Asymptotically พีชคณิตของ

พิจารณาการเปลี่ยนแปลง $\sigma$ ของ $[1..n]$ ]ผกผันถูกกำหนดให้เป็นคู่ $(i, j)$ ของดัชนีดังกล่าวว่า $i < j$ และ $\sigma(i) > \sigma(j)$ )

กำหนด $A_k$ ให้เป็นจำนวนพีชคณิตของ $[1..n]$ มีจำนวนการโจมตี $k$ สูงสุด

คำถาม: ซีมโทติคคับที่ผูกไว้กับ $A_k$ คืออะไร?

คำถามที่เกี่ยวข้องถูกถามก่อน: จำนวนพีชคณิตที่มีระยะทาง Kendall-Tau เดียวกัน

แต่คำถามข้างต้นถูกเกี่ยวกับคอมพิวเตอร์ kสามารถคำนวณได้โดยใช้การเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกเนื่องจากเป็นไปตามความสัมพันธ์ที่เกิดซ้ำที่แสดงที่นี่: /programming/948341/dynamic-programming-number-of-ways-to-get-at-least-n-bubble เรียง-แลกเปลี่ยน $A_k$

จำนวนพีชคณิตกับว่า $k$ inversions ยังได้รับการศึกษาและมันสามารถแสดงเป็นฟังก์ชั่นการสร้าง: http://en.wikipedia.org/wiki/Permutation#Inversions

แต่ฉันไม่สามารถหาสูตรปิดแบบฟอร์มหรือผูกแบบเชิงเส้นกำกับได้

co.combinatorics permutations

— Vinayak Pathak
แหล่งที่มา

หากคุณมีพหุนามสร้างลำดับที่คุณสามารถได้รับมาพหุนามสร้างสำหรับเงินก้อนคำนำหน้าเพียงโดยการคูณพหุนามโดย

1 / (1 - x)

$1/(1-x)$ )

ในกรณีของคุณคุณจะต้องใช้พหุนามที่คุณเชื่อมโยงกับคอมพิวเตอร์นั้นคำนวณค่าผกผันของ -k

— Suresh Venkat

นี่คือoeis.org/A161169

— András Salamon

@SureshVenkat ขอบคุณสำหรับเคล็ดลับ แต่ผมจะยังคงติดอยู่กับการหาค่าสัมประสิทธิ์ของ

ในเรื่องนี้ซับซ้อนมากพหุนามในแง่ของ

และ

และผมไม่เห็นว่าจะทำอย่างไร

x^{k}

$x^k$

n

$n$

k

$k$

— Vinayak Pathak

ที่จะได้รับค่าสัมประสิทธิ์ของ

ใช้

-th ที่มาของการสร้างพหุนามและประเมินผลได้ที่

x^{k}

$x^k$

k

$k$

x = 0

$x = 0$

— Sasho Nikolov

ตามที่วิกิพีเดียจำนวนพีชคณิตในตรงกับ inversions คือค่าสัมประสิทธิ์ของใน แสดงว่านี้โดย )นี่แสดงให้เห็นว่า $S_n$ $k$ $X^k$

1 (1 + X) (1 + X + X^{2}) \dots (1 + X + \dots + X^{n - 1}) .

$1(1+X)(1+X+X^2)\cdots(1+X+\cdots+X^{n-1}).$

c (n, k)

$c(n,k)$

ดังนั้นจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนใน

ที่มากที่สุด

inversions เท่ากับจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนใน

กับ

inversions ทุกประการ นี้มีหลักฐาน combinatorial เรียบร้อยเช่นกัน (คำใบ้: ใช้

และลบ

)

c (n + 1, k) = \sum_{l = 0}^{k} c (n, k - l) .

$c(n+1,k) = \sum_{l=0}^k c(n,k-l).$

S_{n}

$S_n$

k

$k$

S_{n + 1}

$S_{n+1}$

k

$k$

π \in S_{n + 1}

$\pi\in S_{n+1}$

n + 1

$n+1$

หากเราสนใจเฉพาะค่าสัมประสิทธิ์ดังนั้นปัจจัยสำหรับจะไม่สร้างความแตกต่าง ดังนั้นสำหรับ , คือสัมประสิทธิ์ของ in $X^k$ $X^m$ $m > k$ $n > k$ $c(n,k)$ $X^k$ นี่หมายถึงสูตร

\begin{aligned} 1 (1 + X) \dots (1 + X + \dots + X^{k - 1}) (1 + X + \dots + X^{k} + \dots)^{n - k} \\ = & 1 (1 + X) \dots (1 + X + \dots + X^{k - 1}) \frac{1}{(1 - X)^{n - k}} \\ = & 1 (1 + X) \dots (1 + X + \dots + X^{k - 1}) Σ_{เสื้อ = 0}^{\infty} (\binom{เสื้อ + n - k - 1}{เสื้อ}) X^{เสื้อ} . \end{aligned}

$\begin{align*} &1(1+X)\cdots(1+X+\cdots+X^{k-1}) (1+X+\cdots+X^k+\cdots)^{n-k} \\ = &1(1+X)\cdots(1+X+\cdots+X^{k-1}) \frac{1}{(1-X)^{n-k}} \\ = &1(1+X)\cdots(1+X+\cdots+X^{k-1}) \sum_{t=0}^\infty \binom{t+n-k-1}{t} X^t. \end{align*}$

ค (n, k) = Σ_{เสื้อ = 0}^{k} (\binom{n + เสื้อ - k - 1}{เสื้อ}) ค (k, k - เสื้อ), n > k .

$c(n,k) = \sum_{t=0}^k \binom{n+t-k-1}{t} c(k,k-t), \quad n > k.$

เมื่อเป็นค่าคงที่คำที่สำคัญที่สุดของ asymptotically คือคำที่สอดคล้องกับและเรามี $k$ $t = k$ asymptotics เดียวกันทำงานกับซึ่งเป็นสิ่งที่คุณเป็นหลังจากนั้น

ค (n, k) = (\binom{n - 1}{k}) + O_{k} (n^{k - 1}) = \frac{1}{k!} n^{k} + O_{k} (n^{k - 1}) .

$c(n,k) = \binom{n-1}{k} + O_k(n^{k-1}) = \frac{1}{k!} n^k + O_k(n^{k-1}).$

c (n + 1, k)

$c(n+1,k)$

สำหรับไม่คงที่ให้ใช้ความจริงที่ว่า $k$ $\binom{n+t-k-1}{t} = \binom{n+t-k-1}{n-k-1}$ $t$ $\sum_{t=0}^k c(k,t) \leq k!$

(\binom{n - 1}{k}) \leq ค (n, k) \leq k! (\binom{n - 1}{k}) .

$\binom{n-1}{k} \leq c(n,k) \leq k! \binom{n-1}{k}.$

— Yuval Filmus
แหล่งที่มา

c (n, k) \leq k! (\binom{n - 1}{k}) \leq e k^{k + 1 / 2} e^{- k} (e (n - 1) / k)^{k}

$c(n,k)\leq k!\binom{n-1}{k} \leq ek^{k+1/2}e^{-k}(e(n-1)/k)^k$

c (n, k) \leq e \sqrt{k} (n - 1)^{k}

$c(n,k) \leq e\sqrt{k}(n-1)^k$