ชุดย่อยรวมกับผลิตภัณฑ์ชุดชั้นใน (ความแข็งเทียบกับความแข็ง NP อ่อน)

ฉันหวังว่าบางคนอาจจะสามารถอธิบายให้ฉันเข้าใจได้ว่าทำไมปัญหาผลิตภัณฑ์ชุดย่อยนั้นเป็นปัญหาที่รุนแรงมากในขณะที่ปัญหาส่วนย่อยของชุดย่อยนั้นค่อนข้างอ่อนแรง

กลุ่มย่อยซำ: ให้และไม่มีอยู่เซตดังกล่าวว่า T $X = \{x_1,...,x_n\}$ $T$ $X'$ $\sum_{i\in X'}x_i = T$

กลุ่มย่อยสินค้า: ให้และไม่มีอยู่เซตดังกล่าวว่า T $X = \{x_1,...,x_n\}$ $T$ $X'$ $\prod_{i\in X'}x_i = T$

ฉันคิดเสมอว่าปัญหาทั้งสองนั้นเทียบเท่ากัน - ตัวอย่างของ SS สามารถเปลี่ยนเป็นตัวอย่างของ SP ผ่านการยกกำลังและตัวอย่างของ SP เป็น SS ผ่านลอการิทึม สิ่งนี้ทำให้ฉันสรุปได้ว่าพวกเขาทั้งคู่อยู่ในระดับเดียวกันของ NP-hard - นั่นคือพวกเขาทั้งคู่มีความอ่อนแอน้อย

นอกจากนี้ปรากฏว่าการเกิดซ้ำเดียวกันสามารถใช้เพื่อแก้ปัญหาทั้งสองโดยใช้การเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกที่มีการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยมาก (แทนที่การลบใน SS ด้วยการหารใน SP)

นั่นคือจนกว่าฉันจะอ่านบทที่ 8 ของ "ทฤษฎีการคำนวณ" โดย Bernard Moret (สำหรับคนที่ไม่มีหนังสือเล่มนี้ก็มีข้อพิสูจน์เรื่องความแข็งของผลิตภัณฑ์ย่อยผ่าน X3C - ปัญหาที่ยากมากอย่างยิ่ง NP)

ฉันเข้าใจการลดลง แต่ไม่สามารถเข้าใจได้ว่าเกิดอะไรขึ้นกับข้อสรุปก่อนหน้านี้ของฉัน (ความเท่าเทียมกันของปัญหาทั้งสอง)

UPDATE : ปรากฎว่าผลิตภัณฑ์ชุดย่อยนั้นมีปัญหา NP-Complete เพียงเล็กน้อย (ผลิตภัณฑ์เป้าหมายนั้นมีการอธิบายแบบเลขชี้กำลังเป็น ) Gary และ Johnson ตีพิมพ์ในคอลัมน์ NP-ครบถ้วนในปี 1981แต่ฉันคิดว่ามันจะมองเห็นได้น้อยกว่าการอ้างสิทธิ์ก่อนหน้านี้ในหนังสือของพวกเขา $\Omega (n)$

— RDN
แหล่งที่มา

อาจเป็นการดีที่จะจินตนาการว่าคุณจะใช้อัลกอริทึมการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกของคุณอย่างไร จากนั้นคุณจะพบสิ่งที่ผิด

— โยชิโอะโอกาโมโต้

@ MohammadAl-Turkistany: มันอยู่ในส่วนสุดท้ายของสิ่งนี้ คอลัมน์

— RDN

คำตอบ:

เกี่ยวกับปัญหาความเท่ากันของผลรวมย่อยและผลิตภัณฑ์เซตย่อย ผลคูณของ x's = T นั้นจริงแล้ว Psuedopolynomial ถ้า T ไม่ใช่เลขชี้กำลัง! ดังนั้นการพิสูจน์ของเซตย่อยของผลิตภัณฑ์ที่เป็น NP ฮาร์ดจึงไม่ถูกต้อง (ด้วยเหตุผลทางเทคนิค !!!) ค่อนข้างถูกต้อง!

อย่างไรก็ตามให้สัญญาว่า T มีขนาดใหญ่จากนั้นการลดผ่านลอการิทึมไปยังผลรวมย่อยให้ผลรวมย่อย NONSTANDARD SUUMET ซึ่งอยู่เหนือ reals! ซึ่งหมายความว่าอัลกอริทึม Psuedopolynomial สำหรับผลรวมย่อยไม่ได้ใช้! แม้ว่าลอการิทึมจะมีขนาดเล็ก แต่ทศนิยมก็ทำให้โปรแกรมแบบไดนามิกของ Psuedopolynomial!

