ค้นหาคู่ที่ใกล้เคียงที่สุดระหว่างคะแนนสองชุดบนไฮเปอร์คิวบ์

ให้สองส่วนย่อยของhypercube -dimensional (เช่น ) ฉันกำลังมองหาอัลกอริทึมที่ดึงคะแนน St ระยะทางแฮม (หรือ - ระยะทางจาก hypercube) มีค่าน้อยที่สุด อัลกอริทึมไร้เดียงสาซึ่งตรวจสอบความต้องการของแต่ละคู่ $d$ $M, N \subseteq \{0,1\}^d$ $m\in M, n\in N$ $L_1$ $d_H(m,n)$ $|M|\cdot |N| \cdot d$ เวลาจะมีผลใด ๆ ที่รู้จักดีขึ้น?

เพื่อความง่ายเราอาจจะสมมติว่า d $|M|=|N|=d$

cg.comp-geom

— HDM
แหล่งที่มา

อืมม มีแรงจูงใจ / แอปพลิเคชันเพิ่มเติมอีกหรือไม่ สงสัยว่ามีระบบอนาล็อกหลายมิติของอัลกอริทึมแบบยุคลิด / ระนาบแต่วิกิพีเดียไม่ได้อ้างถึงสิ่งใดและไม่ได้ยินจากที่อื่น .... มันอาจช่วยหาอัลกอริธึมสำหรับเวกเตอร์ n-dim จุดเริ่มต้นของบทความดูเหมือนจะยืนยันว่าสามารถแก้ไขได้ใน

สำหรับขนาดที่สูงขึ้น

แต่ไม่มีการอ้างอิง อาจจะอยู่ที่ไหนสักแห่งในการอ้างอิง?

O (n \log n)

$O(n \log n)$

d > 2

$d>2$

— vzn

อาร์กิวเมนต์การหารและการยึดครองนั้นขึ้นอยู่กับขอบเขตการบรรจุ ในมิติที่สูงขึ้นสิ่งนี้จะแนะนำปัจจัย

ในการเกิดซ้ำ แต่การพึ่งพา

ยังคงเหมือนเดิม ดังนั้นหากคุณไม่คำนึงถึงคำแทนเลขชี้กำลังใน

คุณสามารถใช้วิธีนี้ได้ หากคุณต้องการสิ่งที่แน่นอนคุณไม่น่าจะสามารถทำได้ดีกว่านี้

2^{d}

$2^d$

n

$n$

d

$d$

— Suresh Venkat

ดูการค้นหาเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุด

— vzn

ดูเหมือนว่าไม่น่าเป็นไปได้ คิดถึงสตริงสุ่ม n + m บนไฮเปอร์คิวบ์ ยังไงก็ตามระยะห่างระหว่างแฮมของแต่ละคู่ก็ประมาณ d / 2 และคุณต้องตรวจสอบทุกคู่เพื่อหาคู่ที่ใกล้เคียงที่สุด

— Sariel Har-Peled

@Sariel Har-Peled: ดังที่ Suresh เขียนปัญหาสามารถแก้ไขได้ในเวลา O (n log n) (โดยที่ n = สูงสุด {| M |, | N |}) สำหรับค่าคงที่ d ดังนั้น“ คุณต้องตรวจสอบทุกคู่เพื่อค้นหาคู่ที่ใกล้เคียงที่สุด” ไม่ถูกต้องสำหรับฉัน

— Tsuyoshi Ito

คำตอบ:

$|M|=|N|=d$ $M$ $X$ $N$ $Y$ $Y$ $Z=XY$ $z_{i,j}$ $i$ $M$ $j$ $N$ $O(d^{2.3727})$ $O(d^{2.3726999999})$

คุณสามารถได้รับผลกระทบที่คล้ายกันหากเมทริกซ์ไม่ได้กำลังสอง ฉันคิดว่า Uri Zwick มีเอกสารเกี่ยวกับการคูณเมทริกซ์ที่รวดเร็วในกรณีนี้

$O(|M| * |N|)$ $d$

— Sariel Har-Peled
แหล่งที่มา

หาที่ดี ในบันทึกอื่นเพื่อนร่วมงานของฉันพบกระดาษนี้: toc.cse.iitk.ac.in/articles/v008a014/v008a014.pdfและตอนนี้ฉันก็รู้แล้วว่ามันเป็น (คุณ) ที่เขียนโดยคุณ หน้า 17+ มีความน่าสนใจเป็นพิเศษ ..

— HdM

ใช่. ดูคุ้นเคย - แต่สังเกตว่านี่เป็นการประมาณ - Suresh ขอผลลัพธ์ที่แน่นอน ...

— Sariel Har-Peled

-3

$L_\infty$ $L_m$ $L_1$ $O(dn \log n)$ $d$

[1] อัลกอริทึมที่เหมาะสมที่สุดสำหรับการค้นหาเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุดโดยประมาณในมิติคงที่ Arya et al, 30pp

[2] เพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุดที่มีประสิทธิภาพกำลังค้นหาไฮเปอร์คิวบ์พร้อมแอปพลิเคชั่นกับ Cazals การจัดกลุ่มโมเลกุล

— vzn
แหล่งที่มา

Ω (d^{d})

$\Omega(d^d)$