คำจำกัดความที่เท่าเทียมกันของความสามารถในการสร้างเวลา

เราบอกว่าฟังก์ชั่นสามารถสร้างเวลาได้หากมีเครื่องทัวริงหลายเทปที่กำหนดค่าได้ซึ่งในอินพุตทั้งหมดของความยาวทำให้ขั้นตอนมากที่สุดและสำหรับแต่ละมีอินพุตบางส่วนของ ความยาวซึ่งทำให้ขั้นตอนพิเศษ $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ $M$ $n$ $f(n)$ $n$ $n$ $M$ $f(n)$

เราบอกว่าฟังก์ชั่นนั้นสามารถสร้างขึ้นได้อย่างเต็มเวลาหากมีเครื่องทัวริงหลายเทปที่กำหนดค่าได้ซึ่งบนอินพุตทั้งหมดของความยาวทำตามขั้นตอนอย่างแน่นอน $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ $M$ $n$ $f(n)$

Q1: มีฟังก์ชันที่ จำกัด เวลาและไม่สามารถกำหนดเวลาได้อย่างสมบูรณ์หรือไม่?

คำตอบคือใช่ (ดูคำตอบนี้ ) ถ้า Eเงื่อนไขสำหรับ "ใช่" สามารถเพิ่มความแข็งแกร่งให้กับหรือไม่? สามารถ "ใช่" ได้หรือไม่ $EXP-TIME \neq NEXP-TIME$ $P\neq NP$

Q2: ฟังก์ชั่น time-constuctible class (เต็ม) มีการเปลี่ยนแปลงหรือไม่หากเราอนุญาตให้เฉพาะเครื่องทัวริง 2 เทปในคำจำกัดความ

Q3: อะไรคือเหตุผล "ที่พิสูจน์ได้" สำหรับการเชื่อว่าฟังก์ชั่นที่ดีทั้งหมดสามารถสร้างได้อย่างเต็มที่?

กระดาษ
Kojiro Kobayashi: ในการพิสูจน์ความสามารถในการสร้างฟังก์ชั่นเวลา theor คอมพิวเต วิทย์ 35: 215-225 (1985)
ตอบคำถามบางส่วน Q3 บทสรุปบางส่วนและการอัพเกรดของมันอยู่ในคำตอบนี้นี้ ฉันใช้ Q3 เป็นคำตอบ

ในอดีตความคิดของฟังก์ชั่นที่นับเวลาจริงถูกนำมาใช้แทน (เต็ม) เวลาที่สร้างได้ ดูคำถามนี้เพิ่มเติม

cc.complexity-theory time-complexity terminology

— เดวิดจี
แหล่งที่มา

อยากรู้อยากเห็น - คุณสามารถชี้ให้ฉันอ้างอิงสำหรับคำจำกัดความเหล่านี้? ฉันไม่คุ้นเคยกับการทำงาน constructible และผมก็ไม่สามารถหาคำนิยามเหล่านี้ออนไลน์ (มันยังไม่ชัดเจนกับผมว่าพวกเขากำลังเทียบเท่าเช่นวิกิพีเดียคน)

— usul

@usul การอ้างอิงคือ: JE Hopcroft, JD Ullman ทฤษฎีทฤษฎีภาษาและการคำนวณแบบอัตโนมัติ Addison-Wesley ซีรี่ส์ในวิทยาการคอมพิวเตอร์, 1979 คำจำกัดความเดียวกันสามารถพบได้ที่นี่: cse.ohio-state.edu/~gurari/theory-bk/theory-bk-fivese2.html

— David G

ในไม่กี่วันที่ผ่านมาฉันคิดมากเกี่ยวกับฟังก์ชั่นที่สามารถสร้างเวลาได้อย่างเต็มที่และฉันจะนำเสนอสิ่งที่ฉันค้นพบโดยการตอบคำถามที่ 1 และ 3 Q2 ดูยากเกินไป

Q3:

โคบายาชิในบทความของเขา (อ้างอิงที่อยู่ในคำถาม) พิสูจน์ให้เห็นว่าฟังก์ชั่นซึ่งมีอยู่ ST เป็นเวลาอย่างเต็มที่ constructible IFF มันเป็น คำนวณในเวลา (โปรดทราบว่ามันไม่เกี่ยวข้องว่าอินพุตหรือเอาต์พุตอยู่ในเอกภาพ / ไบนารีเนื่องจากเราสามารถแปลงระหว่างการแสดงสองแบบนี้ในเวลาเชิงเส้น) นี้จะทำให้การทำงานต่อไปอย่างเต็มที่เวลา constructible: , $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ $\epsilon>0$ $f(n)\geq (1+\epsilon)n$ $O(f(n))$ $2^n$ ,,พหุนามทุกมากกว่า ST ... โคบายาชิยังพิสูจน์อย่างเต็มที่เวลา constructibility สำหรับฟังก์ชั่นบางอย่างที่เติบโตช้ากว่าเช่นสำหรับ $2^{2^n}$ $n!$ $n\lfloor \log n \rfloor$ $p$ $\mathbb{N}$ $p(n)\geq (1+\epsilon)n$ $(1+\epsilon)n$ $n+\lfloor\lfloor\log n\rfloor^q\rfloor$ $q\in\mathbb{Q}^+$ ...

