ส่วนขยายของตัวดำเนินการด้านเสียง

16

ในปัญหาที่ฉันกำลังทำงานอยู่มีผู้ดำเนินการส่วนขยายเสียงเกิดขึ้นตามธรรมชาติและฉันอยากรู้ว่ามีงานก่อนหน้านี้หรือไม่ ก่อนอื่นให้ฉันแก้ไขโอเปอเรเตอร์เสียงรบกวนพื้นฐาน $T_{\varepsilon}$ ในฟังก์ชั่นบูลีนที่มีมูลค่าจริง กำหนดฟังก์ชั่น $f: \{0,1\}^n \to \mathbb{R}$ และ $\varepsilon$ , $p$ ST $0 \leq \varepsilon \leq 1$ , $\varepsilon = 1 - 2p$ เรากำหนด $T_{\varepsilon} \to \mathbb{R}$ เป็น $T_{\varepsilon} f(x) = E_{y \sim \mu_p} [f(x+y)]$

$\mu_p$ คือการกระจายของได้รับโดยการตั้งค่าบิตของ bit แต่ละบิตให้เป็นอย่างอิสระโดยมีความน่าจะเป็นและอย่างอื่น เท่าที่เราสามารถคิดของกระบวนการนี้เป็นพลิกบิตของแต่ละกับความน่าจะเป็นอิสระพีตอนนี้ผู้ปฏิบัติงานด้านเสียงนี้มีคุณสมบัติที่มีประโยชน์มากมายรวมถึงการเป็นทวีคูณและมี eigenvalues ที่ดีและ eigenvectors (โดยที่เป็นของพื้นฐานพาริตี) $y$ $n$ $1$ $p$ $0$ $x$ $p$ $T_{\varepsilon_1} T_{\varepsilon_2} = T_{\varepsilon_1 \varepsilon_2}$ $T_{\varepsilon}(\chi_S) = \varepsilon^{|S|} \chi_S$ $\chi_S$

ตอนนี้ผมขอกำหนดส่วนขยายของฉันของซึ่งผมหมายถึงเป็นP_2)} มอบให้โดย)] แต่ที่นี่จัดจำหน่ายของเราเป็นเช่นนั้นเราพลิกบิตไปมีโอกาสและบิตไปด้วยความน่าจะP_2(ตอนนี้เห็นได้ชัดว่าการกระจายขึ้นอยู่กับที่ฟังก์ชั่นการประเมินและถ้า $T_\varepsilon$ $R_{(p_1,p_2)}$ $R_{(p_1,p_2)} \to \mathbb{R}$ $R_{(p_1,p_2)} f(x) = E_{y \sim \mu_{p,x}} [f(x+y)]$ $\mu_{p,x}$ $1$ $x$ $0$ $p_1$ $0$ $x$ $1$ $p_2$ $\mu_{p,x}$ $x$ $p_1 = p_2$ ดังนั้นจะลดเสียงให้เป็น 'เสียงปกติ') $R_{(p_1,p_2)}$

ฉันสงสัยว่าตัวดำเนินการนี้ $R_{(p_1,p_2)}$ ได้รับการศึกษามาอย่างดีบ้างแล้วในวรรณคดีหรือไม่ หรือคุณสมบัติพื้นฐานของมันชัดเจนหรือไม่ ฉันเพิ่งเริ่มต้นด้วยการวิเคราะห์แบบบูลดังนั้นสิ่งนี้อาจตรงไปตรงมากับคนที่คุ้นเคยกับทฤษฎีมากกว่าฉัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งฉันสนใจว่า eigenvector และค่าลักษณะเฉพาะมีลักษณะที่ดีหรือไม่ว่ามีคุณสมบัติแบบคูณใด ๆ

boolean-functions fourier-analysis

— อาเมียร์
แหล่งที่มา

14

ฉันจะตอบคำถามตอนที่สอง

I. ค่าลักษณะเฉพาะและค่าฟังก์ชัน Eigen

Let 's แรกพิจารณากรณีหนึ่งมิติ 1มันง่ายที่จะตรวจสอบว่าโอเปอเรเตอร์มี eigenfunctions สอง: และ ด้วยค่าลักษณะเฉพาะและ $n=1$ $R_{p_1,p_2}$ $1$

