จัดเรียงโดยใช้กล่องดำ

สมมติว่าเราต้องการที่จะเรียงลำดับรายการของตัวเลขจริง สมมติว่าเราได้รับกล่องดำที่สามารถเรียงจำนวนจริงได้ทันที เราจะได้ประโยชน์มากแค่ไหนเมื่อใช้กล่องดำนี้?$S$$n$$\sqrt n$

ตัวอย่างเช่นเราสามารถเรียงลำดับหมายเลขด้วยการโทรไปยังกล่องดำได้หรือไม่ อัลกอริทึมที่ดีที่สุดที่ฉันพบใช้การเรียกไปยังกล่องดำ แต่ฉันไม่สามารถปรับปรุงได้อีก นี่คืออัลกอริทึมของฉันซึ่งคล้ายกับการผสานเรียง:$O(\sqrt n)$$n$

พาร์ทิชันแรกรายการเข้าไปในรายการมีประมาณขนาด จากนั้นใช้เรียกไปยังกล่องดำเพื่อเรียงลำดับรายการเหล่านี้ ท้ายที่สุดผสานรายการที่เรียงลำดับโดยใช้กล่องดำดังนี้:$S$ s1,s2, . . ,s$\sqrt n$$s_1, s_2, ..., s_{\sqrt n}$$\sqrt n$$\sqrt n$

ใส่องค์ประกอบที่เล็กที่สุดของรายการในรายการใหม่จากนั้นเรียกกล่องดำเพื่อเรียงลำดับ จำนวนใน (ครั้งแรกและองค์ประกอบที่เล็กที่สุดของ ) จะเป็นจำนวนที่น้อยที่สุดในSเราสามารถวางไว้ในตำแหน่งแรกของรายการเอาท์พุท สมมติว่าองค์ประกอบที่ได้รับการแต่งตั้งจากเราแทนที่ด้วยองค์ประกอบที่เล็กที่สุดที่สองของรายการจัดเรียงและทำงานอีกครั้งกล่องสีดำที่มันจะคำนวณสมาชิกที่เล็กที่สุดที่สองของS เราดำเนินการต่อไปจนถึงองค์ประกอบทั้งหมดจะถูกจัดเรียง จำนวนกล่องดำทั้งหมดที่เรียกใช้สำหรับส่วนนี้คือL [ 1 ] L S s J L [ 1 ] s J S n - $L$$L[1]$$L$$S$
$s_j$$L[1]$$s_j$$S$
$n - \sqrt n$. ดังนั้นโดยรวมจำนวนของสายจะn$n$

ในทางกลับกันดูเหมือนว่าเราควรจะได้รับขอบเขตล่างโดยใช้ขอบเขตล่างบนการเปรียบเทียบจำนวนที่จำเป็นสำหรับการเรียงลำดับดังนี้: เราสามารถใช้กล่องดำโดยใช้การเปรียบเทียบ ถ้าเราสามารถแก้ปัญหาด้วยการเรียกไปที่กล่องดำและรวมกันเป็นเส้นตรงเวลาเราสามารถจัดเรียงจำนวนจริงด้วยการเปรียบเทียบซึ่งเป็นไปไม่ได้o($\sqrt n \lg \sqrt n = \frac{1}{2} \sqrt n \lg n$no(nlgn$o(\sqrt n)$$n$$o(n \lg n)$

ฉันเดาได้ว่าเราสามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นขอบเขตที่ต่ำกว่าสำหรับจำนวนการโทรไปยังกล่องดำเนื่องจากการเปรียบเทียบจำนวนมากที่ใช้ในกล่องดำจะถูกแชร์และดังนั้นจึงมีการอธิบายในอาร์กิวเมนต์ของเรา$\Omega(n)$