เพื่อดำเนินการต่อด้วยตัวอย่างของฟังก์ชั่นเต็มเวลาที่สร้างได้เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าถ้าและสามารถสร้างได้เต็มเวลาแล้วจากนั้น , , และคือ ยังสามารถสร้างได้เต็มเวลา (ต่อมาจะติดตามโดยตรงจากทฤษฎีบท 3.1 ในโคบายาชิ) ทั้งหมดนี้ทำให้ฉันเชื่อว่าฟังก์ชั่นที่ดีมากมายนั้นสามารถสร้างได้อย่างเต็มเวลา $f_1$ $f_2$ $f_1+f_2$ $f_1f_2$ $f_1^{f_2}$ $f_1\circ f_2$

มันเป็นเรื่องที่น่าแปลกใจว่าโคบายาชิไม่เห็นทางที่จะพิสูจน์ได้อย่างเต็มที่เวลา constructibility ของ (ดี) ฟังก์ชั่น (และไม่ทำฉัน) $\lfloor n\log n\rfloor$

ขอให้เรายังแสดงความคิดเห็นความหมายจากบทความวิกิพีเดีย : ฟังก์ชั่นเป็นเวลา constructible ถ้ามีอยู่ทัวริงเครื่องซึ่งได้รับสตริง , เอาท์พุทในเวลา $f$ $M$ $1^n$ $f(n)$ $O(f(n))$ เราจะเห็นว่าคำนิยามนี้เป็น equivallent ความหมายของเวลาอย่างเต็มที่ constructibility สำหรับฟังก์ชั่นของเรา n $f(n)\geq (1+\epsilon)n$

Q1:

คำถามนี้มีคำตอบที่น่าสนใจจริงๆ ฉันเรียกร้องว่าถ้าทุกฟังก์ชั่นเวลา constructible อย่างเต็มที่เวลา constructible แล้ว Eเพื่อพิสูจน์ว่าให้เราใช้เวลาเป็นปัญหาโดยพล , *จากนั้นจะมี , st $EXP-TIME=NEXP-TIME$ $L\in NEXP-TIME$ $L\subseteq\{0,1\}^*$ $k\in\mathbb{N}$ $L$ สามารถแก้ไขได้โดย NDTM ในขั้นตอน เราสามารถสรุปได้ว่าในแต่ละขั้นตอนสู่สถานะที่แตกต่างกันมากที่สุดสองสถานะเพื่อความเรียบง่าย ตอนนี้กำหนดฟังก์ชั่น $M$ $2^{n^k-1}$ $M$

f (n) = {\begin{cases} 8 n + 2 & if (first ⌊ \sqrt[k]{⌊ \log n ⌋ + 1} ⌋ bits of b i n (n)) \in L \\ 8 n + 1 & else \end{cases}

$f(n)=\left\{\begin{array}{ll} 8n+2 & \mbox{if }\left(\mbox{first } \lfloor\sqrt[k]{\lfloor\log n\rfloor+1}\rfloor\mbox{ bits of } bin(n)\right)\in L\\ 8n+1 & \mbox{else} \end{array} \right.$

$f$ $T$

$w$ $n$ $\left(\textrm{first }\lfloor\sqrt[k]{\lfloor\log n\rfloor+1}\rfloor\textrm{ bits of }bin(n)\right)$ $O(n)$
$M$ $w$
$\left(M\textrm{ accepts using choices given by }w\right)$

$w$ $=n$ $M$ $\left(\textrm{first }\lfloor\sqrt[k]{\lfloor\log n\rfloor+1}\rfloor\textrm{ bits of }bin(n)\right)$ $n$

$T$ $8n+1$ $f$

$w$ $n$ $T$ $8n$
$T$

$f$ $EXP-TIME=NEXP-TIME$

$L$

$x$ $n$ $x00\ldots 0$ $|x|^{k-1}$ $x=\left(\textrm{first }\lfloor\sqrt[k]{\lfloor\log n\rfloor+1}\rfloor\textrm{ bits of }bin(n)\right)$
$f(n)$ $f(n)$

$L$ $L\in NEXP-TIME$ $EXP-TIME=NEXP-TIME$

— เดวิดจี
แหล่งที่มา

ดีมาก! [

— แพ็ดดิ้ง

แนวคิดที่คล้ายกันมากกับแนวคิดที่นำเสนอในคำตอบของคำถามไตรมาสที่ 1 ยังถูกนำมาใช้ที่นี่เช่นกัน

— David G