ความซับซ้อนของชุดย่อย SAT ต่อไปนี้คืออะไร

สมมติ $P \neq NP$

อนุญาตให้ใช้สัญกรณ์ดังต่อไปนี้ สำหรับ tetration (เช่น ${}^ia$ ) ${}^ia = \underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{a}}}}}}_{i \mbox{ times}}$

| x | คือขนาดของอินสแตนซ์ x

ให้ L เป็นภาษา $L|_{f(i)\leq |x| < g(i)} := \{ x \in L \mbox{ | } \exists i \in \mathbb{N}\mbox{, } f(i) \leq |x| < g(i) \}$

ความซับซ้อนของภาษาต่อไปนี้คืออะไร:

$L_1 = SAT|_{{}^{2i}2 \leq |x| < {}^{2i+1}2}$ $L_2 = SAT|_{{}^{2i+1}2 \leq |x| < {}^{2i+2}2}$

ในฐานะที่เป็นพวกเขาไม่สามารถเป็นได้ทั้งในโหมด P ภายใต้สมมติฐานว่า Pเนื่องจากทั้งคู่มีช่องโหว่แบบเอ็กซ์โพเนนเชียลฉันไม่คิดว่า SAT จะลดลงเป็นหนึ่ง $L_1 \sqcup L_2 = SAT$ $P \neq NP$

ดังนั้นสัญชาตญาณน่าจะเป็นว่าพวกเขาทั้งคู่อยู่ใน NPI แต่ฉันไม่สามารถหาหลักฐานหรือป้องกันได้

ภาษาอื่นอีกสองภาษาคือ $L_3 = SAT|_{|x|={}^{2i+1}2}$ $L_4 = SAT|_{|x|={}^{2i}2}$

หากหนึ่งในทั้งสองอยู่ใน NPC อีกตัวหนึ่งอยู่ใน P เพราะสำหรับแต่ละอินสแตนซ์ของหนึ่งมันจะไม่สามารถแปลงเป็นอินสแตนซ์ที่ใหญ่กว่าของอีกอันได้เนื่องจากมีขนาดเอ็กซ์โพเนนเชียลและอินสแตนซ์ขนาดเล็กมีขนาดลอการิทึม โดยสัญชาตญาณไม่มีเหตุผลว่าทำไมพวกเขาจะมีความซับซ้อนที่แตกต่างกัน ความซับซ้อนของพวกเขาคืออะไร?

การพิสูจน์ปัญหาของ NPI ของ Ladner ภายใต้ข้อสมมติใช้ภาษาเช่นหรือแต่และไม่ได้ถูกสร้างขึ้นมาโดยใช้เส้นทแยงมุม $P \neq NP$ $L_1$ $L_2$ $L_1$ $L_2$

cc.complexity-theory np-hardness complexity-classes

— Ludovic Patey
แหล่งที่มา

ภาษาของคุณมีอินสแตนซ์จำนวนมากที่เพิ่มขึ้นด้วยส่วนเพิ่มเติมพิเศษที่ไม่ได้โต้ตอบกัน ดังนั้นพวกเขาจึงดูเหมือน NPI โดยการโต้แย้งในแนวทแยงของSchöning? dx.doi.org/10.1016/0304-3975(82)90114-1

— András Salamon

หลังจาก "พวกเขาไม่สามารถเป็นทั้ง P" ได้ก็ควรพูดว่า "ภายใต้สมมติฐานว่า P

NP ... "

\neq

$\ne$

— Emil

ฉันเพิ่ม "ภายใต้สมมติฐาน" แม้ว่าฉันจะตั้งสมมติฐานนี้มาก่อนแล้ว

— Ludovic Patey

ถ้า L1 หรือ L2 เป็น NP-complete ดังนั้นการคาดเดา Isomorphism จะล้มเหลวเนื่องจาก L1 และ L2 ไม่เป็นทรงกระบอก (มีฟังก์ชันการแพ็ดดิง) ดังนั้นการพิสูจน์ว่าหนึ่งในนั้นคือ NP-complete ต้องใช้เทคนิคที่ไม่เกี่ยวข้อง ฉันยังไม่เห็นอุปสรรคใด ๆ ที่แสดงให้เห็นว่าหนึ่งในนั้นไม่ได้เป็นปัญหาที่สมบูรณ์

