เมทริกซ์ความแข็งแกร่งและการใช้เมทริกซ์ที่มีความแข็งแกร่งต่ำ

เมทริกซ์ระดับประมาณคร่าว ๆว่าจะเข้มงวดหากนำอันดับลงมาที่ต้องเปลี่ยนอย่างน้อยของรายการสำหรับบาง0 $n$ $\frac{n}{2}$ $n^{1+\epsilon}$ $\epsilon > 0$

หาก matrixแข็งตัวโปรแกรมประมวลผลแบบเส้นตรงที่เล็กที่สุด (คือเวกเตอร์ขนาด ) เป็นขนาดเชิงเส้นตรงสุดหรือมีความลึกลอการิทึมมาก $n \times n$ $A$ $Ax$ $x$ $n$

มีการพูดคุยกับข้อความข้างต้นหรือไม่?

กล่าวอีกนัยหนึ่งมีการใช้ในการฝึกอบรมความแข็งต่ำที่ไม่น่ารำคาญและไม่ชัดเจนในระดับเต็มใน TCS?

มีความเชื่อในเรื่องของความแข็งแกร่งสำหรับการฝึกอบรมที่มีอันดับต่ำกว่า (พูดสำหรับบางคง )? $\frac{n}{c}$ $c$

cc.complexity-theory

— T ....
แหล่งที่มา

+1, ดีที่ได้เห็นคำถามเกี่ยวกับความแข็งแกร่งที่นี่, หัวข้อขั้นสูง, แต่มันไม่ชัดเจนนัก การสนทนาของคำสั่งจะเป็นสิ่งที่ชอบถ้ามีขนาดเล็กที่สุดโปรแกรมเส้นตรงคำนวณ

เป็นทั้งขนาด superlinear หรือความลึก superlogarithmic แล้ว

เมทริกซ์แข็ง ขวา? แต่ดูเหมือนว่าจะแตกต่างจากคำถามสุดท้ายเกี่ยวกับเมทริกซ์ที่มีความแข็งแกร่งต่ำและไม่ชัดเจน ดูเหมือนว่าความแข็งแกร่งของเมทริกซ์ส่วนใหญ่ไม่ว่าจะต่ำหรือสูงนั้นไม่สำคัญหรือชัดเจน ... มีเมทริกซ์ที่มีประโยชน์มากมายที่มีความแข็งแกร่งต่ำ ... ไม่มีเมทริกซ์ที่มีความแข็งแกร่งสูงแบบสุ่มสร้างขึ้น!

A x

$A x$

n \times n

$n \times n$

— vzn

A

$A$

A = B + C

$A=B+C$

B

$B$

C

$C$

B

$B$

C

$C$

A

$A$

อาจจะเป็นครั้งแรกที่ดีที่จะขอตัวอย่างของเมทริกซ์ที่มีความแข็งแกร่งต่ำอย่างเห็นได้ชัด

— Sasho Nikolov

@ vzn อีกวิธีหนึ่งในการพูดคุยคือ "ทำเมทริกซ์ความแข็งแกร่งต่ำมีวงจรเล็กเชิงเส้น" คำตอบของคุณเป็นไปในทิศทางตรงกันข้าม (ไม่ใช่คำที่เกี่ยวกับการใช้งานของการเรียงลำดับที่เข้มงวดน้อยกว่า -> มีประสิทธิภาพมากขึ้น) ดังนั้น -1

— Sasho Nikolov

@MCH ดีจุด อะไรที่ดีไปกว่าเรื่องเล็กน้อย? คุณกำลังทำประเด็นที่น่าสนใจฉันจะเปลี่ยนคำถามเล็กน้อย

— T ....

