มีปัญหาใด ๆ ที่อัลกอริทึมที่รู้จักกันดีที่สุดมีรันไทม์

ฉันไม่เคยเห็นอัลกอริทึมที่มีการบันทึกในตัวส่วนมาก่อนและฉันสงสัยว่ามีอัลกอริทึมที่มีประโยชน์จริง ๆ กับแบบฟอร์มนี้หรือไม่?

ฉันเข้าใจหลายสิ่งหลายอย่างที่อาจทำให้ปัจจัยตัวคูณถูกคูณในเวลาทำงานเช่นการเรียงลำดับหรืออัลกอริธึมแบบทรี แต่สิ่งใดที่ทำให้คุณต้องหารด้วย log factor

คำตอบปกติของ "สิ่งที่ทำให้คุณแบ่งบันทึกเป็นอย่างไร" เป็นการรวมกันของสองสิ่ง:

1. รูปแบบของการคำนวณที่อนุญาตให้มีการดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับจำนวนเต็มขนาด word ได้ แต่คุณต้องการที่จะอนุรักษ์ว่าคำนั้นยาวแค่ไหนดังนั้นคุณถือว่าบิตต่อคำ (เพราะน้อยกว่านั้น) และคุณไม่สามารถระบุหน่วยความจำทั้งหมดได้และเนื่องจากอัลกอริทึมที่ใช้การค้นหาตารางจะใช้เวลามากเกินไปในการตั้งค่าตารางหากคำนั้นยาวกว่า) และ$O(\log n)$
2. อัลกอริทึมที่บีบอัดข้อมูลโดยการบรรจุบิตเป็นคำแล้วดำเนินการกับคำ

ฉันคิดว่ามีหลายตัวอย่าง แต่ตัวอย่างคลาสสิกคืออัลกอริธึมสี่ประการของรัสเซีย สำหรับการเรียงลำดับทั่วไปที่ยาวที่สุด ฯลฯ จริง ๆ แล้วจบลงด้วยการเป็นเพราะมันใช้แนวคิดบรรจุบิต log factor โดยใช้แนวคิดอื่น: แทนที่บล็อกของการดำเนินการบิตO ( บันทึก2 n )ด้วยการค้นหาตารางเดี่ยว$O(n^2/\log^2 n)$$O(\log^2 n)$

Cube ของ Rubik เป็นตัวอย่างที่เป็นธรรมชาติ (และสำหรับฉันโดยไม่คาดคิด) $n\times n\times n$ลูกบาศก์ต้อง$\Theta(n^2/\log n)$ขั้นตอนในการแก้ปัญหา (โปรดทราบว่านี่คือสัญกรณ์ theta ดังนั้นมันจึงเป็นขอบเขตบนและล่างที่แคบ)

ดังแสดงในเอกสารนี้ [1]

มันอาจจะคุ้มค่าที่จะกล่าวถึงความซับซ้อนของการแก้ตัวอย่างเฉพาะของลูกบาศก์ของรูบิคที่เปิดอยู่ แต่คาดว่าจะเป็น NP-hard ( ยกตัวอย่างเช่นที่นี่ ) NP hard [2] $\Theta(n^2/\log n)$ขั้นตอนวิธีการรับประกันวิธีการแก้ปัญหาและมันรับประกันว่าการแก้ปัญหาทั้งหมดเป็น asymptotically ดีที่สุด แต่ก็ไม่อาจแก้ปัญหากรณีที่เฉพาะเจาะจงได้อย่างดีที่สุด คำจำกัดความที่มีประโยชน์ของคุณอาจใช้หรือไม่ใช้ที่นี่เนื่องจากลูกบาศก์ของรูบิคโดยทั่วไปจะไม่ได้รับการแก้ไขด้วยอัลกอริทึมนี้ ( โดยทั่วไปอัลกอริทึมของ Kociembaจะใช้สำหรับคิวบ์ขนาดเล็ก

[1] Erik D. Demaine, Martin L. Demaine, Sarah Eisenstat, Anna Lubiw และ Andrew Winslow อัลกอริทึมสำหรับการแก้ลูกบาศก์ของรูบิค การดำเนินการประชุมวิชาการประจำปีของยุโรปครั้งที่ 19 เกี่ยวกับอัลกอริทึม (ESA 2011), 5-9 กันยายน 2011, หน้า 689–700

