การย่อขนาด DFA หลายภาษา

ฉันสนใจ DFA ทั่วไปเล็กน้อย ตามปกติเรามีสถานะตั้งไว้ $Q$ อักษร จำกัด $\Sigma$ ก $\Sigma^*$ - ปฏิกิริยาที่กำหนดไว้ $Q$ โดย $\delta : Q\times\Sigma\rightarrow Q$ และสถานะเริ่มต้น $q_0$ ; แต่แทนที่จะใช้ชุดเทอร์มินัลทั่วไปเราเลือกครอบครัว $(T_i)_{i\in 1..n}$ จากชุดย่อยของ $Q$ . DFA หลายภาษา $M$ เป็น tuple

$(Q, \Sigma, \delta, q_0, (T_i))$

และ $L \subseteq \Sigma^*$ ได้รับการยอมรับโดย $M$ IFF $L = \{s\in\Sigma^*|q_0s\in T_i\}$ สำหรับบางคน $i\in 1..n$ . กำหนด $(L_i(M))_{i\in 1..n}$ เพื่อเป็นตระกูลของภาษาที่ M จำได้หากคุณต้องการ

ตกลงตอนนี้สำหรับคำถามของฉัน: ให้ครอบครัวภาษาปกติ $(L_i)_{i\in 1..n}$ ฉันต้องการค้นหา DFA แบบหลายภาษาขั้นต่ำ $M$ ตามที่อธิบายไว้ข้างต้นเช่นว่า $L_i = L_i(M)$ เพื่อทุกสิ่ง $i\in 1..n$ นั่นคือเช่นนั้น $|Q|$ ถูกย่อให้เล็กสุดในทุกเครื่องดังกล่าว คำถามของฉันคือมีวิธีที่มีประสิทธิภาพที่รู้จักกันในการทำเช่นนี้อาจคล้ายกับทฤษฎีการลดขนาด DFA มาตรฐานหรือไม่? ในทางกลับกันมีหลักฐานว่าปัญหานี้อาจยากหรือไม่

automata-theory dfa

— gdmclellan
แหล่งที่มา

สำหรับฉันแล้วดูเหมือนว่าอัลกอริธึมที่ใช้การปรับแต่งพาร์ติชันมาตรฐานแก้ไขเพื่อเริ่มต้นโดยการแบ่งพาร์ติชันชุดเริ่มต้นโดยระบุว่าพวกเขายอมรับ / ไม่ยอมรับสำหรับแต่ละชุดย่อยที่กำหนดหรือไม่

T_{i}

$T_i$ มากกว่าสำหรับชุดเดียว

T

$T$ ควรทำงานทันที ทำไมถึงไม่ทำ? มันแยกคู่ของอเมริกาเมื่อพวกเขาต้องถูกแยกเท่านั้นดังนั้นมันยังคงสร้างการปรับแต่งที่หยาบที่สุดที่เป็นไปได้ของรัฐ

— David Eppstein

การพิสูจน์ความคิดเห็นโดย @DavidEppstein นั้นง่ายหากคุณกำหนดความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน

x \sim y

$x\sim y$ IFF

x \sim_{T_{i}} y

$x\sim_{T_i}y$ สำหรับทุกคน

i

$i$ ที่ไหน

x \sim_{T_{i}} y

$x\sim_{T_i} y$ คือความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันของ Myhill-Nerode จากนั้นคุณสามารถดำเนินการตามบรรทัดเดียวกับอัลกอริธึมการย่อขนาดมาตรฐาน

— Shaull

ไม่ค่อยเข้าใจ คือคำตอบของปัญหานี้ในการค้นหา DFA ขั้นต่ำสุดของสหภาพ DFA ที่มี "การตั้งค่า" เดียวกันยกเว้นสถานะปลายทางที่แตกต่างกันแต่ละ DFA สำหรับ

1.. n

$1..n$ ? ยัง defn ของการรับรู้ของ

L = {. . .}

$L=\{...\}$ ดูเหมือนจะไม่สมเหตุสมผลเลยดูเหมือนว่าจะรวมสตริงและชุดของรัฐ

— vzn

จุดที่ DavidEppstein และ Shaull ดูน่าสนใจฉันจะหาเวลาไปตามทฤษฎีบท Myhill-Nerode เมื่อฉันมีเวลาโน้มน้าวใจตัวเองว่าผลหารยังคงให้ออโตเมติกน้อย ในความเข้าใจย้อนหลังดูเหมือนชัดเจนเกินไป

— gdmclellan

@ vzn: แน่นอนไม่ต้องการที่จะรวมกันเป็นภาษาของหุ่นยนต์เดิม; และ

T_{i}

$T_i$ อาจทับซ้อนกัน DFA หลายภาษาพร้อมภาษา

A

$A$ และ

B

$B$ ควรจะสามารถรายงานได้เช่นนั้น

s \in A

$s\in A$ แต่

s \notin B

$s\notin B$ . ในส่วนของสัญกรณ์ที่ใช้ในการกำหนดการจดจำภาษาสัญลักษณ์จะถูกกำหนดโดยการขยาย