-3

หากไม่มีคำอธิบายเพิ่มเติมให้ลองทำ / ลองร่างคำตอบ ความแข็งแกร่งของเมทริกซ์มีการเชื่อมต่ออย่างลึกซึ้งกับคำถามพื้นฐานใน TCS / ทฤษฎีความซับซ้อนรวมถึงขอบเขตล่างของวงจร [1] และด้วยเหตุนี้การแยกระดับความซับซ้อนและทฤษฎีการเข้ารหัส [2] เช่นเดียวกับพื้นที่อื่น ๆ [5] คือแบบสำรวจสไลด์ที่ดี

คำว่า "ต่ำ" และ "สูง" ในการอ้างอิงถึงความแข็งแกร่งของเมทริกซ์ถูกนำมาใช้อย่างไม่เป็นทางการและไม่ได้อยู่ในความหมายทางเทคนิคที่กำหนดไว้อย่างแม่นยำ [ถึงแม้ว่าฟรีดแมนจะนิยามความแข็งแกร่ง "แข็งแกร่ง" [6]] การฝึกแบบสุ่มนั้นเป็นที่ทราบกันดีว่ามีความแข็งแกร่งสูง แต่โดยทั่วไปแล้วมันเป็นปัญหาแบบเปิดอายุ 3.5 ทศวรรษในพื้นที่นี้เพื่อสร้างเมทริกซ์ใด ๆ ที่มีความแข็งแกร่งสูง

คำถามไม่ได้นิยาม / อธิบายเพิ่มเติมเกี่ยวกับคำอัตนัยว่า "ไม่สำคัญ" หรือ "ไม่สนใจ" และจะมีอิสระในที่นั้น

ในพื้นที่นี้มีงานวิจัยหลายชิ้นที่ศึกษาถึงความแข็งแกร่งของเมทริกซ์ Hadamardที่มีการใช้งาน / แอปพลิเคชันในทฤษฎีการเข้ารหัสและที่อื่น ๆ

มันดูยุติธรรมที่จะบอกว่าผลที่ได้นั้นมีความแข็งแกร่งสูงเกินกว่าเกณฑ์ที่นำไปสู่ "ทฤษฎีใหม่ที่ซับซ้อนในทฤษฎีความซับซ้อน" แต่สิ่งที่รู้จักกันดีที่สุดในการฝึกอบรม Hadamard ไม่เพียงพอ [3] แต่สิ่งเหล่านี้ไม่สามารถพิสูจน์ได้อย่างชัดเจนว่าพวกเขามีความแข็งแกร่งที่ "ต่ำ" มันเป็นเรื่องเดียวกันกับVandermonde เมทริกซ์ [ยังใช้ในการเข้ารหัสทฤษฎี] พิจารณาโดย Lokam [4]

ดังนั้นเพื่อสรุปเกี่ยวกับสิ่งที่กล่าวได้คือ "ขอบเขตความแข็งแกร่งต่ำกว่าอ่อน" ได้รับการพิสูจน์ในเมทริกซ์บางตัวรวมถึงเมทริกซ์ Hadamard / Vandermonde

นอกจากนี้ยังไม่ปรากฏว่าเป็นการทดลองเชิงตัวเลขการประมาณการณ์หรืออัลกอริธึมที่เผยแพร่ในพื้นที่

[1] Boolean Function Complexity โดย Stasys Jukna, 2011, วินาที 12.8 "เมทริกซ์แข็งต้องใช้วงจรขนาดใหญ่"

[2] เกี่ยวกับความแข็งแกร่งของเมทริกซ์และรหัสที่สามารถแก้ไขได้ภายในเครื่อง Zeev Dvir

[3] ปรับปรุงขอบเขตที่ต่ำกว่าในการเยาะเย้ยของเมทริกซ์ Hadamard Kashin / Razborov

[4] ความแข็งแกร่งของ Vandermonde Matrices Lokam

[5] มาห์ Cher Cherchi เมทริกซ์พูดความแข็งแกร่ง

[6] เจฟรีดแมน หมายเหตุเกี่ยวกับความแข็งแกร่งของเมทริกซ์ Combinatorica, 13 (2); 235-239, 1993

— vzn
แหล่งที่มา