โลกที่สัมพันธ์กับ“ เครื่องกำเนิดไฟฟ้าที่ไม่สามารถทำลายได้” นั้นไม่มีอยู่จริง

เครื่องกำเนิดไฟฟ้าคงกระพันมีการกำหนดดังนี้:

ให้เป็นความสัมพันธ์ NP และเป็นเครื่องที่ยอมรับ )อย่างไม่เป็นทางการโปรแกรมเป็นตัวสร้างที่คงกระพันถ้าหากอินพุตมันจะสร้างคู่พยานตัวอย่างด้วยตามการกระจายตามที่ฝ่ายตรงข้ามใด ๆ พหุนามเวลาที่จะได้รับล้มเหลวในการหาพยานที่ด้วยโอกาสที่จะเห็นได้ชัดสำหรับความยาวหลายอย่างมากมายn $R$ $M$ $L(R)$ $1^n$ $(x, w) \in R$ $|x| = n$ $x$ $x \in S$ $n$

กำเนิดคงกระพันกำหนดครั้งแรกโดยAbadi et al พบแอปพลิเคชั่นมากมายในการเข้ารหัส

การดำรงอยู่ของเครื่องกำเนิดไฟฟ้าคงกระพันอยู่บนพื้นฐานของการสันนิษฐานว่าแต่นี่อาจจะไม่เพียงพอ (ดูหัวข้อที่เกี่ยวข้องด้วย ) $\mathbf{P} \neq \mathbf{NP}$

ทฤษฎีบท 3 ของ Abadi และคณะ กระดาษที่อ้างถึงข้างต้นแสดงให้เห็นว่ามีหลักฐานของการดำรงอยู่ของเครื่องกำเนิดไฟฟ้าคงกระพันไม่สัมพันธ์:

ทฤษฏีบทที่ 3มี oracle ที่และเครื่องกำเนิดไฟฟ้าคงกระพันไม่มีอยู่เทียบกับ B $B$ $\mathbf{P}^B \neq \mathbf{NP}^B$

ฉันไม่เข้าใจส่วนหนึ่งของการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ ให้แสดงถึงการดำเนินการของสหภาพที่ไม่เป็นสมาชิก ให้เป็นภาษาที่สมบูรณ์แบบของ PSPACE ของสูตรบูลีนที่มีปริมาณที่น่าพอใจและให้เป็นชุดของสตริงที่ซับซ้อนมากที่สุดของ Kolmogorov โดยเฉพาะมีหนึ่งสตริงของความยาวแต่ละซึ่งลำดับถูกกำหนดโดย: , เป็นเลขชี้กำลัง triplyใน $\sqcup$ $QBF$ $K$ $K$ $n_i$ $n_1, n_2, \ldots$ $n_1 = 2$ $n_i$ , สำหรับ; ถ้าและแล้วมี Kolmogorov ซับซ้อนn $n_{i-1}$ $i > 1$ $x \in K$ $|x| = n$ $x$ $n$

รัฐกระดาษที่เมื่อเทียบกับก็ถือได้ว่า Pคุณสามารถอธิบาย? (โปรดอธิบายให้ชัดเจนด้วยว่าซ้ำซ้อนหรือไม่) $B = QBF \sqcup K$ $\mathbf{P} \neq \mathbf{NP}$ $B$

— MS Dousti
แหล่งที่มา

หากพวกเขากำลังพูดถึงความซับซ้อนของ Kolmogorov (ไม่ จำกัด ทรัพยากร) ก็จะไม่สามารถคำนวณได้ (มิฉะนั้นคุณสามารถใช้เครื่องคำนวณเพื่อให้คำอธิบายสั้น ๆ ของสตริงเนื่องจากสิ่งที่คุณต้องทำคืออธิบาย เครื่องจักรและความยาวของและเรามียัง ) ดังนั้นจะไม่สามารถคำนวณได้เช่นกัน $K$ $K$ $x \in K$ $n$ $x$ $K(x) = n$ $K(n) \leq \log n$ $B$