ปรับปรุง:ตามที่โพสต์อื่น ๆ แนะนำก็สามารถทำได้เช่นกัน$\sqrt n \lg n$

สามารถเรียงลำดับด้วยการเรียกไปยังกล่องดำและไม่มีการเปรียบเทียบ$O(\sqrt n\log n)$

ก่อนอื่นให้พิจารณาปัญหาการแบ่งพาร์ทิชันแบบสมดุลต่อไปนี้: กำหนดองค์ประกอบ (โดยที่ ) แบ่งพาร์ติชันออกเป็นสองกลุ่มขนาดเล็กที่สุดอย่างน้อยประมาณดังนั้น องค์ประกอบทั้งหมดในกลุ่มแรกนั้นเล็กกว่าองค์ประกอบทั้งหมดในกลุ่มที่สอง สามารถทำได้ด้วยการโทรไปที่กล่องดำ (ฉันจะอธิบายในภายหลัง) จากนั้นใช้ quicksort กับอัลกอริทึมการแบ่งพาร์ติชันนี้:A [ 1 .. m ] $m$$A[1..m]$m/4O(m/$\sqrt n \le m \le n$$m/4$$O(m/\sqrt n)$

def qsort(A[1..m]):
   if m < sqrt(n): sort A with one call to the black box
   else:
     Partition A[1..m] into two groups as described above.
     Recursively qsort the first group.
     Recursively qsort the second group.

สมมติว่าแต่ละขั้นตอนของพาร์ติชันใช้การเรียกไปที่กล่องดำอัลกอริทึมข้างต้นที่ได้รับอินพุตจะทำให้การโทรไปยังกล่องดำ เนื่องจากแผนผังการเรียกซ้ำมีความลึกและแต่ละระดับของต้นไม้มีจำนวนโทรไปที่กล่องดำA[1 ..n]O($O(m/\sqrt n)$$A[1..n]$O(บันทึกn)O(n/$O(\sqrt n\log n)$$O(\log n)$$O(n/\sqrt n) = O(\sqrt n)$

ทำขั้นตอนการแบ่งพาร์ติชันดังนี้:

def partition(A[1..m]):  (where sqrt(n) <= m <= n)
   Divide A into m/sqrt(n) groups of size sqrt(n) each.
   Sort each group with one call to the black box per group.
   Sort the medians of the groups with one call to the black box.
   (Note the number of groups is less than sqrt(n), because m <= n.)
   Let X be the median of the medians.
   Partition all m elements around X, using the black box as follows:
      For each group G, let Y be its median:
        Call the black box once on (G - {Y}) union {X}.
        (This gives enough information to order all elts w.r.t. X.)

ฉันคิดว่าคำถามของคุณได้รับการแก้ไขในกระดาษของ Beigel และ Gill "การคัดแยกวัตถุโดยใช้ k-sorter " จากปี 1990 และบทคัดย่อของบทความกล่าวว่า:

k-sorter เป็นอุปกรณ์ที่เรียงลำดับวัตถุ k ในเวลาหน่วย ความซับซ้อนของอัลกอริทึมที่ใช้ k-sorter นั้นถูกกำหนดเป็นจำนวนแอปพลิเคชันของ k-sorter ในการวัดนี้ความซับซ้อนของการเรียงวัตถุ n อยู่ระหว่างและ4nlog$\frac{n \log n}{k \log k}$ , คำสั่งซื้อสูงสุดถึง n และ k$\frac{4n \log n}{k \log k}$

$O(\sqrt{n}\log n)$$n$

$k$$\sqrt{n}$$2(n/k)^2$$k$$2n/k$

BlockBubbleSort(X[0..n-1], k):
   m = floor(n/k)
   for i = 1 to m
      for j = 0 to m-1
          BlackBoxSort(X[j*k .. (j+1)*k-1])
      for j = 0 to m-1
          BlackBoxSort(X[j*k + k/2 .. (j+1)*k + k/2 - 1])

$n=18$$k=4$$k$

$k/2$$k$

$O((n/k)^2)$$O((n/k)\log^2(n/k)) = O(\sqrt{n}\log^2 n)$$O((n/k)\log (n/k)) = O(\sqrt{n}\log n)$