การจัดที่นั่งที่ดีสำหรับลำดับของอาหารและตารางขนาด K สำหรับกลุ่มคนที่มี

ได้รับชุดของคนที่ผมอยากจะนั่งพวกเขาสำหรับการลำดับของอาหารที่โต๊ะขนาดk (แน่นอนว่ามีตารางเพียงพอที่จะนั่งทั้งหมด| S |สำหรับมื้ออาหารแต่ละมื้อ) ฉันต้องการที่จะจัดให้มีสิ่งนี้โดยที่ไม่มีใครแบ่งปันโต๊ะกับบุคคลเดียวกันสองครั้ง ค่าทั่วไปคือ| S | = 45และk = 5และ 6 ถึง 10 มื้อ$S$$k$$|S|$$|S|=45$$k=5$

ในทางที่เป็นนามธรรมมากขึ้นฉันต้องการค้นหาลำดับของพาร์ติชันของที่แต่ละพาร์ติชั่นประกอบด้วยส่วนย่อยที่ไม่ต่อเนื่องของ cardinality kและการเพิ่มคุณสมบัติระดับโลกที่จุดตัดระหว่างชุดย่อยสองอันนั้นไม่มีองค์ประกอบมากกว่าหนึ่งองค์ประกอบ ฉันสงสัยว่าสิ่งนี้สามารถกำหนดเป็นปัญหาเชิงทฤษฎีหรือเชิงกราฟได้$S$$k$

ฉันขอขอบคุณสำหรับการกำหนดปัญหาที่ดีขึ้นและตัวชี้ไปยังวรรณกรรมที่เกี่ยวข้องเนื่องจากอยู่นอกโดเมนของฉัน

เบื้องหลัง: สิ่งนี้สามารถใช้สำหรับการจัดที่นั่งที่Schloss Dagstuhlซึ่งนักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์จำนวนมากมาเพื่อหารือเกี่ยวกับการวิจัยของพวกเขาในช่วงเวลาหนึ่งสัปดาห์ ในปัจจุบันที่นั่งจะถูกสุ่มและน่าแปลกใจที่บางคนพบว่าตัวเองนั่งอยู่กับคนเดิมสองครั้ง (หรือบ่อยกว่า) ในช่วงเวลาหนึ่งสัปดาห์ นอกจากนี้ยังแปลกใจที่เราได้รับการร้องเรียนเกี่ยวกับเรื่องนี้และข้อเสนอแนะที่คลุมเครือวิธีการปรับปรุงนี้ ฉันต้องการที่จะเข้าใจสิ่งนี้ดีขึ้น การกำหนดปัญหาให้แข็งแกร่งขึ้นนั้นเกี่ยวข้องกับการปรับให้เหมาะสมว่าใครกำลังนั่งอยู่ข้างๆกัน แต่ฉันเชื่อว่าสิ่งนี้ไม่เกี่ยวข้องกับตารางขนาด 5

นอกเหนือจากแอปพลิเคชั่นแล้วฉันคิดว่าคำถามที่น่าสนใจสำหรับจำนวนมื้ออาหารสูงสุดที่สามารถให้บริการสำหรับและk ที่กำหนดคือจำนวนพาร์ติชันที่มีอยู่$S$$k$

นี่คือตัวแปรของคำตอบดั้งเดิม (ด้านล่าง) ที่ให้การตั้งค่าที่ต้องการ: ตารางขนาด 5, 45 คนและ 10 มื้อยกเว้นว่าอาหารหนึ่งมื้อมีตารางขนาดไม่กี่ 4

ให้เป็นเขตข้อมูลขนาด 9 เลือกเส้นแนวตั้ง 4 เส้นและทำให้เสื่อมลง { ( b , x ) | x ∈ F }สำหรับทุกๆb = 0 , 1 , 2 , 3และประกาศให้ผู้คนของพวกเขา "ว่างเปล่า" เราเหลือ 81 - 9x4 = 45 คน$F$$\{(b,x) | x \in F\}$$b = 0,1,2,3$

อาหาร 9 มื้อจะได้รับจากเนินเขา= 0 , 1 , ... , 8 จุดตัดที่มีเส้นย่อยสลายที่ว่างเปล่า 4 เส้นจะลดขนาดตารางลงเหลือ 9-4 = 5$a = 0,1,\ldots,8$

อาหารเพิ่มเติมจะได้รับโดยสายการเสื่อมที่เหลืออยู่ทุกข= 4 , 5 , 6 , 7 , 8 ที่นี่ขนาดตารางคือ 9 อย่างไรก็ตาม (ในการแก้ปัญหาใด ๆ ) เราสามารถแบ่งตารางขนาด 9 ออกเป็นตารางขนาด 5 และหนึ่งในขนาด 4$\{(b,x) | x \in F\}$$b = 4,5,6,7,8$

หากมีคนเพิ่มอีกสักสองสามคนก็สามารถใช้สนามขนาด 11 ได้

ก่อนอื่นให้เราจัดการกับคนและkมื้อ$k^2$$k$

เลือกฟิลด์ จำกัดขนาดkและระบุคนที่มีF × F ในแต่ละมื้อจะมีความลาดเอียงสอดคล้องกับตารางที่มีเส้นขนานกับความลาดชันนั้น$F$$k$$F \times F$

โดยเฉพาะมื้ออาหารมีตารางk { ( x , a x + b ) | x ∈ F }ทุกข∈ F$a$$k$$\{(x,ax+b) | x \in F\}$$b \in F$

คุณสมบัติทางแยกที่คุณต้องการคือความจริงที่ว่าเส้นที่มีความลาดชันแตกต่างกันในจุดเดียว

