คำจำกัดความที่เท่าเทียมกันของความสามารถในการสร้างเวลา


13

เราบอกว่าฟังก์ชั่นสามารถสร้างเวลาได้หากมีเครื่องทัวริงหลายเทปที่กำหนดค่าได้Mซึ่งในอินพุตทั้งหมดของความยาวnทำให้ขั้นตอนf ( n )มากที่สุดและสำหรับแต่ละnมีอินพุตบางส่วนของ ความยาวnซึ่งMทำให้ขั้นตอนf ( n ) เป็นพิเศษf:NNMnf(n)nnMf(n)

เราบอกว่าฟังก์ชั่นนั้นสามารถสร้างขึ้นได้อย่างเต็มเวลาหากมีเครื่องทัวริงหลายเทปที่กำหนดค่าได้Mซึ่งบนอินพุตทั้งหมดของความยาวnทำตามขั้นตอนf ( n )อย่างแน่นอนf:NNMnf(n)

Q1: มีฟังก์ชันที่ จำกัด เวลาและไม่สามารถกำหนดเวลาได้อย่างสมบูรณ์หรือไม่?

คำตอบคือใช่ (ดูคำตอบนี้ ) ถ้า E เงื่อนไขสำหรับ "ใช่" สามารถเพิ่มความแข็งแกร่งให้กับP N P ได้หรือไม่? สามารถ "ใช่" ได้หรือไม่EXPTIMENEXPTIMEPNP

Q2: ฟังก์ชั่น time-constuctible class (เต็ม) มีการเปลี่ยนแปลงหรือไม่หากเราอนุญาตให้เฉพาะเครื่องทัวริง 2 เทปในคำจำกัดความ

Q3: อะไรคือเหตุผล "ที่พิสูจน์ได้" สำหรับการเชื่อว่าฟังก์ชั่นที่ดีทั้งหมดสามารถสร้างได้อย่างเต็มที่?

กระดาษ
Kojiro Kobayashi: ในการพิสูจน์ความสามารถในการสร้างฟังก์ชั่นเวลา theor คอมพิวเต วิทย์ 35: 215-225 (1985)
ตอบคำถามบางส่วน Q3 บทสรุปบางส่วนและการอัพเกรดของมันอยู่ในคำตอบนี้นี้ ฉันใช้ Q3 เป็นคำตอบ

ในอดีตความคิดของฟังก์ชั่นที่นับเวลาจริงถูกนำมาใช้แทน (เต็ม) เวลาที่สร้างได้ ดูคำถามนี้เพิ่มเติม


อยากรู้อยากเห็น - คุณสามารถชี้ให้ฉันอ้างอิงสำหรับคำจำกัดความเหล่านี้? ฉันไม่คุ้นเคยกับการทำงาน constructible และผมก็ไม่สามารถหาคำนิยามเหล่านี้ออนไลน์ (มันยังไม่ชัดเจนกับผมว่าพวกเขากำลังเทียบเท่าเช่นวิกิพีเดียคน)
usul

@usul การอ้างอิงคือ: JE Hopcroft, JD Ullman ทฤษฎีทฤษฎีภาษาและการคำนวณแบบอัตโนมัติ Addison-Wesley ซีรี่ส์ในวิทยาการคอมพิวเตอร์, 1979 คำจำกัดความเดียวกันสามารถพบได้ที่นี่: cse.ohio-state.edu/~gurari/theory-bk/theory-bk-fivese2.html
David G

คำตอบ:


5

ในไม่กี่วันที่ผ่านมาฉันคิดมากเกี่ยวกับฟังก์ชั่นที่สามารถสร้างเวลาได้อย่างเต็มที่และฉันจะนำเสนอสิ่งที่ฉันค้นพบโดยการตอบคำถามที่ 1 และ 3 Q2 ดูยากเกินไป

Q3:

