ปัญหา NP-hard ในกราฟของตัวขยาย?

ในงานนำเสนอปี 2549 เรื่องEXPANDER GRAPHS - มีอะไรลึกลับเหลืออยู่บ้างไหม? Nati Linial โพสต์ปัญหาเปิดดังต่อไปนี้:

ซึ่ง -hard ปัญหาการคำนวณบนกราฟยังคงยากที่ จำกัด เมื่อกราฟแผ่? $NP$

ตั้งแต่นั้นมามีความคืบหน้าใด ๆ ในการพิสูจน์ผลลัพธ์ดังกล่าวสำหรับปัญหา -hard หรือไม่? $NP$

cc.complexity-theory np-hardness expanders

อาจมีใครบางคนอธิบายอย่างละเอียดว่าทำไมคำถามนี้น่าสนใจ? เรามีตัวอย่างของปัญหา NP-hard ที่กลายเป็นเรื่องง่ายหรือไม่เมื่อถูก จำกัด ให้กราฟขยาย

— Jukka Suomela

@ Jukka: ส่วนขยายสามารถ

สำหรับ

ขนาดเล็ก(เช่น

) แต่ปัญหา NP-hard บางอย่างนั้นง่ายในคลาส max-degree

graphs สำหรับ

ขนาดเล็ก(เช่น GRAPH COLORING สำหรับ

)

d

$d$

d

$d$

d = 3

$d=3$

d

$d$

d

$d$

d < 4

$d<4$

— András Salamon

@ András: แน่นอน แต่นั่นไม่ได้เกี่ยวข้องกับคุณสมบัติการขยายตัวจริงๆ ให้ฉันใช้ถ้อยคำใหม่: เรามีตัวอย่างของปัญหาที่มีความยากใน

กราฟ -regular แต่ง่ายใน

กราฟแผ่ -regular?

d

$d$

d

$d$

— Jukka Suomela

@Jukka: เกมที่ไม่ซ้ำถูกแสดงให้เห็นว่ามีการประมาณเวลาแบบพหุนามในขณะที่กราฟข้อ จำกัด เป็นตัวขยาย [Arora-Khot-Kolla-Steurer-Tulsiani-Vishnoi STOC '08] เรื่องนี้ไม่เป็นที่ทราบกันว่าเป็นกรณีของกราฟทั่วไปและถ้า UGC เป็นจริงมีอยู่จริงไม่มีอัลกอริธึมเวลาพหุนาม ฉันเอาสิ่งนี้เป็นแรงจูงใจสำหรับคำถามของชาวตุรกี

— arnab

@ Jukka แรงจูงใจของฉันคือการเข้าใจความสัมพันธ์ระหว่างคุณสมบัติแบบขยายของตัวขยายและความแข็งของปัญหา ตัวอย่างเช่นฉันไม่คาดหวังว่าชุดอิสระจะเป็นเรื่องง่ายสำหรับตัวขยาย

— Mohammad Al-Turkistany

คำตอบ:

หาก "ตัวขยายที่ไม่สมดุล" นับเป็นตัวขยายสำหรับจุดประสงค์ของคำถามนี้ (ตัวขยายที่ไม่สมดุล: กราฟสองฝ่ายเช่นนั้นสำหรับทุกชุดย่อย , เศษส่วนของ ขอบระหว่างและนั้นเกี่ยวกับ $G=(A,B,E)$ $A'\subseteq A$ $B'\subseteq B$ $A'$ $B'$ ${|A'||B'|}/{|A||B|}$ ) จากนั้นใช่ปัญหาหลายอย่างของตัวขยาย (เช่นปัญหาความพึงพอใจของข้อ จำกัด ) นั้นยากที่จะประมาณ

โดยเฉพาะอย่างยิ่งการพิสูจน์ทฤษฎีสองข้อ, ข้อผิดพลาดต่ำ, ทฤษฎีบท PCP [กับ Ran Raz ในปี 2008] สร้างกราฟส่วนขยาย

— Dana Moshkovitz
แหล่งที่มา

ในบรรทัดสุดท้ายของคุณคุณหมายถึงว่ากระดาษของคุณสร้างส่วนขยายที่ไม่สมดุลเพราะคุณอาจมีคำตอบสำหรับคำถามนี้: cstheory.stackexchange.com/questions/592/…

— Suresh Venkat

Suresh: ใช่กระดาษสร้างส่วนขยาย / แซมเพลอร์ / ตัวแยกที่ไม่สมดุล แต่ก็ไม่ได้ดีไปกว่าการสร้างที่รู้จัก

— Dana Moshkovitz

ฉันเดาว่ามันอาจเป็นเรื่องง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่าปัญหาที่แน่นอนหลายประการ แนวคิดก็คือถ้าคุณใช้กราฟระดับคงที่โดยพลการบนยอดและเพิ่มตัวขยายอีกตัวหนึ่งบนแยกจุดยอดและเพิ่มการจับคู่ระหว่างและคุณจะได้ตัวขยาย เหตุผลที่ว่าจุดยอดที่น้อยกว่าครึ่งหนึ่งจะมีค่าคงที่ของขอบที่เข้าคู่กันอยู่ด้านนอกหรือจุดตัดกับจะมีค่าสูงสุดที่ของจุดยอดของ $G$ $n$ $H$ $n$ $G$ $H$ $H$ $0.51$ $H$

เนื่องจากคุณสามารถเลือกโดยพลการ (พูดว่าใช้กราฟสุ่ม) คุณสามารถรู้วิธีแก้ปัญหาที่ดีที่สุดสำหรับปัญหา NP ของคุณในและด้วยเหตุนี้อาจมีความหวัง (ขึ้นอยู่กับปัญหา) นั่นคือวิธีการแก้ปัญหา อย่างน้อยการแก้ปัญหาโดยประมาณสำหรับGแต่ฉันไม่ได้ตรวจสอบสิ่งนี้สำหรับปัญหาที่เป็นรูปธรรม $H$ $H$ $G$

แน่นอนดังกล่าวข้างต้นมีปัญหาตามธรรมชาติ (เกมที่ไม่ซ้ำกันมากที่สุด) ที่หนึ่งไม่สามารถทำเทคนิคดังกล่าวและในอัลกอริทึมโดยเฉพาะเป็นที่รู้จักสำหรับการขยายและไม่เป็นที่รู้จักในกรณีทั่วไป เราควรจะสามารถหาตัวอย่างของปัญหาที่มักจะเกิดปัญหาได้ยาก แต่ใช้ตัวขยายได้ง่าย (เช่นใช้ปัญหายาก ๆ เกี่ยวกับกราฟโดยพลการของกราฟและปรับเปลี่ยนเพื่อให้อินสแตนซ์ทั้งหมดมีช่องว่างสเปกตรัมมากกว่าคือใช่ ... ) $1/\log n$

— โบอาราบารักค
แหล่งที่มา