ในการจัดการคนแบ่งพวกมันออกเป็นสองกลุ่มละ2 kและใช้การก่อสร้างด้านบนกับแต่ละกลุ่ม หากต้องการจัดการ2 k 2 - k = 45ให้กำหนดป้ายกำกับ (ในกลุ่มแรก) เช่น{ ( x , x ) | x ∈ F }เป็น "ว่าง" คุณอาจมีบางโต๊ะที่มีk - 1คน$2k^2$$k^2$$2k^2 - k = 45$$\{(x,x)|x\in F\}$$k-1$

สำหรับมื้ออาหารที่มากขึ้นเราสามารถเลือกพาร์ทิชันที่แตกต่างกันในสองกลุ่มที่จุดเริ่มต้นของมื้อที่ 6 (สมมติว่าคุณแทรกพาร์ทิชันเดิมเพื่อให้แน่ใจว่าทั้งสองกลุ่ม "ผสม.") แม้ว่าของหลักสูตรนี้อาจส่งผลในทางแยกบาง

ต่อไปนี้เป็นข้อผูกมัดส่วนบนของจำนวนอาหารที่คุณสามารถเสิร์ฟได้

$|S| = n$$n$$k$$n/k$

$S$$n/k$$k$$\Theta(nk)$

$n$$\Theta(n^2)$$O(n/k)$

$\frac{n-1}{k-1}$

หากคุณต้องการให้คนสองคนนั่งที่โต๊ะเดียวกันหนึ่งครั้งสิ่งนี้เรียกว่าการออกแบบ 2 แบบที่แก้ไขได้และได้รับการศึกษามากมาย แน่นอนว่าการงดอาหารสองสามมื้อจะช่วยแก้ปัญหาของคุณเมื่อคนสองคนสามารถพบกันได้มากที่สุดครั้งเดียว (แต่อาจมีวิธีแก้ปัญหาอื่น ๆ อยู่)

ผมไม่แน่ใจว่าถ้าคุณจำเป็นต้องมีขั้นตอนวิธีการที่กำหนด แต่ฉันได้แก้ไขปัญหาที่คล้ายกันในอดีตที่ผ่านมาโดยใช้โซ่มาร์คอฟวิธี Monte Carlo

คุณสามารถดูตัวอย่างการทำงานของวิธีการนี้ใน Github - โปรแกรมนี้พยายามที่จะจัดกลุ่มคนที่โต๊ะขนาดคงที่กำหนดชุดของข้อ จำกัด ที่นั่งซึ่งอาจเป็นบวกหรือลบ ("ต้อง" หรือ "ต้องไม่" ) และอาจเป็นแบบสัมบูรณ์หรือแบบสัมพัทธ์ ("ดีกว่า")

หมายเหตุ: โปรแกรมนี้ไม่ได้แก้ตรงปัญหาเดียวกันกับที่คุณเสนอ แต่ก็ไม่ให้มีการสาธิตการทำงานของห่วงโซ่มาร์คอฟวิธี Monte Carlo และก็พอใกล้ที่คุณสามารถปรับเปลี่ยนได้ตามความจำเป็นสำหรับปัญหาของคุณ

โปรแกรมแก้ปัญหาสำหรับอาหารค่ำหนึ่งมื้อ แต่ในกรณีของคุณวิธีง่ายๆในการเข้าถึงปัญหาคือการเรียกใช้อัลกอริทึมหนึ่งครั้งสำหรับอาหารค่ำแต่ละครั้งทุกครั้งที่ให้สหายก่อนหน้าของผู้ทานแต่ละคน (ข้อได้เปรียบของความต้องการเลือนคือการที่คุณจะรับประกันว่าอัลกอริทึมจะหยุดอยู่กับปัจจัยการผลิตทั้งหมดแม้ว่าการจัดเรียงที่สมบูรณ์แบบไม่สามารถพบได้)

ในกระบวนการนี้เราจะพยายามที่จะนั่งแต่ละร้านอาหารตามข้อกำหนดที่แน่นอน - คุณอาจต้องการที่จะข้ามส่วนนี้ของกระบวนการเพราะมันจะทำงานเฉพาะเมื่อความต้องการแน่นอนมีจำนวนค่อนข้างน้อย ไม่งั้นคุณจะพบกับปัญหาใหญ่โตอย่างไม่น่าเชื่อ !

ในขั้นตอนถัดไปเราสร้างชุดของตารางและสุ่มผู้เข้าร่วมไปยังตารางสำหรับการกำหนดค่าเริ่มต้นและคะแนนจะถูกคำนวณเพื่อแสดงจำนวนของข้อกำหนดที่คลุมเครือที่ได้รับความพึงพอใจ คู่ของนักทานจะถูกสลับแบบสุ่มและคะแนนจะถูกคำนวณใหม่สำหรับตารางเหล่านั้นเพื่อพิจารณาว่าการกำหนดค่าใหม่นั้นดีกว่าหรือไม่

ส่วนนี้ของกระบวนการควรนึกคิดซ้ำกับการกำหนดค่าเริ่มต้นหลายอย่างและสามารถคำนวณได้อย่างง่ายดายในแบบคู่ขนาน

ผมคิดว่าการจัดที่นั่งที่ถูกต้องเทียบเท่ากับ D-ปกติ hypergraph บน | S | จุดยอดที่ d คือจำนวนของอาหารเย็นที่มีอันดับสูงสุด k และ codegree สูงสุด 1 วิธีแก้ปัญหาเล็กน้อยคือให้ทุกคนนั่งด้วยตัวเองเสมอ แต่ฉันเดาว่าเป้าหมายคือการลดจำนวนของตาราง?