NC = ผลที่ตามมา P?

สวนสัตว์เชิงซ้อนชี้ให้เห็นในรายการในEXPว่าถ้าL = Pดังนั้นPSPACE = EXP เนื่องจากNPSPACE = PSPACE โดย Savitch เท่าที่ฉันสามารถบอกได้ว่าอาร์กิวเมนต์การเติมเต็มขยายไปเพื่อแสดงให้เห็นว่า นอกจากนี้เรายังรู้ว่า L NL NC P ผ่านลำดับชั้นการสลับที่ จำกัด ขอบเขตทรัพยากรของ Ruzzo

(NL = P) \Rightarrow (PSPACE = EXP) .

$(\text{NL} = \text{P}) \Rightarrow (\text{PSPACE} = \text{EXP}).$

\subseteq

$\subseteq$

\subseteq

$\subseteq$

\subseteq

$\subseteq$

ถ้า NC = P จะเป็นไปตามนั้น PSPACE = EXP หรือไม่

การตีความคำถามที่แตกต่างกันในจิตวิญญาณของริชาร์ดลิปตัน: เป็นไปได้หรือไม่ที่ปัญหาบางอย่างในพีไม่สามารถทำให้ขนานกันได้

ฉันจะให้ความสนใจในผลลัพธ์ "น่าประหลาดใจ" อื่น ๆ ของ NC = P

แก้ไข:คำตอบของไรอันนำไปสู่คำถามต่อไป: อะไรคือสมมติฐานที่อ่อนแอที่สุดที่รับประกันการใช้ PSPACE = EXP

W. Savitch ความสัมพันธ์ระหว่างความซับซ้อนของเทป nondeterministic และ deterministic, วารสารคอมพิวเตอร์และระบบวิทยาศาสตร์ 4 (2): 177-192, 1970
WL Ruzzo ความซับซ้อนของวงจรสม่ำเสมอวารสารคอมพิวเตอร์และวิทยาศาสตร์ระบบ 22 (3): 365-383, 1971

แก้ไข (2014):อัพเดทลิงค์ Zoo เก่าและเพิ่มลิงค์สำหรับคลาสอื่นทั้งหมด

cc.complexity-theory conditional-results

— András Salamon
แหล่งที่มา

ฉันแน่ใจว่าฉันไม่ใช่คนเดียวที่ไม่ทราบว่า NC คืออะไรนี่คือลิงค์: en.wikipedia.org/wiki/NC_%28complexity%29

— Emil

@Andras: หนึ่งผลอื่น ๆ ที่คุณอาจจะรู้อยู่แล้วว่า แต่ยังไม่ได้รับการกล่าวถึงเลยก็คือว่าแล้วลำดับชั้นจะยุบตั้งแต่มีปัญหาที่สมบูรณ์ภายใต้ -reductions .

N C

$\mathsf{NC}$

P

$\mathsf{P}$

L

$\mathsf{L}$

— Joshua Grochow

คำตอบ:

ใช่. สามารถมองเห็นเป็นคลาสของภาษาที่รู้จักโดยการสลับเครื่องทัวริงที่ใช้พื้นที่และเวลา (ซึ่งได้พิสูจน์ครั้งแรกโดย Ruzzo.) เป็นชั้นที่สลับเครื่องทัวริงใช้พื้นที่ แต่อาจใช้เวลาถึงเวลา เพื่อความกะทัดรัดขอเรียกคลาสเหล่านี้ $NC$ $O(\log n)$ $(\log n)^{O(1)}$ $P$ $O(\log n)$ $n^{O(1)}$ และ P $ATISP[(\log n)^{O(1)},\log n] = NC$ $ASPACE[O(\log n)] = P$

สมมติว่าทั้งสองคลาสมีค่าเท่ากัน การแทนที่ด้วยในข้างบน (เช่นการใช้บทแทรกการแปลมาตรฐาน) จะได้รับหนึ่งครั้ง $n$ $2^n$

E $TIME[2^{O(n)}] = ASPACE[O(n)] = ATISP[n^{O(1)}, n] \subseteq ATIME[n^{O(1)}] = PSPACE$

ถ้าแล้วเช่นกันเนื่องจากมี - ภาษาที่สมบูรณ์ใน ] $TIME[2^{O(n)}] \subseteq PSPACE$ $EXP = PSPACE$ $EXP$ $TIME[2^{O(n)}]$

