เล็มม่าสม่ำเสมอสำหรับกราฟกระจาย

เลมม่าประจำ Szemeredi กล่าวว่ากราฟที่หนาแน่นทุกตัวสามารถประมาณเป็นสหภาพของกราฟแท่งขยายสองฝ่ายจำนวนมาก แม่นยำยิ่งขึ้นมีพาร์ทิชันของจุดยอดนิยมส่วนใหญ่ในชุดชุดส่วนใหญ่เป็นคู่ตัวขยาย bipartite (จำนวนชุดในพาร์ติชันและพารามิเตอร์การขยายขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์การประมาณ): $O(1)$ $O(1)$

http://en.wikipedia.org/wiki/Szemer%C3%A9di_regularity_lemma

มีรุ่นของบทแทรกสำหรับกราฟแบบเบาบาง "มีพฤติกรรม" ดู:

http://www.estatistica.br/~yoshi/MSs/FoCM/sparse.pdf

http://people.maths.ox.ac.uk/scott/Papers/sparseregularity.pdf

สิ่งที่ทำให้ฉันประหลาดใจเกี่ยวกับสูตรเหล่านี้คือพวกเขารับประกันได้ว่าคู่ชุดส่วนใหญ่ในพาร์ติชันแบบฟอร์มตัวขยาย bipartite และตัวขยาย bipartite เหล่านี้อาจว่าง ดังนั้นในกราฟกระจัดกระจายทั่วไปเป็นไปได้มากที่ขอบทั้งหมดระหว่างส่วนต่าง ๆ ในพาร์ทิชันของจุดยอดไม่ได้อยู่ในส่วนขยาย

ฉันสงสัยว่ามีสูตรที่ให้ขอบส่วนใหญ่มาจากส่วนขยายหรือว่าไม่มีความหวังสำหรับสูตรดังกล่าว

graph-theory co.combinatorics expanders

— Dana Moshkovitz
แหล่งที่มา

แต่ดูเหมือนว่ามันง่ายที่ thm ซึ่งใช้สำหรับกราฟที่หนาแน่นแบ่งออกเป็นบางส่วนสำหรับเบาบาง? ทราบวิกิพีเดียได้รับเตะจริงที่เชื่อมโยงกับกล่าวว่าไม่มีอะไรเกี่ยวกับกราฟแผ่ซึ่งแสดงให้เห็นความเป็นจริงอาจจะมีการตีความในภายหลัง / สูตร ...

— vzn

(1) คำศัพท์ปกติสำหรับคู่พฤติกรรมที่ดีคือคู่ "คู่ปกติ" (ในวิกิพีเดีย "คู่หลอกสุ่ม") ฉันแทนที่มันด้วย "ตัวขยาย bipartite" เพราะฉันพบว่าคำศัพท์นี้เป็นธรรมชาติสำหรับฉัน ในกรณีใด ๆ ความตั้งใจคือถ้าคุณเลือกเซ็ตย่อยที่มีขนาดใหญ่พอจากทั้งสองด้านของคู่จำนวนของขอบระหว่างเซ็ตย่อยนั้นจะแปรผันตามจำนวนของขอบในคู่ (2) แน่นอนว่าอะไรที่เป็นจริงสำหรับกราฟที่มีความหนาแน่นสูงอาจยุติความเป็นจริงสำหรับกราฟที่กระจัดกระจาย คำถามของฉันเป็นเรื่องเกี่ยวกับขอบเขตที่คุณสมบัติจากคดีหนาแน่นยังคงอยู่ในกรณีกระจัดกระจาย

— Dana Moshkovitz

ด้านล่างเป็นคำตอบที่ยืดยาว แต่tl; drในกรณีทั่วไปไม่มีความหวังสำหรับสูตรดังกล่าว แต่สำหรับหลาย ๆ คลาสที่เจาะจงของกราฟที่กระจัดกระจายที่มีรูปแบบปกตินี้มีอยู่

สำหรับพื้นหลังมี SRL รุ่นยอดนิยมสองรุ่น พวกมันคือ: สำหรับการแก้ไขและ node กราฟใด ๆ เราสามารถแบ่งลงในชิ้นส่วนเพื่อ ... $\varepsilon > 0$ $n$ $G = (V, E)$ $V = V_0 \cup V_1 \cup \dots \cup V_p$ $p = O_{\varepsilon}(1)$

(รวมตัว) (1)และขนาดของแตกต่างกันมากที่สุด (เรียกว่า "ชุดพิเศษ") และ (2) ทั้งหมดยกเว้นส่วนที่เหลือสนอง (ที่นี่ให้ความหนาแน่นระหว่างส่วนต่าง ๆ นั่นคือส่วนของขอบที่มีอยู่) $|V_0| \le \varepsilon n$ $V_1, \dots, V_p$ $1$ $V_0$ $\varepsilon p^2$ $(V_i, V_j)$
$| d (S, T) - d (V_{i}, V_{j}) | < ε for all S \subseteq V_{i}, T \subseteq V_{j}$ $\left|d(S, T) - d(V_i, V_j)\right| < \varepsilon \text{ for all } S \subseteq V_i, T \subseteq V_j$ $d(\cdot, \cdot)$

(การวิเคราะห์ ) การปล่อย เรามี
$d i s c (V_{i}, V_{j}) := max_{S \subseteq V_{i}, T \subseteq V_{j}} | V_{i} | | V_{j} | | d (V_{i}, V_{j}) - d (S, T) |,$ $\mathop{disc}(V_i, V_j) := \max \limits_{S \subseteq V_i, T \subseteq V_j} |V_i||V_j|\left|d(V_i, V_j) - d(S, T)\right|,$ $\sum_{i, j = 0}^{p} d i s c (V_{i}, V_{j}) < ε n^{2} .$ $\sum \limits_{i, j =0}^p \mathop{disc}(V_i, V_j) < \varepsilon n^2.$

