คลาสที่ซับซ้อนสำหรับคดีอื่นที่ไม่ใช่“ กรณีที่เลวร้ายที่สุด”

เรามีคลาสความซับซ้อนที่เกี่ยวกับการพูดความซับซ้อนเฉลี่ยหรือไม่ ตัวอย่างเช่นมีระดับความซับซ้อน (ชื่อ) สำหรับปัญหาที่ใช้เวลาพหุนามที่คาดว่าจะตัดสินใจหรือไม่

อีกคำถามหนึ่งพิจารณาถึงความซับซ้อนของตัวพิมพ์ใหญ่ที่สุดตัวอย่างด้านล่าง:

มีปัญหา (ตามธรรมชาติ) ในระดับที่การตัดสินใจต้องการเวลาอย่างน้อยเป็นเลขชี้กำลังหรือไม่?

ชี้แจงพิจารณาบางEXPสมบูรณ์ภาษาLเห็นได้ชัดว่าอินสแตนซ์ทั้งหมดไม่ต้องการเวลาเอ็กซ์โพเนนเชียล: มีหลายกรณีที่สามารถตัดสินใจได้แม้ในเวลาพหุนาม ดังนั้นความซับซ้อนของกรณีที่ดีที่สุดของไม่ใช่เวลาเอ็กซ์โปเนนเชียล$L$$L$$L$

แก้ไข:เนื่องจากความกำกวมหลายอย่างเกิดขึ้นฉันต้องการพยายามอธิบายให้ชัดเจนยิ่งขึ้น จากความซับซ้อน "กรณีที่ดีที่สุด" ฉันหมายถึงคลาสที่มีความซับซ้อนซึ่งความซับซ้อนของปัญหาถูกจำกัด ขอบเขตโดยบางฟังก์ชัน ตัวอย่างเช่นกำหนดBestEเป็นคลาสของภาษาซึ่งไม่สามารถตัดสินใจได้ในเวลาน้อยกว่าเลขชี้กำลังเชิงเส้นบางส่วน สัญลักษณ์ให้แทนเครื่องทัวริงตามอำเภอใจและ ,และเป็นจำนวนธรรมชาติ:$M$$c$$n_0$$n$

$L \in \mathbf{BestE} \Leftrightarrow$ $\quad (\exists c)(\forall M)[(L(M) = L) \Rightarrow (\exists {n_0})(\forall n > {n_0})(\forall x \in {\{0,1\}^n})[T(M(x)) \ge {2^{c|x|}}]]$

ที่หมายถึงเวลาที่ใช้ก่อนที่จะMหยุดกับการป้อนข้อมูลxM $T(M(x))$$M$$x$

ฉันยอมรับว่าการกำหนดปัญหาดังกล่าวนั้นแปลกมากเนื่องจากเราต้องการเครื่องทัวริงMทุกเครื่อง$M$โดยไม่คำนึงถึงพลังของมันไม่สามารถตัดสินใจภาษาได้ในเวลาน้อยกว่าเลขชี้กำลังเชิงเส้น

ยังสังเกตเห็นว่าพหุนามเวลา ( BestP ) เป็นธรรมชาติเนื่องจากทุกเครื่องทัวริงต้องใช้เวลา$|x|$อย่างน้อยอ่านอินพุตของมัน

PS: บางทีแทนที่จะหาปริมาณเป็น "สำหรับทัวริงเครื่อง " เราต้อง จำกัด ให้บางเครื่องทัวริงที่กำหนดไว้ล่วงหน้าเช่นเครื่องทัวริงเวลาพหุนาม ด้วยวิธีนี้เราสามารถกำหนดคลาสเช่นซึ่งเป็นคลาสของภาษาที่ต้องการเวลากำลังสองอย่างน้อยในการตัดสินใจในเครื่องทัวริงพหุนามเวลาบีอีs T ( n 2$M$$\mathbf{Best(n^2)}$

PS2: เราสามารถพิจารณาความซับซ้อนของวงจรคู่กันซึ่งเราพิจารณาขนาด / ความลึกของวงจรที่น้อยที่สุดในการตัดสินใจภาษา