— Joshua Grochow

ฉันอาจจะไม่ค่อยชัดเจนกับปริมาณของฉัน ผมขอเพิ่มวงเล็บ: มีไม่ได้อยู่เครื่อง oracle โพลีเวลา

ดังกล่าวว่า [สำหรับทุก

[

แก้

]] นั่นคือสำหรับการใด ๆ

มันอาจจะเป็นที่สำหรับบาง X,

แก้ภาษาใดภาษาหนึ่ง แต่มันไม่สามารถเป็นจริงสำหรับทุกX

ตัวอย่างเช่น

ไม่มี oracle อาจแก้ปัญหา

(ไม่เกี่ยวข้อง) แต่ไม่ว่า

อะไรก็ตาม

M

$M$

X

$X$

M^{X}

$M^X$

L_{1}^{X} o r L_{2}^{X}

$L_1^X or L_2^X$

M

$M$

M^{X}

$M^X$

X

$X$

M

$M$

L_{1}

$L_1$

M

$M$ คือจะมี oracle บางส่วนเพื่อไม่ให้แก้ทั้งสองภาษา

— Joshua Grochow

ฉันคิดว่าทั้งคู่เป็น NPI ภายใต้สมมติฐานที่แข็งแกร่ง (แต่เห็นได้ชัดว่าจริง) ว่า NP ไม่ได้อยู่ใน "อนันต์บ่อยครั้ง P" - นั่นคืออัลกอริธึมเวลาพหุนามทุกตัวและทุกตัวที่มีขนาดใหญ่พอสมควร

ในกรณีนี้ภาษาดังกล่าวไม่ได้อยู่ใน P แต่พวกเขายังไม่สามารถทำ NP ให้เสร็จสมบูรณ์ได้มิฉะนั้นการลดลงจาก SAT เป็นภาษา L ที่มีรูขนาดใหญ่จะให้อัลกอริทึมสำหรับ SAT ที่ประสบความสำเร็จในหลุมเหล่านี้

การสันนิษฐานเช่นนี้ก็เป็นสิ่งจำเป็นเช่นกันเนื่องจากภาษาต่าง ๆ สามารถเป็นแบบ P หรือสมบูรณ์แบบขึ้นอยู่กับว่า "ความยาวอินพุตง่าย" อยู่ที่ใด

— โบอาราบารักค
แหล่งที่มา

@Boaz: ฉันเข้าใจว่าคุณหมายถึงอะไรโดย "ข้อสมมติฐานดังกล่าวเป็นสิ่งจำเป็น" แต่ฉันมีปัญหาในการทำให้เป็นจริงตามความจำเป็น ฉันคิดว่ามีคนสร้าง oracle

โดยไม่ยากเกินไปเช่น

มีโพลีไทม์แมชชีน

ซึ่ง

ตัดสินใจ

บนความยาวอินพุตจำนวนมาก แต่

และ

คือ

ระดับกลาง

X

$X$

P^{X} \neq N P^{X}

$P^X \neq NP^X$

M

$M$

M^{X}

$M^X$

S A T^{X}

$SAT^X$

L_{1}^{X}

$L_1^X$

L_{2}^{X}

$L_2^X$

N P^{X}

$NP^X$

— Joshua Grochow

N P \neq P

$NP\neq P$

N P \neq P

$NP\neq P$

L_{1}

$L_1$

L_{1}

$L_1$

P

$P$

L_{2}

$L_2$

X

$X$

P^{X} \neq N P^{X}

$P^X \neq NP^X$

L_{1}^{X} \in P

$L_1^X \in P$

L_{1}^{X} \in P

$L_1^X\in P$

M

$M$

L_{1}^{X}

$L_1^X$

M

$M$

L_{1}

$L_1$

X

$X$

P_{1} \in P

$P_1\in P$

M \in P^{X}

$M\in P^X$

S A T^{X}

$SAT^X$

X

$X$

S A T

$SAT$

X

$X$

X

$X$

S A T^{X}

$SAT^X$