ในไม่กี่วันที่ผ่านมาฉันคิดมากเกี่ยวกับฟังก์ชั่นที่สามารถสร้างเวลาได้อย่างเต็มที่และฉันจะนำเสนอสิ่งที่ฉันค้นพบโดยการตอบคำถามที่ 1 และ 3 Q2 ดูยากเกินไป
Q3:
โคบายาชิในบทความของเขา (อ้างอิงที่อยู่ในคำถาม) พิสูจน์ให้เห็นว่าฟังก์ชั่นซึ่งมีอยู่ε > 0 ST ฉ( n ) ≥ ( 1 + ε ) nเป็นเวลาอย่างเต็มที่ constructible IFF มันเป็น คำนวณในO ( F ( n ) )เวลา (โปรดทราบว่ามันไม่เกี่ยวข้องว่าอินพุตหรือเอาต์พุตอยู่ในเอกภาพ / ไบนารีเนื่องจากเราสามารถแปลงระหว่างการแสดงสองแบบนี้ในเวลาเชิงเส้น) นี้จะทำให้การทำงานต่อไปอย่างเต็มที่เวลา constructible: 2 n ,f:N→Nϵ>0f(n)≥(1+ϵ)nO(f(n))2n , n ! , n ⌊ log n ⌋พหุนามทุกหน้ามากกว่า N ST P ( n ) ≥ ( 1 + ε ) n ... โคบายาชิยังพิสูจน์อย่างเต็มที่เวลา constructibility สำหรับฟังก์ชั่นบางอย่างที่เติบโตช้ากว่า ( 1 + ε ) nเช่น n + ⌊ ⌊ บันทึกn ⌋ Q ⌋สำหรับ Q ∈ Q +22nn!n⌊logn⌋pNp(n)≥(1+ϵ)n(1+ϵ)nn+⌊⌊logn⌋q⌋q∈Q+ ...
เพื่อดำเนินการต่อด้วยตัวอย่างของฟังก์ชั่นเต็มเวลาที่สร้างได้เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าถ้าและf 2สามารถสร้างได้เต็มเวลาแล้วจากนั้นf 1 + f 2 , f 1 f 2 , f f 2 1และf 1 ∘ f 2คือ ยังสามารถสร้างได้เต็มเวลา (ต่อมาจะติดตามโดยตรงจากทฤษฎีบท 3.1 ในโคบายาชิ) ทั้งหมดนี้ทำให้ฉันเชื่อว่าฟังก์ชั่นที่ดีมากมายนั้นสามารถสร้างได้อย่างเต็มเวลาf1f2f1+f2f1f2ff21f1∘f2
มันเป็นเรื่องที่น่าแปลกใจว่าโคบายาชิไม่เห็นทางที่จะพิสูจน์ได้อย่างเต็มที่เวลา constructibility ของ (ดี) ฟังก์ชั่น (และไม่ทำฉัน)⌊nlogn⌋
ขอให้เรายังแสดงความคิดเห็นความหมายจากบทความวิกิพีเดีย : ฟังก์ชั่นเป็นเวลา constructible ถ้ามีอยู่ทัวริงเครื่องMซึ่งได้รับสตริง1 n , เอาท์พุทF ( n )ในO ( F ( n ) )เวลา fM1nf(n)O(f(n)) เราจะเห็นว่าคำนิยามนี้เป็น equivallent ความหมายของเวลาอย่างเต็มที่ constructibility สำหรับฟังก์ชั่นของเรา nf(n)≥(1+ϵ)n
Q1:
คำถามนี้มีคำตอบที่น่าสนใจจริงๆ ฉันเรียกร้องว่าถ้าทุกฟังก์ชั่นเวลา constructible อย่างเต็มที่เวลา constructible แล้ว E เพื่อพิสูจน์ว่าให้เราใช้เวลาเป็นปัญหาโดยพลL ∈ N E X P - T ฉันM E , L ⊆ { 0 , 1 } * จากนั้นจะมีk ∈ N , st LEXP−TIME=NEXP−TIMEL∈NEXP−TIMEL⊆{0,1}∗k∈NLสามารถแก้ไขได้โดย NDTM ใน2 n k - 1ขั้นตอน เราสามารถสรุปได้ว่าในแต่ละขั้นตอนM เข้าสู่สถานะที่แตกต่างกันมากที่สุดสองสถานะเพื่อความเรียบง่าย ตอนนี้กำหนดฟังก์ชั่น
f ( n ) = { 8 n + 2 ถ้า ( แรก ⌊ k √M2nk−1M
f(n)={8n+28n+1if (first ⌊⌊logn⌋+1−−−−−−−−−√k⌋ bits of bin(n))∈Lelse
fT
- wn(first ⌊⌊logn⌋+1−−−−−−−−−√k⌋ bits of bin(n))O(n)
- Mw
- (M accepts using choices given by w)
w=nM(first ⌊⌊logn⌋+1−−−−−−−−−√k⌋ bits of bin(n))n
T8n+1f
fEXP−TIME=NEXP−TIME
L
- xnx00…0|x|k−1x=(first ⌊⌊logn⌋+1−−−−−−−−−√k⌋ bits of bin(n))
- f(n)f(n)
LL∈NEXP−TIMEEXP−TIME=NEXP−TIME