เราควรสอนคำจำกัดความของอัตราการเติบโตเชิงซีมโทติค

35

เมื่อเราทำตามตำรามาตรฐานหรือประเพณีส่วนใหญ่เราจะสอนนิยามของสัญกรณ์โอ๋ใหญ่ในการบรรยายสองสามครั้งแรกของคลาสอัลกอริทึม:

f = O (g) iff (\exists c > 0) (\exists n_{0} \geq 0) (\forall n \geq n_{0}) (f (n) \leq c \cdot g (n)) .

$f = O(g) \mbox{ iff } (\exists c > 0)(\exists n_0 \geq 0)(\forall n \geq n_0)(f(n) \leq c \cdot g(n)).$ บางทีเราอาจให้รายการทั้งหมดพร้อมตัวปริมาณทั้งหมด:

$f = o(g) \mbox{ iff } (\forall c > 0)(\exists n_0 \geq 0)(\forall n \geq n_0)(f(n) \leq c \cdot g(n))$
$f = O(g) \mbox{ iff } (\exists c > 0)(\exists n_0 \geq 0)(\forall n \geq n_0)(f(n) \leq c \cdot g(n))$
$f = \Theta(g) \mbox{ iff } (\exists c > 0)(\exists d > 0)(\exists n_0 \geq 0)(\forall n \geq n_0)(d \cdot g(n) \leq f(n) \leq c \cdot g(n))$
$f = \Omega(g) \mbox{ iff } (\exists d > 0)(\exists n_0 \geq 0)(\forall n \geq n_0)(f(n) \geq d \cdot g(n))$
$f = \omega(g) \mbox{ iff } (\forall d > 0)(\exists n_0 \geq 0)(\forall n \geq n_0)(f(n) \geq d \cdot g(n))$ )

อย่างไรก็ตามเนื่องจากคำจำกัดความเหล่านี้ไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะทำงานด้วยเมื่อมันมาเพื่อพิสูจน์สิ่งที่เรียบง่ายเช่น $5 n \log^4 n + \sqrt{n\log n} = o(n^{10/9})$ ส่วนใหญ่ของเราได้อย่างรวดเร็วย้ายที่จะแนะนำ "เคล็ดลับของขีด จำกัด"

$f = o(g)$ $\lim_{n \rightarrow \infty} f(n)/g(n)$ $0$
$f = O(g)$ ถ้ามีอยู่และไม่ใช่ , $\lim_{n \rightarrow \infty} f(n)/g(n)$ $+\infty$
$f = \Theta(g)$ ถ้ามีอยู่และเป็นค่ามิได้ , $\lim_{n \rightarrow \infty} f(n)/g(n)$ $0$ $+\infty$
$f = \Omega(g)$ ถ้ามีอยู่และไม่ใช่ , $\lim_{n \rightarrow \infty} f(n)/g(n)$ $0$
$f = \omega(g)$ ถ้ามีอยู่และเป็น+ $\lim_{n \rightarrow \infty} f(n)/g(n)$ $+\infty$

คำถามของฉันคือ:

มันจะเป็นความสูญเสียที่ยิ่งใหญ่สำหรับการเรียนการสอนการเรียนระดับปริญญาตรีขั้นตอนวิธีการที่จะใช้เงื่อนไขขีด จำกัด เป็นจำกัดความของ , , ,และ ? นั่นคือสิ่งที่เราทุกคนใช้ท้ายที่สุดและดูเหมือนชัดเจนสำหรับฉันที่การข้ามคำจำกัดความของปริมาณทำให้ชีวิตของทุกคนง่ายขึ้น $o$ $O$ $\Theta$ $\Omega$ $\omega$

ฉันสนใจที่จะทราบว่าคุณได้พบกรณีธรรมชาติที่น่าเชื่อถือซึ่งจำเป็นต้องใช้มาตรฐานจริงหรือไม่และถ้าไม่คุณมีข้อโต้แย้งที่น่าเชื่อถือที่จะรักษามาตรฐานล่วงหน้า $c,n_0$ $c,n_0$

ds.algorithms soft-question teaching

— slimton
แหล่งที่มา

1

แท็กควรเป็น "การสอน" แต่ฉันหาแท็กที่เกี่ยวข้องไม่ได้และฉันไม่ได้รับอนุญาตให้สร้างแท็กใหม่