"combinatorial ถ้อยคำ" (ฉันเพิ่งสร้างชื่อเหล่านี้พวกเขาไม่ได้มาตรฐาน) เป็นต้นฉบับและอาจมีชื่อเสียงมากขึ้นในขณะที่ "การใช้ถ้อยคำวิเคราะห์" มีความทันสมัยและเกี่ยวข้องกับขีด จำกัด กราฟ ฯลฯ (ฉันคิดว่ามันเป็นที่นิยมที่นี่) ในสายตาของฉันการวิเคราะห์นั้นเป็นรูปแบบที่ถูกต้องของ "กราฟที่ประมาณโดยการรวมตัวของ bipartite expanders" เนื่องจากมันให้การควบคุมกับ "ข้อผิดพลาด" ทั้งหมดของการประมาณดังกล่าวและไม่มีชุดพิเศษที่จะซ่อนมวล แต่ ณ จุดนี้นี่เป็นเพียงเครื่องสำอางเพราะมันเป็นบทแทรกที่ง่าย แต่สำคัญสิ่งหนึ่งที่ phrasings ทั้งสองนี้เทียบเท่ากัน ในการรับจาก Combinatorial ถึง Analytic เพียงแค่เชื่อมโยงการมีส่วนร่วมกับส่วนที่ผิดปกติและชุดพิเศษ ที่จะได้รับจากการวิเคราะห์ไปยัง Combinatorial เพียงแค่ย้ายส่วนใด ๆ ที่ก่อให้เกิดความคลาดเคลื่อนมากเกินไปกับชุดที่ยอดเยี่ยมและใช้ความไม่เท่าเทียมกันของมาร์คอฟเพื่อควบคุมมวลของมัน

ตอนนี้จะกระจัดกระจายสม่ำเสมอ เป้าหมายของระเบียบเบาบางคือการแทนที่ในความไม่เท่าเทียมกันนั้นกับที่เป็นส่วนหนึ่งของขอบที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่นำเสนอในGอย่างยิ่งกับการเปลี่ยนแปลงนี้phrasings ทั้งสองจะไม่เทียบเท่า ถ้อยคำวิเคราะห์ค่อนข้างแข็งแกร่ง: มันยังหมายถึง Combinatorial เหมือนเดิม แต่ Combinatorial ไม่ได้หมายความว่า Analytic เพราะ (ตามที่คาดไว้ใน OP) หนึ่งอาจซ่อนความหนาแน่นได้มากในฉากพิเศษหรือระหว่างที่ไม่ปกติ คู่ของชิ้นส่วน อันที่จริงแล้วการแยกนี้เป็นทางการ: กราฟขอบเขตล่างของ SRL หนาแน่น (พูดอันนี้ $\varepsilon$ $\varepsilon d(G)$ $d(G)$ $G$ ) บ่งบอกว่าวลีการวิเคราะห์ไม่ได้ขยายโดยทั่วไปไปยังกราฟกระจาย แต่สกอตต์ที่เชื่อมโยงใน OP แสดงให้เห็นว่าวลี Combinatorial จะขยายไปถึงกราฟกระจายทั้งหมดโดยไม่มีเงื่อนไข

การสำรวจที่เชื่อมโยงใน OP ส่วนใหญ่พูดถึงเกี่ยวกับ SRL สำหรับกราฟกระจายแบบ "ปกติ - ปกติ" ซึ่งหมายความว่ากราฟไม่มีรอยตัดที่หนาแน่นกว่าค่าเฉลี่ยมากกว่าปัจจัยคงที่ สำหรับกราฟที่เฉพาะเจาะจงเหล่านี้ phrasings Combinatorial และ Analytic นั้นมีค่าเท่ากันเนื่องจากไม่มีมวลพิเศษเกินจำนวนมากที่ซ่อนอยู่ในส่วนที่ไม่ธรรมดาดังนั้นการมีส่วนร่วมของพวกเขาในการสร้างความแตกต่างสามารถรวมกลุ่มกันได้ในกรณีที่หนาแน่น ดังนั้นกราฟเหล่านี้จึงมีการตีความ "การประมาณค่าโดยการรวมกันของการขยาย bipartite"

ในที่สุดฉันควรจะพูดถึงว่ามีสมมติฐานอื่น ๆ อีกมากมายในวรรณคดีที่บ่งบอกถึงความเท่าเทียมกันระหว่าง phrasings เหล่านี้ ตัวอย่างเช่น Upper Regularity (กำหนดไว้ที่นี่ ) เป็นเรื่องทั่วไปมากกว่า Upperity และยังเพียงพอที่จะแสดงถึงความเท่าเทียมกัน อย่างไรก็ตามสำหรับคลาสกราฟนี้และอื่น ๆ ฉันรับรู้ถึงความอ่อนแอของกฎระเบียบที่เกี่ยวข้องเท่านั้น $L_p$

— GMB
แหล่งที่มา

นอกจากนี้ยังขอโทษสำหรับความลึกลับของกระทู้ - สิ่งนี้เพิ่งเกิดขึ้นเพื่อให้สอดคล้องกับบทวิจารณ์ในปัจจุบันของฉันและฉันคิดว่าฉันจะแบ่งปันสิ่งที่ฉันพบ

— GMB