พิสูจน์ใน

ในการพูดคุยโดย Razborov มีการโพสต์ข้อความแปลก ๆ

หากแฟยากแล้วทฤษฎีบทเล็ก ๆ น้อย ๆ ของแฟร์มาต์ไม่สามารถพิสูจน์ได้ใน$S_{2}^{1}$ 2

คืออะไร$S_{2}^{1}$และทำไมพิสูจน์ปัจจุบันไม่ได้อยู่ใน$S_{2}^{1}$ ?

$S^1_2$เป็นทฤษฎีของเลขคณิต จำกัด ที่เป็นทฤษฎีซึ่งเป็นจริงได้โดยการที่อ่อนแออย่างรุนแรง จำกัด คีมาของการเหนี่ยวนำของที่อาโน่คณิตศาสตร์ มันเป็นหนึ่งในทฤษฎีที่กำหนดโดยแซมจุมพิตของเขาในวิทยานิพนธ์อ้างอิงทั่วไปอื่น ๆ รวมถึงบทของHájekและPudlákของMetamathematics ของเลขคณิตลำดับแรก, Krajicek ของ“เลขคณิตขอบเขตตรรกะประพจน์และทฤษฎีความซับซ้อน” หอมของบทที่สองของคู่มือ ของการพิสูจน์ทฤษฎีและคุ้กและเหงียนฐานรากตรรกะของความซับซ้อนหลักฐาน

คุณสามารถคิดว่าเป็นทฤษฎีของเลขคณิตที่มีการเหนี่ยวนำเฉพาะสำหรับภาคแสดงเวลาพหุนาม โดยเฉพาะอย่างยิ่งทฤษฎีไม่ได้พิสูจน์ว่าการยกกำลังนั้นเป็นฟังก์ชั่นทั้งหมดทฤษฎีสามารถพิสูจน์ได้ว่ามีเพียงวัตถุขนาดพหุนามเท่านั้น (พูดอย่างหลวม ๆ )$S^1_2$

ทุกบทพิสูจน์ที่เป็นที่รู้จักของทฤษฎีบทแฟร์มาต์ใช้ประโยชน์จากวัตถุขนาดเท่ากันหรือพวกเขาพึ่งพาการนับจำนวนชุดขอบเขตที่แน่นอน (ซึ่งอาจไม่แน่นอนโดยสูตร จำกัด ขอบเขตเช่นในลำดับชั้นพหุนามเนื่องจากทฤษฎีบทของโทดะ)

ผลลัพธ์ของ FLT, และแฟคตอริ่งเกิดขึ้นจากกระดาษของKrajíčekและPudlák ผลที่ตามมาบางประการของการคาดคะเนการเข้ารหัสสำหรับS 1 2และ EFและในความคิดของฉันมันค่อนข้างทำให้เข้าใจผิด อะไร Krajicek และPudlákพิสูจน์ก็คือว่าถ้าแฟ (ที่จริง IIRC รัฐที่พวกเขามันสำหรับอาร์เอสแทนแฟ แต่ก็เป็นที่รู้จักกันว่าคล้ายงานอาร์กิวเมนต์สำหรับแฟเกินไป) เป็นเรื่องยากสำหรับเวลาพหุนามสุ่มแล้วS 1 2ไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าคำสั่งที่ จำนวนทุกcoprime ไปยังหมายเลขที่สำคัญหน้ามี จำกัด ตัวแทนโมดูโลพีคือว่ามีอยู่kดังกล่าวว่า$S^1_2$$S^1_2$$S^1_2$$a$$p$$p$$k$ )$a^k\equiv1\pmod p$

เป็นความจริงที่ว่านี่เป็นผลมาจาก FLT แต่ในความเป็นจริงมันเป็นคำสั่งที่อ่อนแอกว่า FLT มาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งข้อความนี้ตามมาจากหลักการของนกพิราบที่อ่อนแอซึ่งเป็นที่รู้กันว่าสามารถพิสูจน์ได้ในระบบย่อยของเลขคณิตที่มีขอบเขต (แม้ว่าจะแข็งแกร่งกว่า ) ดังนั้น Krajicek และPudlákของการโต้แย้งแสดงให้เห็นว่าS 1 2ไม่ได้พิสูจน์หลักการซุกอ่อนแอเว้นแต่แฟเป็นเรื่องง่ายและเป็นเช่นมีการแยกตามเงื่อนไขของS 1 2จากระดับของลำดับชั้นคณิตศาสตร์ล้อมรอบอีกบอกว่าT 2 2$S^1_2$$S^1_2$$S^1_2$$T^2_2$

ในทางตรงกันข้าม FLT ที่เกิดขึ้นจริงดูเหมือนจะไม่สามารถพิสูจน์ได้ในการคำนวณทางคณิตศาสตร์เต็มรูปแบบแต่สิ่งนี้ไม่เกี่ยวข้องกับการเข้ารหัส คุณสามารถค้นหาสนทนาที่เกี่ยวข้องบางอย่างในกระดาษกลุ่มศาสนาคริสต์และสารตกค้างกำลังสองในการคำนวณที่อ่อนแอ$S_2=T_2$