— slimton

1

สิ่งนี้จะดูดซับปริมาณเข้าไปในคำจำกัดความของ epsilon-delta ข้อกังวลเดียวของฉันคือว่านักเรียน CS หลายคนยังไม่ได้ทำการวิเคราะห์ดังนั้นความเข้าใจในข้อ จำกัด จึงเป็นกลไกที่สำคัญ เพื่อให้พวกเขาสามารถคำนวณได้อย่างรวดเร็วแม้ว่าจะไม่ใช่เกมง่ายๆ

— ต่อ Vognsen

6

โปรดทราบว่าคำจำกัดความทั้งสองของ O () นั้นไม่เทียบเท่ากัน (ข้อแม้เดียวกันนี้ใช้กับΘ () และΩ ()) พิจารณากรณีที่ f (n) = 2n สำหรับคู่ n และ f (n) = 1 สำหรับคี่ n คือ f (n) = O (n) หรือไม่ ฉันชอบใช้ limsup แทน lim เพื่อที่ฉันจะสามารถพูดได้ว่า f (n) = Θ (n) ในกรณีนี้ (แม้ว่าคำจำกัดความของคุณจะไม่อนุญาตก็ตาม) แต่นี่อาจเป็นความชอบส่วนตัวของฉัน (และแม้แต่การฝึกฝนที่ไม่เป็นมาตรฐาน) และฉันไม่เคยสอนชั้นเรียนเลย

— Tsuyoshi Ito

2

@Tsuyoshi: ผมคิดว่าจุด "ขีด จำกัด เคล็ดลับ" ก็คือว่ามันเป็นเงื่อนไขที่เพียงพอ แต่ไม่จำเป็นสำหรับ() (สำหรับก็เป็นสิ่งจำเป็นด้วย) ตัวอย่างการสั่นของฟังก์ชันการสั่นไม่มีขีด จำกัด

O ()

$O()$

o ()

$o()$

— András Salamon

1

คุณไม่ควรแทนที่ symbol byในแต่ละคำจำกัดความและคุณสมบัติ? ฉันพบว่าการใช้รบกวนมากในฐานะนักเรียน

=

$=$

\in

$\in$

=

$=$

— Jeremy

13

ฉันชอบการสอนคำจำกัดความดั้งเดิมด้วยปริมาณ

IMO โดยทั่วไปมนุษย์มีปัญหาในการทำความเข้าใจกับสูตรและคำจำกัดความที่มีมากกว่าสองทางเลือกของปริมาณโดยตรง การแนะนำปริมาณใหม่สามารถชี้แจงความหมายของคำจำกัดความ ที่นี่สองปริมาณสุดท้ายหมายถึง "สำหรับ n ที่มีขนาดใหญ่พอทั้งหมด" การแนะนำปริมาณชนิดนี้สามารถช่วยได้

รูปภาพที่ฉันวาดเพื่ออธิบายแนวคิดเหล่านี้จับคู่ได้ดีกว่ากับตัวระบุปริมาณ

ฉันคิดว่าการลดความเรียบง่ายแบบ จำกัด นั้นมีประโยชน์สำหรับนักศึกษาวิศวกรรมที่สนใจเพียงการคำนวณอัตราการเติบโต แต่จะไม่เป็นประโยชน์สำหรับนักเรียนวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ ที่จริงแล้วการใช้การทำให้เข้าใจง่ายนี้อาจทำให้เกิดอันตรายมากกว่าดี

แนวคิดนี้คล้ายกับข้อเสนอแนะที่เราใช้กฎในการคำนวณอนุพันธ์ (ของชื่อพหุนาม, การยกกำลัง, ... , กฎลูกโซ่, ... ) แทนที่คำนิยามของ epsilon-delta ซึ่ง IMHO ไม่ใช่ความคิดที่ดี

— Kaveh
แหล่งที่มา

ความคิดการปกครองในที่สุดยังเป็นประโยชน์: IFF(n) ตอนนี้ IFF มี ST(x)

f (x) ≪ g (x)

$f(x) \ll g(x)$

\esits m \forall n > m f (n) < g (n)

$\esits m \forall n>m f(n) < g(n)$

f \in O (g)

$f \in O(g)$

c > 0

$c>0$

f (x) ≪ c g (x)

$f(x) \ll c g(x)$

— Kaveh

9

แก้ไข: การแก้ไขที่สำคัญในการแก้ไข 3

เนื่องจากฉันไม่เคยสอนในชั้นเรียนฉันไม่คิดว่าฉันสามารถเรียกร้องอะไรก็ได้อย่างมั่นใจเกี่ยวกับสิ่งที่เราควรสอน อย่างไรก็ตามนี่คือสิ่งที่ฉันคิดเกี่ยวกับมัน

