hpi-web.de/report/2012/112/

(เอกสารเหล่านี้แต่ละเอกสารให้ข้อมูลที่แข็งแกร่งและเจาะจงกว่าจริงกว่าผลลัพธ์ที่ยกมาด้านบน)

$PH$$PPAD$$PH$$A$$PPAD^A$$TFNP^A$$PH^A$

http://people.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/phq.pdf

$X$$P$ $\Rightarrow$ $PH$$PH$

ฉันได้รับผลลัพธ์นี้โดย Feige และ Lund ซึ่งแสดงให้เห็นว่าหากลำดับชั้นของพหุนามยุบลงมันก็ยากที่จะเดาได้ว่าแม้แต่ข้อมูลบางส่วนเกี่ยวกับการถาวรของเมทริกซ์แบบสุ่ม

Uriel Feige และ Carsten Lund ในเรื่องความแข็งของการคำนวณเมทริกซ์แบบสุ่ม ความซับซ้อนในการคำนวณ 6 (1996/1997) 101-132

ให้ฉันพูดถึงอีกสองผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้องที่ทำให้ฉันสนใจจาก Uri Feige

เอกสารสองฉบับต่อไปนี้ใช้สิ่งนี้ในบริบทของการสร้างเคอร์เนล (อัลกอริธึมที่สามารถแก้ไขได้พารามิเตอร์คงที่)

Hans L. Bodlaender, Rodney G. Downey, Michael R. Fellows, Danny Hermelin: มีปัญหาโดยไม่มีเมล็ดพหุนาม เจคอมพิวเตอร์ Syst วิทย์ 75 (8): 423-434 (2009)

Lance Fortnow, Rahul Santhanam: ความเป็นไปได้ของอินสแตนซ์การบีบอัดและ PCPs ที่กระชับสำหรับ NP เจคอมพิวเตอร์ Syst วิทย์ 77 (1): 91-106 (2011)