อย่างไรก็ตามกระดาษ Abadi และคณะ การอ้างอิง ( Hartmanis. ความซับซ้อนของ Kolmogorov ทั่วไปและโครงสร้างของการคำนวณที่เป็นไปได้ FOCS 1983. ) ใช้ความซับซ้อนของ Kolmogorov เวอร์ชันที่มีขอบเขตทรัพยากร ให้เป็นเครื่องจักรทัวริงสากลที่มีประสิทธิภาพ กำหนดให้เป็นชุดของสตริงซึ่งมีความยาวสตริงนั้น $U$ $K_U[f(n), g(n)]$ $x$ $d$ $|d| \leq f(|x|)$ และการคำนวณของใช้เวลาส่วนใหญ่เวลา ที่ด้านบนของคอลัมน์ที่สองในหน้า 444 กระดาษที่ Hartmanis อธิบายวิธีการใช้แนวคิดนี้ในการสร้าง (คำนวณ) oracle ญาติที่ P $x = U(d)$ $U(d)$ $g(|x|)$ $P \neq NP$

นี่คือแนวคิดของ Hartmanis ที่ปรับให้เข้ากับ Abadi และคณะ ผลลัพธ์. ให้และ (ซึ่งผมเชื่อว่าเป็นฟังก์ชั่นที่คุณอธิบาย) โดย diagonalization มาตรฐาน (เช่นในทฤษฎีบทลำดับชั้นของเวลา) สร้างการนับรวมเช่นที่และ $tow_3(1)=2$ $tow_3(n+1)=2^{2^{2^{n}}}$ $C$ $C \subseteq \{1^{tow_3(n)} : n \geq 1\}$ Pตอนนี้วางสายแรกของความยาวจากเข้า IFF Cตั้งแต่ $C \in TIME[n^{\log n}] - P$ $tow_3(n)$ $K[\log n, n^{\log n}] - K[\log n, n^{\log \log n}]$ $K$ $1^{tow_3(n)} \in C$ เรามี K $C = \{1^n : (\exists x)[|x|=n \text{ and } x \in K]\}$ $C \in NP^{K}$

เรายังมีจึง Kสมมติว่าเพื่อประโยชน์ของความขัดแย้งว่า Kจากนั้นก็มีเป็นเครื่อง oracle โพลีเวลาเช่นที่ )ฉันเรียกร้องที่ว่านี้หมายถึง (ไม่พยากรณ์!) ขัดแย้งกับการก่อสร้างของCนี่คืออัลกอริทึมโพลีเวลา: ที่อินพุต $C \notin P^{K}$ $P^K \neq NP^K$ $C \in P^{K}$ $M$ $C = L(M^K)$ $C \in P$ $C$ : $x = 1^{tow_3(n_0)}$

คำนวณสตริงทั้งหมดในของความยาวน้อยกว่า. ซึ่งสามารถทำได้ในเวลาพหุนามเพราะทุกสายดังกล่าวมีความยาวมากที่สุดและเราเพียงแค่ต้องทดสอบการคำนวณบนสตริงที่เล็กลงสำหรับระยะเวลาที่ยังเล็กมากเมื่อเทียบกับ. $K$ $|x|$ $\log \log \log |x|$ $U(d)$ $d$ $|x|$
รัน , จำลองเคียวรี oracle ไปยังสตริงที่เล็กลงด้วยผลลัพธ์ของ (1) ถ้าสอบถามความยาวของสตริงให้จำลองแบบสอบถามนั้นด้วยคำตอบ "ไม่" $M(x)$ $M(x)$ $|x|$

ขั้นตอนเหตุผล (2) ทำงานได้ว่าสำหรับความยาวอินพุตที่มีขนาดใหญ่เพียงพอหากมีสตริงของความยาวนั้นไม่สามารถสืบค้นดังนั้นเราสามารถจำลองเคียวรีดังกล่าวทั้งหมดโดยไม่มีคำตอบ ถ้ามันทำแบบสอบถามแล้วเราจะมี (ที่ขอบเขตระยะเวลาของ ) ขัดแย้งกับความจริงที่ว่าเราเลือกที่จะไม่ได้อยู่ใน $y \in K$ $M^K$ $y$ $y$ $y \in K[\log n, n^k]$ $n^k$ $M$ $y$ ] $K[\log n, n^{\log \log n}]$

— Joshua Grochow
แหล่งที่มา

มีรายละเอียดมากและเขียนได้ดีมาก ขอบคุณโจชัว!

— MS Dousti