มีตัวอย่างตามธรรมชาติที่ไม่สามารถใช้“ การ จำกัด เคล็ดลับ” ตามที่เขียนได้ ตัวอย่างเช่นสมมติว่าคุณใช้“ เวกเตอร์ที่มีความยาวผันแปรได้” (เช่นเวกเตอร์ <T> ใน C ++) โดยใช้อาร์เรย์ที่มีความยาวคงที่ที่มีขนาดเป็นสองเท่า (นั่นคือทุกครั้งที่คุณจะมีขนาดเกินกว่าอาร์เรย์ จัดสรรอาเรย์ให้ใหญ่ขึ้นเป็นสองเท่าในขณะนี้และคัดลอกองค์ประกอบทั้งหมด) ขนาดS ( n ) ของอาร์เรย์เมื่อเราเก็บnองค์ประกอบในเวกเตอร์เป็นอำนาจที่เล็กที่สุดของ 2 มากกว่าหรือเท่ากับn เราต้องการที่จะบอกว่าS ( n ) = O ( n ) แต่การใช้ "ขีด จำกัด เคล็ดลับ" ตามที่เขียนไว้เป็นคำจำกัดความไม่อนุญาตให้เราทำเช่นนั้นเพราะS ( n)) / nแกว่งไปแกว่งมาอยู่ในช่วง [1,2) เช่นเดียวกับΩ () และΘ ()

เป็นเรื่องที่ค่อนข้างแยกกันเมื่อเราใช้สัญลักษณ์เหล่านี้เพื่ออธิบายความซับซ้อนของอัลกอริทึมฉันคิดว่าคำจำกัดความของคุณของ) () บางครั้งไม่สะดวก (แม้ว่าฉันเดาว่าคำนิยามนั้นเป็นเรื่องธรรมดา) มันสะดวกกว่าที่จะนิยามว่าf ( n ) = Ω ( g ( n )) ถ้าหาก limsup f ( n ) / g ( n )> 0 นี่เป็นเพราะปัญหาบางอย่างมีความสำคัญน้อยมากสำหรับค่า n () เช่นปัญหาการขึ้นรูปที่สมบูรณ์แบบบนกราฟที่มีจำนวนคี่nของจุดยอด) เช่นเดียวกับΘ () และω ()

ดังนั้นฉันจึงพบว่าคำจำกัดความต่อไปนี้สะดวกที่สุดในการใช้เพื่ออธิบายความซับซ้อนของอัลกอริทึม: สำหรับฟังก์ชันf , g : ℕ→ℕ _{> 0} ,

f ( n ) = o ( g ( n )) ถ้าหากว่า limsup f ( n ) / g ( n ) = 0 (นี่เทียบเท่ากับ lim f ( n ) / g ( n ) = 0)
f ( n ) = O ( g ( n )) ถ้าหาก limsup f ( n ) / g ( n ) <∞
f ( n ) = Θ ( g ( n )) ถ้าหาก 0 <limsup f ( n ) / g ( n ) <∞
f ( n ) = Ω ( g ( n )) ถ้าหาก limsup f ( n ) / g ( n )> 0 (นี่เทียบเท่ากับf ( n ) ไม่ใช่ o ( g ( n ))
f ( n ) = ω ( g ( n )) ถ้าหาก limsup f ( n ) / g ( n ) = ∞ (นี่เทียบเท่ากับf ( n ) ไม่ใช่ O ( g ( n )))

หรือเทียบเท่า

f ( n ) = o ( g ( n )) ถ้าหากทุกๆc > 0 สำหรับขนาดใหญ่พอn , f ( n ) ≤ c ⋅ g ( n )
f ( n ) = O ( g ( n )) ถ้าหากว่าสำหรับบางc > 0 สำหรับขนาดใหญ่พอn , f ( n ) ≤ c ⋅ g ( n )
f ( n ) = Θ ( g ( n )) ถ้าหากf ( n ) = O ( g ( n )) และf ( n ) = Ω ( g ( n ))
f ( n ) = Ω ( g ( n )) ถ้าหากd > 0 สำหรับจำนวนn , f ( n ) ≥ d ⋅ g ( n )
f ( n ) = ω ( g ( n )) ถ้าหากทุกๆd > 0, สำหรับจำนวนn , f ( n ) ≥ d ⋅ g ( n )

แต่ฉันไม่รู้ว่านี่เป็นเรื่องธรรมดาหรือไม่ นอกจากนี้ฉันไม่ทราบว่าเหมาะสำหรับการสอนหรือไม่ ปัญหาคือบางครั้งเราต้องการนิยามΩ () โดย liminf แทน (เหมือนที่คุณทำในคำจำกัดความแรก) ตัวอย่างเช่นเมื่อเราพูดว่า“ความน่าจะเป็นของความผิดพลาดของอัลกอริทึมแบบสุ่มนี้คือ 2 ^{-Ω ( n )} ” เราไม่ได้หมายถึงว่าน่าจะเป็นข้อผิดพลาดที่ชี้แจงขนาดเล็กเพียงเพื่อเพียบหลาย n !

