ปัญหาจะเป็นอย่างไรใน NP, NP-hard และไม่สมบูรณ์ NP?

เป็นเวลานานที่สุดที่ฉันคิดว่าปัญหาคือปัญหา NP-complete ถ้ามันเป็นทั้ง (1) NP-hard และ (2) อยู่ใน NP

อย่างไรก็ตามในบทความที่มีชื่อเสียง"วิธี ellipsoid และผลที่ตามมาในการเพิ่มประสิทธิภาพ combinatorial"ผู้เขียนอ้างว่าปัญหาเลขเศษส่วนสีเป็นของ NP และเป็น NP-hard แต่ยังไม่ทราบว่าจะสมบูรณ์ NP บนหน้าสามของกระดาษผู้เขียนเขียน:

... เราทราบว่าปัญหาการบรรจุจุดยอดของกราฟอยู่ในความหมายเทียบเท่ากับปัญหาจำนวนสีรงค์และแสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับปรากฏการณ์ที่ว่าปัญหาหลังนี้เป็นตัวอย่างของปัญหาในซึ่งเป็นN P -hard แต่ (ตอนนี้) ไม่เป็นที่รู้จักว่าเป็นN P- ที่สมบูรณ์$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$

เป็นไปได้อย่างไร? ฉันไม่มีรายละเอียดเล็กน้อยในคำจำกัดความของ NP-complete หรือไม่

ดูเหมือนว่าปัญหาจะเป็นประเภทของการลดที่ใช้สำหรับแต่ละคนและพวกเขากำลังใช้ที่แตกต่างกัน: พวกเขาอาจหมายถึง " ฮาร์ดการลด WRT Cook" และ " N P - การลด WRT Karp ที่สมบูรณ์"$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$

บางครั้งผู้คนใช้รุ่นการลดลงของ Cook- -nessness เพราะมันใช้กับปัญหาการคำนวณทั่วไปได้มากกว่า (ไม่ใช่แค่ปัญหาการตัดสินใจ) แม้ว่าคำจำกัดความดั้งเดิมของทั้งN P -nessness และN P- ความสมบูรณ์ใช้การลด Cook (การลดพหุนามพหุนามเวลา) มันกลายเป็นเรื่องแปลกที่จะใช้การลด Cook สำหรับN P - ความสมบูรณ์ (เว้นแต่จะมีการระบุไว้อย่างชัดเจน) ฉันไม่จำกระดาษล่าสุดที่ใช้N P- ที่สมบูรณ์เพื่อหมายถึงN P-การลด wrt Cook ที่สมบูรณ์ (ในฐานะที่เป็นหมายเหตุด้านข้างปัญหาแรกที่จะพิสูจน์ให้N $\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$- ยากคือ TAUT ไม่ใช่ SAT และความสมบูรณ์ของ SAT นั้นเป็นนัยในการพิสูจน์)

ตอนนี้ถ้าคุณดูที่ส่วนที่ 7 ของกระดาษด้านล่างของหน้า 195 คุณจะเห็นว่าพวกเขาหมายถึง -hardness wrt Turing Reduction$\mathsf{NP}$

ดังนั้นสิ่งที่พวกเขาหมายถึงที่นี่คือปัญหาอยู่ในยากสำหรับการลดN P wrt Cook แต่ไม่ทราบว่ายากสำหรับการลดN P wrt Karp (การลดพหุนามแบบหลายครั้ง)$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$