ξ (x) = (p_{1} + p_{2}) x - p_{1} = {\begin{cases} - p_{1}, & if x = 0, \\ p_{2}, & if x = 1. \end{cases}

$\xi(x) = (p_1+p_2)x - p_1 = \begin{cases} -p_1, &\text{ if } x =0,\\ p_2, &\text{ if } x =1. \end{cases}$

1

$1$

ตามลำดับ

1 - p_{1} - p_{2}

$1-p_1 - p_2$

พิจารณากรณีทั่วไป สำหรับให้ )สังเกตว่าเป็น eigenfunction ของ 2แน่นอนเนื่องจากตัวแปรทั้งหมดเป็นอิสระเรามี $S\subset \{1,\dots,n\}$ $\xi_S(x) = \prod_{i\in S} \xi(x_i)$ $\xi_S$ $R_{p_1,p_2}$ $x_i$

\begin{aligned} R_{p_{1}, p_{2}} (ξ (x)) & = R_{p_{1}, p_{2}} (\prod_{i \in S} ξ (x_{i})) = \prod_{i \in S} R_{p_{1}, p_{2}} (ξ (x_{i})) \\ = \prod_{i \in S} ((1 - p_{1} - p_{2}) ξ (x_{i})) = (1 - p_{1} - p_{2})^{| S |} ξ_{S} (x) . \end{aligned}

$\begin{align*} R_{p_1,p_2}(\xi(x)) &= R_{p_1,p_2}\left(\prod_{i\in S} \xi(x_i)\right) = \prod_{i\in S} R_{p_1,p_2}(\xi(x_i)) \\ &= \prod_{i\in S}\left((1-p_1 - p_2)\xi(x_i)\right) = (1-p_1 - p_2)^{|S|} \xi_S(x). \end{align*}$

เราจะได้ว่าเป็น eigenfunction ของกับ eigenvalue สำหรับทุก }เนื่องจากฟังก์ชั่นขยายพื้นที่ทั้งหมด, $\xi_S(x)$ $R_{p_1,p_2}$ $(1-p_1-p_2)^{|S|}$ $S\subset \{1,\dots,n\}$ $\xi_S(x)$ $R_{p_1,p_2}$ ไม่มีฟังก์ชั่น eigen อื่น (นั่นไม่ใช่การรวมกันเชิงเส้นของ ) $\xi_S(x)$

ครั้งที่สอง คุณสมบัติการคูณ

โดยทั่วไปคุณสมบัติ“คูณ” ไม่ได้ถือสำหรับตั้งแต่ eigenbasis ของขึ้นอยู่กับและ 2อย่างไรก็ตามเรามี ที่ $R_{p_1,p_2}$ $R_{p_1,p_2}$ $p_1$ $p_2$

R_{p_{1}, p_{2}}^{2} = R_{p_{1}^{'}, p_{2}^{'}},

$R_{p_1,p_2}^2 = R_{p_1',p_2'},$

และ

2

เพื่อตรวจสอบว่าทราบแรกที่

และ

มีชุดเดียวกันของ eigenfunctions

}

เรามี

p_{1}^{'} = 2 p_{1} - (p_{1} + p_{2}) p_{1}

$p_1' = 2p_1- (p_1+p_2)p_1$

p_{2}^{'} = 2 p_{2} - (p_{1} + p_{2}) p_{2}

$p_2' = 2p_2- (p_1+p_2)p_2$

R_{p_{1}, p_{2}}

$R_{p_1,p_2}$

R_{p_{1}^{'}, p_{2}^{'}}

$R_{p_1',p_2'}$

{ξ_{S}}

$\{\xi_S\}$

ตั้งแต่

R_{p_{1}, p_{2}}^{2} (ξ_{S}) = (1 - p_{1} - p_{2})^{2 | S |} ξ_{S} = (1 - p_{1}^{'} - p_{2}^{'})^{| S |} ξ_{S} = R_{p_{1}^{'}, p_{2}^{'}} (ξ_{S})