แก้ไข:ถึงแม้ว่าคำตอบข้างต้นอาจจะมีความรู้มากกว่านี้ แต่นี่คือข้อโต้แย้งที่ง่ายกว่า: มีการติดตามแล้วจาก " มีอยู่ในพื้นที่ว่างในโพลีล็อก" และการแปลมาตรฐาน $EXP = PSPACE$ $P$ หมายเหตุ " ที่มีอยู่ในพื้นที่ polylog" เป็นสมมติฐานที่อ่อนแอกว่า P $P$ $NC = P$

รายละเอียดเพิ่มเติม: ตั้งแต่ครอบครัววงจรมีความลึกสำหรับคงที่บางทุกคนในครอบครัววงจรดังกล่าวสามารถประเมินในพื้นที่ ดังนั้น ]ดังนั้นหมายถึง $NC$ $(\log n)^c$ $O((\log n)^c)$ $NC \subseteq \bigcup_{c > 0} SPACE[(\log n)^c]$ $P = NC$ ]การประยุกต์ใช้การแปล (เปลี่ยนกับ ) หมายถึง Eการมีอยู่ของภาษาที่สมบูรณ์ในเสร็จสิ้นการโต้แย้ง $P \subseteq \bigcup_{c > 0} SPACE[(\log n)^c]$ $n$ $2^n$ $TIME[2^{O(n)}] \subseteq PSPACE$ $EXP$ $TIME[2^{O(n)}]$

อัปเดต:ตอบคำถามเพิ่มเติมของ Andreas ฉันเชื่อว่ามันเป็นไปได้ที่จะพิสูจน์ได้ว่า: iff สำหรับทุกทุกภาษาที่กระจัดกระจายพหุนามในเวลาสามารถแก้ไขได้ พื้นที่ polylog (การกระจัดกระจายพหุนามหมายความว่ามีมากที่สุดสายอักขระความยาวในภาษาสำหรับทั้งหมด $EXP=PSPACE$ $c$ $n^{O(\log^c n)}$ $poly(n)$ $n$ $n$ .) ถ้าเป็นจริงหลักฐานอาจจะไปตามเส้นของ Hartmanis, Immerman และหลักฐาน Sewelson ของที่ IFF ทุกภาษาเบาบาง polynomially ในที่มีอยู่ในP(หมายเหตุเวลาอยู่ในพื้นที่ polylog ยังคงพอที่จะบ่งบอกถึง .) $NE = E$ $NP$ $P$ $n^{O(\log^c n)}$ $PSPACE=EXP$

— Ryan Williams
แหล่งที่มา

ขอบคุณสำหรับคำตอบที่ดี ทฤษฎีการคำนวณของ Dexter Kozen มีสัญกรณ์ "เครื่องแบบ" ที่ดีสำหรับชั้นเรียนของ Ruzzo ในหน้า 69:

ที่พื้นที่

ขอบเขต, เวลา

ขอบเขตและการสลับสับเปลี่ยน

จากนั้น

ในขณะที่

S T A (f, g, h)

$STA(f,g,h)$

f

$f$

g

$g$

h

$h$

NC = S T A (\log n, *, (\log n)^{O (1)})

$\text{NC} = STA(\log n, {*}, (\log n)^{O(1)})$

ซึ่งเน้นการก่อสร้างจริงๆ

P = S T A (\log n, *, *)

$\text{P} = STA(\log n, {*}, {*})$

— András Salamon

โปรดทราบว่าฉันกำลังพูดว่า

ข้างต้น อย่างไรก็ตามฉันคิดว่าสิ่งเหล่านี้เหมือนกัน เครื่องที่ใช้เวลาพหุนามและพื้นที่

แต่ทำให้การสลับ

สามารถเปลี่ยนเป็นเครื่องสำรองอื่นซึ่งใช้เพียง

N C = S T A (\log n, (\log n)^{O (1)}, *)

$NC = STA(\log n, (\log n)^{O(1)}, *)$

O (\log n)

$O(\log n)$

(\log n)^{O (1)}

$(\log n)^{O(1)}$

เวลาและ

พื้นที่ (ทิศทางอื่น ๆ จะเห็นได้ชัด.) มีแนวคิดที่จะแทรก alternations มากขึ้นเพื่อให้เวลาพหุนามแต่ละขั้นตอนการดำรงอยู่และเฟสสากลคือ "เร่ง" ที่จะทำงานในเพียง