ฉันหวังว่านี่จะช่วยได้

เศลา

— Zelah 02
แหล่งที่มา

กลับกลายเป็นว่าคุณถูกต้องตลอดเกี่ยวกับการลดลงที่ไม่ถูกต้อง (เช่นการอ้างว่าพวกเขาแสดงความสมบูรณ์ NP ที่แข็งแกร่งเมื่อพวกเขาไม่ได้) ขอบคุณ!

— RDN

ประการแรกใช้การยกกำลังเพื่อเปลี่ยนจาก SS เป็น SP ทำงาน (ใช้ฐาน 2 แทนฐาน ) แต่จะขยายขนาดของตัวเลขที่เกี่ยวข้อง Weak NP-hardness นั้นหมายความว่าหากตัวเลขมีขนาดเล็ก (หรือมากกว่านั้นแสดงว่าเป็นเอกภาพ) ปัญหาจะไม่ยากอีกต่อไป ดังนั้นการใช้การยกกำลังจะสร้างอินสแตนซ์ขนาดใหญ่ของ SP แม้จะเป็นอินสแตนซ์ที่ง่ายของ SS ซึ่งตัวเลขจะถูกเขียนเป็นเอก $e$

ประการที่สองการใช้ลอการิทึมที่จะไปจาก SP ถึง SS ไม่ทำงานเนื่องจากลอการิทึมโดยทั่วไปจะสร้างค่าที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม SS และ SP ถูกกำหนดโดยใช้หมายเลขจำนวนเต็มและลอการิทึมมักจะส่งผลให้ค่ายอดเยี่ยมซึ่งยากที่จะแสดงหรือทำคณิตศาสตร์

<edit>

ให้เป็นจำนวนเต็ม, , จากนั้นจะเป็นจำนวนตรรกยะถ้าเป็นกำลังของ 2, และดีเยี่ยมเป็นอย่างอื่น ประการแรกหาก $A$ $A > 0$ $\log_2 A$ $A$ สำหรับจำนวนเต็มไม่ใช่ศูนย์และจากนั้น $\log_2 A = \frac{p}{q}$ $p$ $q$ ,หน้าดังนั้นเราจึงมีโดยการสลายตัวที่สำคัญ ยิ่งกว่านั้น, เพื่อให้เราสามารถเลือกและเพื่อพิสูจน์คือเหตุผล $A = 2^{\frac{p}{q}}$ $A^q = 2^p$ $A = 2^r$ $A^{rq} = 2^p$ $A$ $q=1$ $p=r$ $\log_2 A$

เราเพียงแค่ต้องแสดงให้เห็นว่านั้นไม่เคยยอดเยี่ยมอย่างอื่น นี้ต่อไปนี้จากทฤษฎีบท Gelfond-ไนเดอร์สำหรับสูตรเทียบเท่า (ที่สามารถพบได้บนหน้าวิกิพีเดีย) คือ "ถ้าและมีภัณฑ์ตัวเลขเกี่ยวกับพีชคณิตและเราใช้ลอการิทึมภัณฑ์ใด ๆ ของแล้วเป็นทั้งเหตุผลหรือเยี่ยม." นอกจากนี้ยังง่ายในการตรวจสอบโดยการสนทนาของทฤษฎีบทและการตั้งค่าและด้วยเหตุนี้ $\log_2 A$ $\alpha$ $\gamma$ $\alpha$ $(\log \gamma)/(\log \alpha) = \log_\alpha \gamma$ $\alpha^\beta = \gamma$ แกมมา $\beta = \log_\alpha \gamma$

</edit>

สุดท้ายพิจารณาสิ่งที่เกิดขึ้นเมื่อเราลองอัลกอริทึมการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกจาก SS บน SP เนื่องจากเราใช้ผลิตภัณฑ์มากกว่าผลรวมจำนวนที่เกี่ยวข้องนั้นเพิ่มขึ้นอย่างมหาศาลและความแม่นยำทางคณิตศาสตร์ที่ต้องการโดยพลันก็กลายเป็นปัจจัยในเวลาทำงาน นี่คือเหตุผลที่อัลกอริทึมไม่สามารถแก้ปัญหาอินสแตนซ์ SP ได้อย่างรวดเร็วแม้ว่าตัวเลขจะไม่พร้อมกัน

— อเล็กซ์สิบบริงค์
แหล่งที่มา

สิ่งนี้นำไปสู่กรณีพิเศษที่น่าสนใจ สำหรับคลาสของตัวเลขใดที่บันทึกแสดงเป็น rationals และไม่ต้องการความแม่นยำไม่สิ้นสุด ในกรณีนี้ปัญหาจะใกล้เคียงกันและลดลงได้จริง ดูเหมือนว่าจะนำไปสู่อัลกอริธึมการประมาณ "ธรรมชาติ"