δ

$\delta$ เพื่อ

Σ^{*}

$\Sigma^*$ -action on

Q

$Q$ โดยกฎต่อไปนี้สำหรับทุกคน

q \in Q, σ \in Σ, s \in Σ^{*}

$q\in Q, \sigma\in\Sigma, s\in\Sigma^*$ :

q σ = δ (q, σ), q (s σ) = (q s) σ

$q\sigma = \delta(q, \sigma), q(s\sigma) = (qs)\sigma$ .

— gdmclellan

คำตอบสั้นๆ ให้ครอบครัวปกติของภาษาทั่วไป $\mathcal{L} = (L_i)_{1 \leqslant i \leqslant n}$ มีความหลากหลายที่ไม่เหมือนใครในการกำหนดตระกูลอัตโนมัติ

รายละเอียด . กรณี $n = 1$ สอดคล้องกับการก่อสร้างมาตรฐานและกรณีทั่วไปไม่แตกต่างกันมากในจิตวิญญาณ รับภาษา $L$ และคำ $u$ , ปล่อย $u^{-1}L = \{ v \in A^* \mid uv \in L \}$ . กำหนดความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน $\sim$ บน $A^*$ โดยการตั้งค่า

u \sim v ⟺ for each L \in L, u^{- 1} L = v^{- 1} L

$u \sim v \iff \text{for each }L \in \mathcal{L},\ u^{-1}L = v^{-1}L$ ตั้งแต่

L_{i}

$L_i$ เป็นเรื่องปกติความสอดคล้องนี้มีดัชนี จำกัด นอกจากนี้มันเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าแต่ละคน

L_{i}

$L_i$ อิ่มตัวโดย

\sim

$\sim$ และสำหรับแต่ละคน

a \in A

$a \in A$ ,

u \sim v

$u \sim v$ หมายถึง

u a \sim v a

$ua \sim va$ . ให้เราแสดงโดย

1

$1$ คำที่ว่างเปล่าและโดย

[u]

$[u]$

\sim

$\sim$ - คลาสของคำ

u

$u$ . ปล่อย

A_{L} = (Q, [1], \cdot, (F_{i})_{1 ⩽ i ⩽ n})

$\mathcal{A}_\mathcal{L} = (Q, [1], \cdot, (F_i)_{1 \leqslant i \leqslant n})$ เป็นหลายหุ่นยนต์กำหนดขึ้นได้กำหนดไว้ดังนี้:

$Q = \{ [u] \mid u \in A^*\}$ ,
$[u] \cdot a = [ua]$ ,
$F_i = \{ [u] \mid u \in L_i\}$ .

โดยการก่อสร้าง $[1] \cdot u \in F_i$ ถ้าและเพียงถ้า $u \in L_i$ และด้วยเหตุนี้ $\mathcal{A}_\mathcal{L}$ ยอมรับครอบครัว $\mathcal{L}$ . มันยังคงพิสูจน์ให้เห็นว่า $\mathcal{A}_\mathcal{L}$ น้อยที่สุด จริง ๆ แล้วมันมีความหมายเชิงพีชคณิตน้อยที่สุด (ซึ่งแปลว่ามีจำนวนสถานะน้อยที่สุด) ปล่อย $\mathcal{A} = (Q, q_-, \cdot, (F_i)_{1 \leqslant i \leqslant n})$ และ $\mathcal{A}' = (Q', q'_-, \cdot, (F'_i)_{1 \leqslant i \leqslant n})$ เป็นสองมัลติออโต มอร์ฟิซึ่มส์ $f: \mathcal{A} \to \mathcal{A}'$ เป็นแผนที่ที่น่าสนใจจาก $Q$ ไปยัง $Q'$ ดังนั้น

$f(q_-) = q'_-$ ,
for $1 \leqslant i \leqslant n$ , $f^{-1}(F'_i) = F_i$ ,
for all $u \in A^*$ and $q \in Q$ , $f(q \cdot u) = f(q) \cdot u$ .

Then for any accessible deterministic multi-automaton $\mathcal{A}$ accepting $\mathcal{L}$ , there is a morphism from $\mathcal{A}$ onto $\mathcal{A}_\mathcal{L}$ . To prove this, one first verifies that if $q_- \cdot u_1 = q_- \cdot u_2 = q$ , then $u_1 \sim u_2$ . Now $f$ is defined by $f(q) = [u]$ where $u$ is any word such that $q_- \cdot u = q$ . Then one can show that $f$ satisfies the three required properties.

The end is a bit sketchy, let me know if you need more details.

— J.-E. Pin
แหล่งที่มา