แม้ว่าฉันจะไม่สามารถแยกคำจำกัดความของคุณได้ค่อนข้างมาก แต่คุณควรรู้ว่าลำดับชั้นของเวลามีความแข็งแกร่งมากขึ้นโดยเฉพาะอย่างยิ่งลำดับชั้นเวลา "เกือบทุกที่"

นี่คือคำแถลงอย่างเป็นทางการ: สำหรับทุกครั้งที่ขอบเขตมีภาษามีคุณสมบัติที่อัลกอริทึมที่กำหนดขึ้นมาทุกตัวที่จำต้องทำงานอย่างถูกต้องในเวลา asymptotically มากกว่าในทุก แต่หลายขีดปัจจัยการผลิตสำหรับเวลาเล็กพอ(n) L ∈ T ฉันM E [ T ( n ) ] L t ( n ) t ( n $T(n)$$L \in TIME[T(n)]$$L$$t(n)$$t(n)$

"เล็กพอ" หมายถึง(n))$t(n) \log t(n) \leq o(T(n))$

สมมติว่าเราเลือกสำหรับตัวอย่างและได้รับภาษาที่พูดยากLจากนั้นอัลกอริทึมใด ๆ ที่จำได้อย่างถูกต้องจะต้องใช้เวลาอย่างน้อยสำหรับอินพุตทั้งหมดผ่านความยาวที่แน่นอน นี่เป็นสิ่งที่คุณกำลังมองหาในชั้นเรียน BestE L L 2 n / n $T(n)=2^n$$L$$L$$2^n/n^2$

อ้างอิง:

John G. Geske, Dung T. Huynh, Joel I. Seiferas: บันทึกย่อเกี่ยวกับชุดที่ซับซ้อนและแยกชั้นเรียนที่ซับซ้อนตามเวลา คอมพิวเต 92 (1): 97-104 (1991)

มีจำนวนคลาสที่พยายามจัดการกับความคิดที่หลากหลายของความซับซ้อนของตัวพิมพ์โดยเฉลี่ย ใน Complexity Zoo บางคลาสที่คุณอาจสนใจคือ:

AvgP

HeurP

DistNP

(NP P-samplable)

Arora / Barakครอบคลุมหลายคลาสที่คล้ายกัน (ใน Ch 18), การกำหนด distP, distNP และ sampNP

ความสัมพันธ์ที่แน่นอนระหว่างทั้งหมดของชั้นเรียนเหล่านี้เป็นลักษณะ Impagliazzo ห้าโลกซึ่งได้รับการถามก่อนหน้านี้เกี่ยวกับในคำถามอื่น

เท่าที่คำถามความซับซ้อน "กรณีที่ดีที่สุด" ฉันไม่แน่ใจว่าฉันเข้าใจสิ่งที่คุณหมายถึง คุณกำลังมองหาEXPหรือไม่?

หากคุณหมายถึงคลาสความซับซ้อนที่กำหนดไว้ในแง่ของเวลารันเคสที่ดีที่สุดในทุกกรณีนี่ไม่ใช่ความซับซ้อนที่ดีมากในการวัดความสำคัญเนื่องจากคุณจะมองเฉพาะกรณีเล็ก ๆ น้อย ๆ ของปัญหาที่ได้รับ

[เพิ่มคำตอบของไรอันวิลเลียมส์และเพิ่มคำค้นหาให้คุณ] ความคิดเรื่องความซับซ้อนของกรณีที่ดีที่สุดมีชื่ออยู่แล้ว: เกือบทุกหนทุกแห่ง (ae) ความแข็งหรือภูมิต้านทาน (ตัวอย่างของไรอันมีต่อ -bi-immunity) ถ้าCเป็นระดับที่ซับซ้อนแล้วภาษาLคือC -immune ถ้าไม่มีเซตอนันต์L ' ⊆ Lดังกล่าวว่าL ' ∈ C LคือC -bi-ภูมิคุ้มกันถ้าทั้งLและส่วนประกอบของ¯ $TIME[T(n)]$$\mathcal{C}$$L$$\mathcal{C}$$L' \subseteq L$$L' \in \mathcal{C}$$L$$\mathcal{C}$$L$คือ C -immune ยกตัวอย่างเช่นมันไม่ยากที่จะแสดงให้เห็นว่านิยามของบีอีเอสทีอีเทียบเท่ากับระดับของ Eชุด -bi ภูมิคุ้มกัน$\overline{L} = \Sigma^* \backslash L$$\mathcal{C}$$\mathbf{BestE}$$E$