— vzn

ขอบคุณสำหรับคำตอบที่ยอดเยี่ยม! ฉันมีเพียงปัญหาเดียว - ฉันเข้าใจว่าทำไมการบันทึกจึงผิดกฎหมาย (ยกเว้นในกรณีที่บันทึกมีความยาวโพลี - ตามที่ vzn ชี้ให้เห็น) แต่ฉันก็ยังไม่แน่ใจเกี่ยวกับกฎหมายว่าด้วยการไปจาก SS ถึง SP ผ่านการยกกำลัง WRT ไปจาก SS ไปยัง SP ตามที่คุณกล่าวถึง (ผ่านการยกกำลัง) เราไม่พบปัญหาต่อไปนี้: จำนวนบิตในอินสแตนซ์อินพุตของ

คือ

และจำนวนบิตใน อินสแตนซ์ของ

คือ

I_{S S}

$I_{SS}$

O (n \log x)

$O(n\log x)$

I_{S P}

$I_{SP}$

O (n x)

$O(nx)$ )นี่คือการระเบิดแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล ดังนั้นมันยังคงถูกกฎหมายหรือไม่ ถ้าเป็นเช่นนั้นทำไม

— RDN

@vzn, RDN: ฉันแก้ไขในลักษณะเมื่อลอการิทึมยอดเยี่ยม เกี่ยวกับการลดความเร็วในการระเบิดขึ้นอยู่กับคำจำกัดความของคุณของ 'กฎหมาย': การลดถูกต้องแต่ประสิทธิภาพของมันไม่ได้เป็นพหุนามและด้วยเหตุนี้จึงไม่ได้พูดอะไรเกี่ยวกับ NP-hardness ดังนั้นจึงไม่ใช่การลดเวลาโพลีที่ถูกต้องแต่เป็นการลดที่ถูกต้อง (โดยไม่มีตัวระบุ)

— อเล็กซ์สิบ Brink

ยังมีกรณีพิเศษที่ตัวเลขทั้งหมดอยู่ในรูปแบบ

, แต่ละ

c^{n_{i}}

$c^{n_i}$

มีเหตุผลสำหรับการใด ๆ

ไม่เพียง แต่

อัลกอริทึมการประมาณที่ฉันคิดว่าอาจจะพบ

ซึ่งการแปลงค่าเป็น "ฐาน" นั้นคือ "ปิด" เป็นค่าดั้งเดิม

n_{i}

$n_i$

c

$c$

c = 2

$c=2$

c

$c$

— vzn

คำอธิบายที่แท้จริงคือปัญหาเซตย่อยของผลิตภัณฑ์นั้นสมบูรณ์แบบโดยสมบูรณ์จากการลดลงของปัญหาที่เกิดขึ้นอย่างสมบูรณ์เช่นปัญหาที่แน่นอน 3 ชุด ในการลด "strong" ดังกล่าวจำนวนเต็มอินพุทจะถูก จำกัด ด้วยฟังก์ชันพหุนามในจำนวนเต็มในอินสแตนซ์ผลลัพธ์ของปัญหาผลิตภัณฑ์เซตย่อย

ดังกล่าวลดลง "ความเชื่อ" เป็นไปไม่ได้จากปัญหาขอ NP-สมบูรณ์ใด ๆ ไปยังกลุ่มย่อยซำปัญหาเว้นแต่ Pเรามีอัลกอริทึมการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกเวลาพหุนามสำหรับการแก้ปัญหา Sum รวมถ้าจำนวนเต็มอินพุตถูกล้อมรอบด้วยพหุนาม $P=NP$

— Mohammad Al-Turkistany
แหล่งที่มา

ใช่ฉันเข้าใจแล้ว คำถามของฉันเกี่ยวกับสาเหตุที่ข้อสรุปที่ฉันทำไว้ก่อนหน้านี้ไม่ถูกต้อง (เช่นความเท่าเทียมกันของ SS และ SP)

— RDN

@rdn มีความรู้สึกไม่เท่าเทียมกันยกเว้นว่า P = NP

— Mohammad Al-Turkistany

ใช่ฉันเข้าใจแล้ว แต่ฉันต้องการที่จะรู้ว่าสิ่งที่ผิดปกติกับการลดลงของฉันในทิศทางใด

— RDN

คุณช่วยร่างคุณลดได้หรือไม่?

— Mohammad Al-Turkistany

I (S S) = ⟨ X, S ⟩

$I(SS)=\langle X, S \rangle$

I (S P) = ⟨ Y, P ⟩

$I(SP)=\langle Y, P \rangle$

I (S S)

$I(SS)$

I (S P)

$I(SP)$

P = e^{S}

$P = e^S$

Y_{i} = e^{X_{i}}

$Y_i = e^{X_i}$

S

$S$

P = e^{S}

$P = e^S$

I (S P)

$I(SP)$

I (S S)

$I(SS)$

S = l o g (P)

$S = log(P)$

X_{i} = \log (Y_{i})

$X_i = \log(Y_i)$

P

$P$

S = \log (P)

$S = \log(P)$