$R_{p_1,p_2}^2(\xi_S) = (1-p_1-p_2)^{2|S|} \xi_S=(1-p_1'-p_2')^{|S|}\xi_S = R_{p_1',p_2'} (\xi_S)$

\begin{aligned} 1 - p_{1}^{'} - p_{2}^{'} & = 1 - p_{1} \cdot (2 - (p_{1} + p_{2})) - p_{2} \cdot (2 - (p_{1} + p_{2})) \\ = 1 - (p_{1} + p + 2) (2 - (p_{1} + p_{2})) \\ = 1 - 2 (p_{1} + p_{2}) + (p_{1} + p_{2})^{2} = (1 - p_{1} - p_{2})^{2} . \end{aligned}

$\begin{align*} 1-p_1'-p_2' &= 1 - p_1\cdot (2- (p_1+p_2)) - p_2\cdot (2- (p_1+p_2)) \\ &= 1 - (p_1+p+2) (2- (p_1+p_2)) \\ &= 1 - 2(p_1 +p_2) + (p_1 + p_2)^2 = (1-p_1-p_2)^2. \end{align*}$

สาม. เกี่ยวข้องกับผู้ดำเนินการ Bonami - Beckner

$\{0,1\}^n$ ${\mathbb R}$ $\delta = \frac{1}{2}\cdot \frac{p_1-p_2}{p_1+p_2}$

A_{δ} (ฉ) = ฉ (x_{1} + δ, ..., x_{n} + δ) .

$A_{\delta}(f) = f(x_1 + \delta, \dots, x_n + \delta).$

f

$f$

A [f]

$A[f]$

R_{p_{1}, p_{2}} (f) = A_{δ}^{- 1} T_{ε} A_{δ} (f),

$R_{p_1,p_2}(f) = A_{\delta}^{-1} T_{\varepsilon}A_{\delta}(f),$

ε = 1 - p_{1} - p_{2}

$\varepsilon = 1 - p_1 - p_2$

— Yury
แหล่งที่มา

ขอบคุณสำหรับคำตอบ! นั่นเป็นจุดเริ่มต้นที่ดีสำหรับฉันที่จะทำงานกับ; ตอนนี้ฉันควรจะสามารถทำงานได้หากมีความคล้ายคลึงกันของความไม่เท่าเทียมกันที่หดตัวมากเกินไป จะโพสต์กลับมาที่นี่หากฉันได้รับการวิเคราะห์ที่น่าสนใจกว่านี้

— อาเมียร์

นี่เป็นเวลานานหลังจากความจริง แต่ฉันอยากรู้ว่าคุณได้รับส่วนที่สามและความสัมพันธ์กับผู้ดำเนินการ Becker Bonami อย่างไร

— อาเมียร์

f = 1

$f=1$

f = x_{i}

$f=x_i$

1

$1$

x_{i}

$x_i$

T_{ε}

$T_\varepsilon$

R_{p_{1}, p_{2}}

$R_{p_1,p_2}$

\prod_{i \in S} x_{i}

$\prod_{i\in S} x_i$

T

$T$

\prod_{i \in S} ξ (x_{i})

$\prod_{i\in S} \xi(x_i)$ of

R

$R$ . Thus

R (f) = A^{- 1} T A (f)

$R(f) = A^{-1} T A(f)$ where A is a linear map that maps

ξ (x)

$\xi(x)$ to

x

$x$ .

— Yury

3

We were eventually able to analyze hypercontractive properties of $R_{p_1, p_2}$ (http://arxiv.org/abs/1404.1191), building off of the main Fourier analysis of $R_{p,0}$ by Ahlberg, Broman, Griffiths and Morris (http://arxiv.org/abs/1108.0310).

To summarize, the effect of a biased operator $R_{p,0}$ on a function $f$ can be analyzed as a symmetric noise operator in a biased measure space. This gives a weak form of hypercontractivity, which depends on how the $\ell_2$ norm of $f$ varies when switching to a choice of biased measure $\mu$ dependent on $p$ .

— Amir
แหล่งที่มา

You might want to 'accept' this answer so that the question doesn't keep popping up (disclaimer: I am an author on the linked paper)

— Suresh Venkat