เวลาและ

พื้นที่ ตามแนวของทฤษฎีบทของ Savitch

(\log n)^{O (1)}

$(\log n)^{O(1)}$

O (\log n)

$O(\log n)$

(\log n)^{O (1)}

$(\log n)^{O(1)}$

O (\log n)

$O(\log n)$

— Ryan Williams

สิ่งที่เราต้องการคือสคริปต์ greasemonkey บางชนิดที่เชื่อมโยงบางอย่างโดยอัตโนมัติเช่น "\ NP" กับรายการในสวนสัตว์

— Suresh Venkat

(ฉันเห็นคำตอบของไรอัน แต่ฉันแค่ต้องการให้มุมมองอื่นซึ่งยาวเกินกว่าจะแสดงความคิดเห็นได้)

ในหลักฐานทั้งหมดที่คุณต้องรู้เกี่ยวกับ L อย่างไม่เป็นทางการคือเมื่อระเบิดด้วยเลขชี้กำลัง L กลายเป็น PSPACE บทพิสูจน์เดียวกันนี้ผ่านไปแล้วสำหรับ NL เพราะ NL ปลิวไปด้วยเลขชี้กำลังก็กลายเป็น PSPACE $L = P \Rightarrow PSPACE = EXP$

ในทำนองเดียวกันเมื่อ NC ถูกเป่าด้วยเลขชี้กำลังคุณจะได้รับ PSPACE ฉันชอบที่จะเห็นสิ่งนี้ในแง่ของวงจร: NC เป็นคลาสของวงจรขนาดพหุนามที่มีความลึกของโพลิlog เมื่อเป่าขึ้นจะกลายเป็นวงจรขนาดเอ็กซ์โพเนนเชียลที่มีความลึกแบบพหุนาม ใคร ๆ ก็สามารถแสดงให้เห็นว่านี่คือ PSPACE แน่นอนเมื่อมีการเพิ่มเงื่อนไขความสม่ำเสมอที่เหมาะสมฉันเดาว่า NC ถูกกำหนดด้วย L-uniformity แล้วจะได้รับ PSPACE-uniformity

หลักฐานควรง่าย ในทิศทางเดียวให้ใช้ปัญหาที่สมบูรณ์แบบของ PSPACE เช่น TQBF และแสดงปริมาณที่ใช้ AND และ OR หรือขนาดที่อธิบาย ในอีกทางหนึ่งให้ลองสำรวจวงจรเชิงลึกแบบโพลิโนเมียลซ้ำ ๆ ขนาดสแต็กจะเป็นพหุนามดังนั้นสิ่งนี้สามารถทำได้ใน PSPACE

ในที่สุดฉันมาพร้อมกับข้อโต้แย้งนี้เมื่อฉันเห็นคำถาม (และก่อนที่จะอ่านคำตอบของไรอัน) ดังนั้นอาจมีข้อบกพร่อง กรุณาชี้พวกเขาออกมา

— Robin Kothari
แหล่งที่มา

One correction: NC มีวงจรที่มีขนาดพหุนามและความลึกของโพลิlog แต่นี่ยังคงเป็นเพียงความลึกของพหุนามหลังจากแปล

— Ryan Williams

@Ryan: ถูกต้อง ฉันจะแก้ไขมัน

— Robin Kothari

ต่อไปนี้เป็นรายละเอียดเพิ่มเติมเล็กน้อยจากมุมมองของการจำลองเวลาว่างของเครื่อง Alternating Turing

สมมติว่า C $P = NC$

ตั้งแต่เราได้รับ $NC = ATISP((\log(n))^{O(1)}, O(\log(n)))$

P = A T ผม S P ((เข้าสู่ระบบ (n))^{O (1)}, O (เข้าสู่ระบบ (n))) .

$P = ATISP((\log(n))^{O(1)}, O(\log(n))).$

ตอนนี้พิจารณาเส้นเวลาปัญหาการจำลองสากลที่เราจะได้รับการเข้ารหัสบนเครื่องทัวริงและสายป้อนความยาวและเราต้องการที่จะรู้ว่ายอมรับในที่สุดขั้นตอน $LinU$ $M$ $x$ $n$ $M$ $x$ $n$

เรารู้ว่า Pดังนั้นจึงมีค่าคงที่ (ใหญ่พอ) เช่นนั้น $LinU \in P$ $c$

(*) L i n U \in A T I S P (\log^{c} (n), c \log (n)) .

