วงจรเลขคณิตที่มี

พิจารณาวงจรที่ใช้เป็นตัวเลขอินพุตในและมีเกตที่ประกอบด้วยฟังก์ชั่น , , , และ $[0,1]$ $\max(x, y)$ $\min(x, y)$ $1 - x$ . การส่งออกของวงจรแล้วยังหมายเลขใน] $\frac{x+y}{2}$ $[0,1]$

ไม่มีใครรู้ว่ารุ่นนี้หรือรูปแบบที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดได้รับการศึกษา?

โดยเฉพาะฉันพยายามที่จะแก้ปัญหาความพึงพอใจสำหรับวงจรนี้คือการคำนวณค่าสูงสุดที่สามารถบรรลุได้โดยวงจรนี้ (มันบรรลุสูงสุดจริง ๆ เพราะมันหมายถึงฟังก์ชั่นอย่างต่อเนื่องในโดเมนขนาดกะทัดรัด)

หมายเหตุ: การศึกษารูปแบบนี้ของฉันนั้นใช้วิธีถัวเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักดังนั้นโมเดลใด ๆ ที่เกี่ยวข้องกับรุ่นหลังก็อาจมีประโยชน์เช่นกัน

arithmetic-circuits

— Shaull
แหล่งที่มา

ปัญหานี้แท้จริงแล้วคือปัญหา NP-hard (ผ่านความพึงพอใจ: คุณมี

และ

ซึ่งคุณสามารถทำได้และ, หรือ, และไม่ใช่) ดังนั้นคำถามของคุณหรือไม่ว่าปัญหานี้อยู่ใน NP หรือไม่ ? คำถามการตัดสินใจว่าวงจรดังกล่าวมีอินพุตที่ให้ค่า 1 ดูเหมือนว่าจะอยู่ใน NP หรือไม่เนื่องจากหากมีอินพุตดังกล่าวจะมีหนึ่งที่เป็น 0/1

x \lor y \equiv max {x, y}

$x\vee y \equiv \max\{x,y\}$

\neg x \equiv 1 - x

$\neg x \equiv 1 - x$

— Neal Young

\leq 2^{n}

$\le2^n$

x \leq y

$x\le y$

x, y

$x,y$

min (x, y)

$\min(x,y)$

max (x, y)

$\max(x,y)$

— Emil Jeřábek

{a_{i} : i < m}

$\{a_i:i<m\}$

m

$m$

b_{i}

$b_i$

c_{i}

$c_i$

a_{i}

$a_i$

i < m

$i<m$

b_{i} \leq c_{i}

$b_i\le c_i$

c_{i} \leq b_{i}

$c_i\le b_i$

2^{m}

$2^m$

a_{i}

$a_i$

b_{i}

$b_i$

c_{i}

$c_i$

m

$m$

[0, 1]

$[0,1]$

\geq u

$\ge u$

\geq u

$\ge u$

O (n)

$O(n)$

O (1)

$O(1)$

2^{O (n)}

$2^{O(n)}$

คำตอบ:

$C$ $u\in[0,1]$ $x$ $C(x)\ge u$

$\{a_i:i<m\}$ $C$ $m\le n$ $n$ $b_i$ $c_i$ $a_i$ $i<m$ $b_i\le c_i$ $c_i\le b_i$ $2^m$ $a_i$ $b_i$ $c_i$ $n$

$m$ $[0,1]$ $\ge u$ $O(n)$ $\ge u$

$O(n)$ $O(1)$ $2^{O(n)}$

$\min(1,x+y)$ $(x+y)/2$

— Emil Jeřábek
แหล่งที่มา

ปัญหานี้เกิดจากปัญหา NP-hard

คุณจะได้รับ 3 SAT กับประตูนาที ( x , Y ) สูงสุด ( x, y ) และ 1- x

สิ่งที่เราต้องการคือการลดปัญหา 3-SAT เป็นวงจรที่คุณสามารถได้รับ 1 ถ้าตัวแปรทั้งหมดเป็นที่น่าพอใจและคุณสามารถบรรลุสิ่งที่น้อยกว่า 1 อย่างเคร่งครัด

เราสามารถบังคับให้ตัวแปรทั้งหมดเป็น 0 หรือ 1 ได้โดยใช้นิพจน์จำนวนน้อยที่สุดและทำให้นิพจน์เหล่านี้มีค่าสูงสุด ( x , 1− x )

ตอนนี้สำหรับทุกประโยคในปัญหา 3-SAT x ∨ y ∨ zเราใส่นิพจน์สูงสุด ( x , y , z ) อย่างน้อยที่สุด

ฉันไม่รู้ว่าค่าที่เหมาะสมที่สุดสำหรับปัญหา 3-SAT ที่ไม่น่าพอใจ แต่จะน้อยกว่า 1 อย่างเคร่งครัด

— Peter Shor
แหล่งที่มา

ใช่ความกระด้างของ NP เป็น "ทิศทางที่ง่าย" ตามที่ระบุไว้ในความคิดเห็นด้านบน ในความเป็นจริงถ้าคุณไม่ได้ใช้เกตเฉลี่ย แต่เพียงแค่ min และ max มันง่ายที่จะแสดงว่าค่าสูงสุดคือ 1 ถ้าวงจรบูลีนที่สอดคล้องกันเป็นที่น่าพอใจและ 1/2 มิฉะนั้น (เพียงแค่เสียบ 1/2 กับทั้งหมด ตัวแปร) อย่างไรก็ตามปัญหาได้รับการแก้ไขในความคิดเห็นข้างต้น

— Shaull

ไม่ใช่สิ่งที่คุณขออย่างแน่นอน แต่มีบริบทที่วงจรคล้ายกันปรากฏขึ้น

$1-x$

— Yuval Filmus
แหล่งที่มา

1 - x

$1-x$