โคบายาชิในบทความของเขา (อ้างอิงที่อยู่ในคำถาม) พิสูจน์ให้เห็นว่าฟังก์ชั่นซึ่งมีอยู่ε > 0 ST ( n ) ( 1 + ε ) nเป็นเวลาอย่างเต็มที่ constructible IFF มันเป็น คำนวณในO ( F ( n ) )เวลา (โปรดทราบว่ามันไม่เกี่ยวข้องว่าอินพุตหรือเอาต์พุตอยู่ในเอกภาพ / ไบนารีเนื่องจากเราสามารถแปลงระหว่างการแสดงสองแบบนี้ในเวลาเชิงเส้น) นี้จะทำให้การทำงานต่อไปอย่างเต็มที่เวลา constructible: 2 n ,f:NNϵ>0f(n)(1+ϵ)nO(f(n))2n , n ! , n log n พหุนามทุกหน้ามากกว่า N ST P ( n ) ( 1 + ε ) n ... โคบายาชิยังพิสูจน์อย่างเต็มที่เวลา constructibility สำหรับฟังก์ชั่นบางอย่างที่เติบโตช้ากว่า ( 1 + ε ) nเช่น n + บันทึกn Qสำหรับ Q Q +22nn!nlognpNp(n)(1+ϵ)n(1+ϵ)nn+lognqqQ+ ...

เพื่อดำเนินการต่อด้วยตัวอย่างของฟังก์ชั่นเต็มเวลาที่สร้างได้เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าถ้าและf 2สามารถสร้างได้เต็มเวลาแล้วจากนั้นf 1 + f 2 , f 1 f 2 , f f 2 1และf 1f 2คือ ยังสามารถสร้างได้เต็มเวลา (ต่อมาจะติดตามโดยตรงจากทฤษฎีบท 3.1 ในโคบายาชิ) ทั้งหมดนี้ทำให้ฉันเชื่อว่าฟังก์ชั่นที่ดีมากมายนั้นสามารถสร้างได้อย่างเต็มเวลาf1f2f1+f2f1f2f1f2f1f2

มันเป็นเรื่องที่น่าแปลกใจว่าโคบายาชิไม่เห็นทางที่จะพิสูจน์ได้อย่างเต็มที่เวลา constructibility ของ (ดี) ฟังก์ชั่น (และไม่ทำฉัน)nlogn

ขอให้เรายังแสดงความคิดเห็นความหมายจากบทความวิกิพีเดีย : ฟังก์ชั่นเป็นเวลา constructible ถ้ามีอยู่ทัวริงเครื่องMซึ่งได้รับสตริง1 n , เอาท์พุทF ( n )ในO ( F ( n ) )เวลา fM1nf(n)O(f(n)) เราจะเห็นว่าคำนิยามนี้เป็น equivallent ความหมายของเวลาอย่างเต็มที่ constructibility สำหรับฟังก์ชั่นของเรา nf(n)(1+ϵ)n

Q1:

คำถามนี้มีคำตอบที่น่าสนใจจริงๆ ฉันเรียกร้องว่าถ้าทุกฟังก์ชั่นเวลา constructible อย่างเต็มที่เวลา constructible แล้ว E เพื่อพิสูจน์ว่าให้เราใช้เวลาเป็นปัญหาโดยพลL N E X P - T ฉันM E , L { 0 , 1 } * จากนั้นจะมีk N , st LEXPTIME=NEXPTIMELNEXPTIMEL{0,1}kNLสามารถแก้ไขได้โดย NDTM ใน2 n k - 1ขั้นตอน เราสามารถสรุปได้ว่าในแต่ละขั้นตอนM เข้าสู่สถานะที่แตกต่างกันมากที่สุดสองสถานะเพื่อความเรียบง่าย ตอนนี้กำหนดฟังก์ชั่น f ( n ) = { 8 n + 2 ถ้า  ( แรก k M2nk1M

f(n)={8n+2if (first logn+1k bits of bin(n))L8n+1else

fT

  • wn(first logn+1k bits of bin(n))O(n)
  • Mw
  • (M accepts using choices given by w)

w=nM(first logn+1k bits of bin(n))n

T8n+1f

  • wnT8n
  • T

fEXPTIME=NEXPTIME

L

  • xnx000|x|k1x=(first logn+1k bits of bin(n))
  • f(n)f(n)

LLNEXPTIMEEXPTIME=NEXPTIME


4
ดีมาก! [
แพ็ดดิ้ง

1
แนวคิดที่คล้ายกันมากกับแนวคิดที่นำเสนอในคำตอบของคำถามไตรมาสที่ 1 ยังถูกนำมาใช้ที่นี่เช่นกัน
David G
โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.