[2] Erik D. Demaine, Sarah Eisenstat และ Mikhail Rudoy การแก้ไข Cube ของ Rubik อย่างสมบูรณ์ที่สุดคือ NP-complete การประชุมวิชาการนานาชาติครั้งที่ 35 เรื่องวิทยาการคอมพิวเตอร์ (STACS 2018) ในระหว่างวันที่ 28 กุมภาพันธ์ - 3 มีนาคม 2561 หน้า 24: 1-24: 13

ตัวอย่างของปรากฏในส่วนที่ไม่มีเทคนิคการบรรจุบิตเป็นรายงานล่าสุดโดยAgarwal, Ben Avraham, Kaplan และ SharirในการคำนวณระยะทางFréchetโดยสิ้นเชิงระหว่างโซ่เหลี่ยมเหลี่ยมสองอันในเวลาO ( n 2 log log n / log n ) . ในขณะที่ฉันไม่คุ้นเคยกับรายละเอียดของอัลกอริทึมเคล็ดลับทั่วไปอย่างหนึ่งคือการแบ่งอินพุตเป็นชิ้นเล็ก ๆ แล้วรวมคำตอบอย่างชาญฉลาด (แน่นอนว่าเสียงนี้แบ่งและพิชิต แต่คุณไม่ได้รับ log n ในส่วนที่มีเทคนิคฉลาดบางอย่าง)$\log n$$O(n^2\log\log n/\log n)$

ไม่ว่าคุณจะถามอะไร แต่สถานการณ์ "อยู่ในป่า" ซึ่งปัจจัยบันทึกปรากฏในตัวหารคือกระดาษ " กรวดและโปรแกรมการแตกแขนงสำหรับการประเมินต้นไม้ " โดยสตีเฟ่นคุกปิแอร์ McKenzie ดัสติน Wehr มาร์ค Braverman และ ราหุลสันทนัม

ปัญหาการประเมินผลต้นไม้ (TEP) คือ: ให้ต้นไม้ -ary ที่มีหมายเหตุประกอบด้วยค่าใน{ 1 , … , k }บนใบไม้และฟังก์ชัน{ 1 , … , k } d → { 1 , … , k }บนโหนดภายใน ประเมินต้นไม้ ที่นี่แต่ละโหนดภายในได้รับค่าของฟังก์ชั่นคำอธิบายประกอบกับค่าของเด็ก ๆ นี่เป็นปัญหาง่ายและประเด็นก็คือแสดงให้เห็นว่ามันไม่สามารถแก้ไขได้ในพื้นที่ลอการิทึม (เมื่อความสูงของต้นไม้เป็นส่วนหนึ่งของอินพุต) ด้วยเหตุนี้เราจึงสนใจขนาดของโปรแกรมการแตกสาขาที่แก้ปัญหา TEP$d$$\{1,\ldots,k\}$$\{1,\ldots,k\}^d \to \{1,\ldots,k\}$

ในส่วนที่ 5 ขอบเขตที่ จำกัด จะถูกนำเสนอสำหรับต้นไม้ที่มีความสูง 3 ทั้งสำหรับ TEP และสำหรับปัญหาที่เกี่ยวข้องกับ BEP ซึ่งผลลัพธ์จะถูกยุบไปที่ในทางใดทางหนึ่งโดยพลการ สำหรับ TEP ผูกพันเป็นΘ ( k 2 d - 1 )ในขณะที่สำหรับ BEP ผูกพันเป็นΘ ( k 2 d - 1 /บันทึกk )คือคุณจะได้รับการประหยัดของบันทึก k$\{0,1\}$$\Theta(k^{2d-1})$$\Theta(k^{2d-1}/\log k)$$\log k$

แม้ว่ามันจะไม่เกี่ยวกับรันไทม์ แต่ฉันคิดว่ามันควรค่าแก่การกล่าวถึงผลการคลาสสิกของ Hopcroft, Paul และ Valiant: [1] เนื่องจากยังอยู่ใน จิตวิญญาณของ "สิ่งที่อาจทำให้คุณบันทึกปัจจัยบันทึก"$\mathsf{TIME[t]} \subseteq \mathsf{SPACE}[t/\log t]$

