การค้นหาหลุมคี่ในกราฟ Paley ไหลเวียน

Paley กราฟ P _Qคือบรรดาผู้ที่จุดสุดยอดชุดจะได้รับจากฟิลด์ จำกัด GF (Q), อำนาจนายกq≡1 (4 สมัย) และที่สองจุดติดและถ้าหากพวกเขาแตกต่างจาก²สำหรับบางคน a ∈ GF (q) ในกรณีที่ q เป็นไพรม์ฟิลด์ จำกัด GF (q) เป็นเพียงชุดของจำนวนเต็มโมดูโล q

ในรายงานล่าสุด Maistrelli และ Penman แสดงให้เห็นว่ากราฟ Paley เพียงอันเดียวที่สมบูรณ์แบบ (มีจำนวนรงค์เท่ากับขนาดของกลุ่มที่ใหญ่ที่สุด) เป็นหนึ่งในเก้าจุดยอด โดยเฉพาะอย่างยิ่งนี่หมายความว่าไม่มีกราฟ Paley P _qที่สมบูรณ์แบบสำหรับ q ไพรม์

แข็งแกร่งสมบูรณ์แบบกราฟทฤษฎีบทอ้างว่ากราฟ G เป็นที่สมบูรณ์แบบและถ้าหากทั้ง G และส่วนประกอบของมันขาดหลุมคี่ (เป็น subgraph เหนี่ยวนำซึ่งเป็นวงจรของความยาวที่แปลกและขนาดอย่างน้อย 5) กราฟ Paley ของการสั่งซื้อที่สำคัญมี เสริมด้วยตนเองและไม่สมบูรณ์; ดังนั้นพวกเขาจะต้องมีรูแปลก ๆ

คำถาม. สำหรับไพร์มq≡1 (mod 4) มีโพลี (q) อัลกอริทึมสำหรับการค้นหารูแปลก ๆ ใน P _qหรือไม่? มีอัลกอริทึม polylog (q) หรือไม่? อนุญาตให้มีการสุ่มและทฤษฎีตัวเลขเชิงทฤษฎีที่เป็นที่นิยม

ฉันเชื่อว่ามีอัลกอริทึมโพลี (q) ที่รู้จัก ความเข้าใจของฉันเกี่ยวกับอัลกอริทึมโดย Chudnovsky, Cornuéjols, Liu, Seymour และVušković, "การจดจำกราฟ Berge", Combinatorica 2005 , คือการพบหลุมแปลกหรือ antihole แปลก ๆ ในกราฟที่ไม่สมบูรณ์ในเวลาพหุนาม ผู้เขียนเขียนในหน้า 2 ของกระดาษว่าปัญหาในการค้นหารูแปลก ๆ ในกราฟที่ยังคงเปิดอยู่เพราะขั้นตอนที่ 1 และ 3 ของอัลกอริทึมของพวกเขาหาช่อง แต่ขั้นตอนที่ 2 อาจหา antihole แทน อย่างไรก็ตามในกรณีของกราฟ Paley หากคุณพบ antihole เพียงแค่คูณจุดยอดทั้งหมดในนั้นด้วย nonresidue เพื่อเปลี่ยนมันให้เป็นหลุมคี่แทน

อีกทางหนึ่งโดยการเปรียบเทียบกับกราฟ Rado สำหรับแต่ละ k ควรมี N ที่กราฟ Paley บน N หรือมากกว่าจุดยอดควรมีคุณสมบัติส่วนขยาย: สำหรับเซตย่อยใด ๆ ที่น้อยกว่า k จุดยอดและ 2 สีของชุดย่อย มีจุดยอดอีกจุดหนึ่งติดกับจุดยอดทุกจุดในคลาสสีหนึ่งและไม่ติดกับจุดยอดทุกจุดในคลาสสีอื่น ถ้าเป็นเช่นนั้นสำหรับ k = 5 คุณสามารถสร้างคี่ 5 รูอย่างตะกละตะกลามในเวลาพหุนามต่อขั้นตอน ทิศทางนี้อาจเป็นความหวังสำหรับอัลกอริทึมโพลี (บันทึก (q)) หรือไม่ หากใช้งานได้อย่างน้อยก็จะแสดงว่ามีช่องคี่สั้น ๆ ซึ่งเป็นข้อกำหนดเบื้องต้นที่จำเป็นในการค้นหาพวกเขาอย่างรวดเร็ว

ที่จริงแล้วมันไม่แปลกใจเลยถ้าต่อไปนี้เป็นอัลกอริธึม poly (log (q)): ถ้า q เล็กกว่าค่าคงที่คงที่ให้ค้นหาคำตอบมิฉะนั้นอย่างตะกละตะกลามจะสร้างหลุม 5 คี่โดยการค้นหาตามลำดับ 0, 1, 2, 3, ... สำหรับจุดยอดที่สามารถเพิ่มเป็นส่วนหนึ่งของหลุม 5 ส่วนได้ แต่บางทีการพิสูจน์ว่ามันทำงานได้ในเวลาโพลี (log (q)) จะต้องใช้ทฤษฎีจำนวนลึก

จากผลลัพธ์ของ Chung, Graham และ Wilson, "กราฟกึ่งสุ่ม", Combinatorica 1989 อัลกอริทึมแบบสุ่มต่อไปนี้จะแก้ปัญหาในการทดลองที่คาดหวังจำนวนคงที่เมื่อ q เป็นนายก: ถ้า q มีขนาดเล็กเพียงพอแล้วค้นหาคำตอบ มิฉะนั้นให้เลือกชุดจุดยอดห้าจุดแบบสุ่มซ้ำ ๆ ตรวจสอบว่ามันเป็นหลุมคี่หรือไม่และส่งคืนหรือไม่ แต่พวกเขาไม่ได้บอกว่ามันใช้งานได้เมื่อ q ไม่ใช่นายก แต่เป็นพลังสำคัญดังนั้นบางทีคุณอาจต้องระวังให้มากขึ้น