$(*) \; LinU \in ATISP(\log^c(n), c\log(n)).$

เป็นผลมาจากการโต้แย้ง padding (หากินเล็กน้อยเห็นความคิดเห็น) เรามี

(1) D T I M E (n) \subseteq A T I S P (\log^{c} (n), c \log (n)) .

$(1) \; DTIME(n) \subseteq ATISP(\log^c(n), c\log(n)).$

การขยายอาร์กิวเมนต์ padding เราจะได้รับ

(2) D T ผม M E (n^{k}) \subseteq A T ผม S P (k^{ค} {เข้าสู่ระบบ}^{ค} (n), k ค เข้าสู่ระบบ (n)) .

$(2) \; DTIME(n^k) \subseteq ATISP(k^c\log^c(n), kc\log(n)).$

(3) D T ผม M E (2^{n^{k}}) \subseteq A T ผม S P (k^{ค} n^{k ค}, k ค n^{k}) .

$(3) \; DTIME(2^{n^k}) \subseteq ATISP(k^cn^{kc}, kcn^{k}).$

นอกจากนี้ยังมีผลลัพธ์ที่ทราบเกี่ยวกับการจำลองของเครื่องทัวริงที่ จำกัด ขอบเขตเวลา โดยเฉพาะอย่างยิ่งเรารู้ว่า

A T ผม S P ({เข้าสู่ระบบ}^{ค} (n), ค เข้าสู่ระบบ (n)) \subseteq D S P A C E (O ({เข้าสู่ระบบ}^{ค + 1} (n))) .

$ATISP(\log^c(n), c\log(n)) \subseteq DSPACE(O(\log^{c+1}(n))).$

ดังนั้นเรา (เป็นหลัก) มีดังต่อไปนี้สำหรับจำนวนธรรมชาติทั้งหมด : $k$

(2^{* * * *}) D T ผม M E (n^{k}) \subseteq D S P A C E (k^{ค + 1} {เข้าสู่ระบบ}^{ค + 1} (n))

$(2^{*}) \; DTIME(n^k) \subseteq DSPACE(k^{c+1}\log^{c+1}(n))$

(3^{* * * *}) D T ผม M E (2^{n^{k}}) \subseteq D S P A C E (n^{k (ค + 1)}) .

$(3^{*}) \; DTIME(2^{n^k}) \subseteq DSPACE(n^{k(c+1)}).$

จากเราจะได้รับที่ E $(3^{*})$ $EXP = PSPACE$

==================== หลังจากความคิด ===================

สิ่งสำคัญคือให้สังเกตว่าหมายถึงสำหรับค่าคงที่บางค $P = NC$

A T ผม S P ((เข้าสู่ระบบ (n))^{O (1)}, O (เข้าสู่ระบบ (n))) = A T ผม S P ({เข้าสู่ระบบ}^{ค} (n), O (เข้าสู่ระบบ (n)))

$ATISP((\log(n))^{O(1)}, O(\log(n))) = ATISP(\log^c(n), O(\log(n)))$

c

$c$

ยินดีต้อนรับความคิดเห็นหรือการแก้ไขใด ๆ :)

— Michael Wehar
แหล่งที่มา

N C^{k} ⊊ P S P A C E

$NC^k\subsetneq PSPACE$

k

$k$

N C^{2} ⊊ P S P A C E

$NC^2\subsetneq PSPACE$

N C \neq P S P A C E

$NC\neq PSPACE$

N C \neq P S P A C E

$NC\neq PSPACE$

P - u n i f o r m N C^{1} = P S P A C E

$P-uniform NC^1=PSPACE$

N C = A T I S P ((\log (n))^{O (1)}, O (\log (n)))

$NC = ATISP((\log(n))^{O(1)}, O(\log(n)))$

@ Turbo ขอบคุณสำหรับการติดตาม !! ฉันคิดว่าคุณควรอ่านคำจำกัดความที่ด้านล่างของหน้า 370 จาก: sciencedirect.com/science/article/pii/0022000081900386

— Michael Wehar

N C

$NC$

P

$P$

N C

$NC$