ที่ให้ตัวอย่างมากมายของปัญหาที่รู้จักกันดีบนขอบเขตความซับซ้อนของพื้นที่ที่มีการบันทึกในส่วน (ขึ้นอยู่กับมุมมองของคุณฉันจะคิดว่าอาจทำให้ตัวอย่างนี้น่าสนใจมาก - เป็นทฤษฎีบทที่น่าทึ่ง! - หรือไม่น่าสนใจมาก - มันอาจจะไม่ "มีประโยชน์จริง ๆ ")

[1] Hopcroft, Paul และ Valiant ในเวลาเมื่อเทียบกับพื้นที่ J. ACM 24 (2): 332-337, 1977

มีปัญหาสองข้อเกี่ยวกับความซับซ้อนของการสืบค้นที่ จำกัด :$\Theta(n/\log n)$

• ปัญหาการชั่งน้ำหนักแบบหยอดเหรียญด้วยสปริง
• ผู้บงการที่มีตำแหน่ง n และ 2 สี

อัลกอริทึมที่รู้จักกันดีที่สุดสำหรับการคำนวณระยะทางแก้ไข (aka Levenshtein) ระหว่างสองสายของความยาวใช้เวลาO ( ( n / log n ) 2 )เวลา:$n$$O((n/\log n)^2)$

William J. Masek, Mike Paterson: การคำนวณระยะทางแบบอัลกอรึทึมที่เร็วกว่า เจคอมพิวเตอร์ Syst วิทย์ 20 (1): 18-31 (1980)

ปรากฏเป็นขอบเขตที่ถูกต้องสำหรับปัญหาที่พิจารณาโดย Greg และ Paul Valiant (ไม่มีการเชื่อมต่อกับเทคนิคบิต):$\Theta(n/\log n)$

Gregory Valiant และ Paul Valiant พลังของการประมาณเชิงเส้น 2011 ในงานประชุมวิชาการ IEEE Symposium ประจำปี 52 ครั้งที่ 52 บนรากฐานของวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ FOCS 2011

นี่เป็นอีกตัวอย่างของขอบเขตที่แน่นหนาที่มีปัจจัยบันทึก (นี่คือทฤษฎีบท 6.17 จากความซับซ้อนของฟังก์ชันบูลีน: ความก้าวหน้าและขอบเขตโดย Stasys Jukna)

ขนาดของสูตร (เหนือฐานไบนารีเต็มหรือพื้นฐานของเดมอร์แกน) ของปัญหาความแตกต่างขององค์ประกอบคือโดยที่nคือจำนวนบิตในอินพุต$\Theta(n^2/\log n)$$n$

เหตุผลที่ปัจจัยบันทึกปรากฏในส่วนคือการแสดงจำนวนเต็มระหว่าง 1 และโพลี( m )ต้องการn : = O ( m log m )บิตรวมเนื่องจากแต่ละจำนวนเต็มต้องใช้บิตO ( log m ) ดังนั้นขอบเขตบนที่ดูเป็นธรรมชาติในรูปของmเช่นΘ ( m 2 log m )กลายเป็นΘ ( n 2 / log n )เมื่อแสดงในรูปของ$m$$\text{poly}(m)$$n := O(m \log m)$$O(\log m)$$m$$\Theta(m^2 \log m)$$\Theta(n^2/\log n)$โดยที่ nคือจำนวนบิตในอินพุต$n$$n$

การค้นหาปัจจัยสำคัญของ n โดยการแบ่งการทดลองเมื่อมีการระบุรายการของจำนวนเฉพาะ มีช่วงเวลาที่น้อยกว่า n ดังนั้นหากช่วงเวลาเหล่านี้จะให้กับคุณแล้วส่วนการพิจารณาคดีของ n โดยแต่ละของพวกเขาจะใช้เวลาθ($\theta(\frac{n}{\log(n)})$เวลา (สมมติว่าการแบ่งเป็นการดำเนินการเวลาคงที่)$\theta(\frac{n}{\log(n)})$

$O(f(n))$$O\left({f(n)\over{\log f(n)}}\right)$ DTIME, due to the time hierarchy theorem. so this applies to a linear DTIME algorithm that exists, $f(n)=n$, that runs impossibly in $O\left(n \over {\log n} \right)$ DTIME.