(ประวัติศาสตร์กัน: ความคิดของภูมิคุ้มกันได้รับการพัฒนาเป็นครั้งแรกโดยโพสต์ในปี 1944ในทฤษฎีการคำนวณนานก่อนที่ P จะถูกกำหนดแม้โพสต์ถือว่าจริง "ชุดง่าย" - ชุดเป็นเรื่องง่ายถ้าส่วนประกอบเป็นภูมิคุ้มกัน คำว่า "ภูมิคุ้มกัน" โดยทั่วไปหมายถึง "ภูมิคุ้มกันต่อเซตที่คำนวณได้" ในการตั้งค่านั้นภูมิคุ้มกันนั้นเทียบเท่ากับ "ภูมิคุ้มกันต่อเซตเซตซีซี" เนื่องจากชุดเซตอนันต์ทุกชุดประกอบด้วยชุดคำนวณที่ไม่มีขีด จำกัด ผมเชื่อว่าบทความของโพสต์ แนวคิดเรื่องการลดลงหลายคน แต่ฉันไม่สามารถสาบานได้เลย)

กรณีที่แตกต่างกันทำให้รู้สึกมากขึ้นเมื่อพูดถึงอัลกอริทึมไม่ใช่ปัญหา ในทางกลับกันคลาสที่ซับซ้อนนั้นเกี่ยวกับปัญหาไม่ใช่อัลกอริธึม ดังนั้นคลาสที่ซับซ้อนมักจะเป็นกรณีที่แย่ที่สุดสำหรับอัลกอริทึมใด ๆ เนื่องจากคำจำกัดความ

ในความซับซ้อนเป้าหมายของคุณคือการรู้จำนวนทรัพยากรที่จำเป็นในการแก้ปัญหาตัวอย่างที่กำหนด ดังนั้นคุณรู้ว่าสำหรับอินสแตนซ์และอัลกอริทึมใด ๆ ที่กำหนดคุณจะต้องการทรัพยากรเหล่านั้นและไม่มีอะไรเพิ่มเติม

ในการวิเคราะห์อัลกอริทึมเป้าหมายของคุณคือเพื่อให้แน่ใจว่าอัลกอริทึมของคุณมีขอบเขตสูงสุดสำหรับทรัพยากรในทุกกรณีของปัญหา ขอบเขตที่ไม่สำคัญคือคลาสความซับซ้อนของปัญหาเนื่องจากอัลกอริทึมที่ไม่มีประโยชน์ (ขั้นตอนที่ไม่ได้ทำขั้นตอนที่จำเป็น) ใช้เวลามากกว่านั้น อย่างไรก็ตามคุณสามารถปรับปรุงขอบเขตที่ให้กับข้อมูลเฉพาะของอัลกอริทึม

$\Theta$

สำหรับกรณีที่ดีที่สุดมันเป็นเรื่องเล็กน้อยสำหรับทุกปัญหาในการค้นหาจำนวนทรัพยากรที่จำเป็นน้อยที่สุด สมมติว่าอินพุตเป็นความยาว O (n) และเอาต์พุตของความยาว O (m) จากนั้น TM M ต่อไปนี้จะทำงานใน O (n) + O (m) สำหรับกรณีที่ดีที่สุด:

M {ป้อนข้อมูลอินสแตนซ์โซลูชั่น}

1. เปรียบเทียบอินสแตนซ์ที่กำหนดกับอินสแตนซ์ที่เข้ารหัสในเครื่อง
2. หากมีค่าเท่ากันให้ส่งคืนโซลูชันที่เข้ารหัส
3. อื่น ๆ ทำการค้นหาที่ดุร้าย

$O(1)$