— Tsuyoshi Ito
แหล่งที่มา

ฉันยังใช้คำจำกัดความของ limsup แต่สำหรับนักเรียนที่ไม่ได้เห็น limsup (เกือบทั้งหมด) ฉันต้องขยายไปสู่ตัวระบุปริมาณที่ชัดเจนอยู่แล้ว

— Jeffε

@JeffE: ฉันยอมรับว่านักเรียนส่วนใหญ่ไม่ได้เห็นการ จำกัด การใช้ดังนั้นถ้าเราใช้การ จำกัด การ จำกัด การสำรองข้อมูลเราจำเป็นต้องใช้ปริมาณแทนในชั้นเรียน

— Tsuyoshi Ito

2

ปัญหาของตัวระบุปริมาณเป็นการยากที่จะจดจำและมองเห็นได้ ฉันชอบเพราะสามารถอธิบายได้ว่า "จุด จำกัด สูงสุด" คำอธิบายที่เป็นไปได้คือ: "มันเป็นเหมือนยกเว้นว่าจะทำงานเฉพาะเมื่อลู่ลำดับถ้าลำดับไม่ได้มาบรรจบตัวอย่างเช่นเพราะแกว่งอัลกอริทึมระหว่างรวดเร็วมากสำหรับบางคน.และช้าอื่น ๆแล้วเราจะใช้ จุด จำกัด สูงสุด "

l i m s u p

$limsup$

l i m

$lim$

l i m

$lim$

n

$n$

n

$n$

— Heinrich Apfelmus

จริงๆแล้วมีตัวอย่างจากธรรมชาติสำหรับอัลกอริธึมที่เวลาทำงานไม่แกว่งหรือไม่?

— Heinrich Apfelmus

2

@Heinrich: ฉันได้กล่าวถึงเวลาทำงานของอัลกอริทึมเพื่อค้นหาการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบของกราฟบนจุดยอด n แต่มันนับเป็นตัวอย่างที่เป็นธรรมชาติหรือไม่? ฉันได้เพิ่มอีกตัวอย่างหนึ่งซึ่งเวลาทำงานไม่ได้สั่น แต่ f (n) / g (n) ออสซิลเลต ตัวอย่างพูดเกี่ยวกับความซับซ้อนของพื้นที่ แต่ความซับซ้อนของเวลาในตัวอย่างเดียวกันมีคุณสมบัติเดียวกัน

— Tsuyoshi Ito

8

การใช้ข้อ จำกัด นั้นค่อนข้างสับสนเนื่องจาก (1) ความคิดที่ซับซ้อนมากขึ้น (2) มันไม่ได้ดึงดูด f = O (g) เป็นอย่างดี (อย่างที่เราเห็นในการสนทนาข้างต้น) ฉันมักจะพูดคุยเกี่ยวกับฟังก์ชั่นจากตัวเลข Natural (บวกอย่างเคร่งครัด) ไปยังหมายเลข Natural (ซึ่งพอเพียงสำหรับเวลาทำงาน) ข้ามสิ่งเล็ก ๆ น้อย ๆ จากนั้นคำจำกัดความที่กระชับและเหมาะสมสำหรับนักศึกษาชั้นปีที่ 1:

Dfn: f = O (g) ถ้าสำหรับ C สำหรับ n ทั้งหมดเรามี f (n) <= C * g (n)

— โนม
แหล่งที่มา

1

ครั้งแรกที่ฉันไม่ชอบคำจำกัดความนี้เพราะระบุ "all n" ปิดบังความจริงที่สำคัญว่าสัญกรณ์ O () เพียงแค่ใส่ใจเกี่ยวกับพฤติกรรมของฟังก์ชั่นสำหรับ n ขนาดใหญ่ อย่างไรก็ตามไม่ว่าเราจะเลือกคำจำกัดความใดฉันเดาว่าเราควรอธิบายข้อเท็จจริงนี้พร้อมคำจำกัดความ เมื่อคิดอย่างนั้นการระบุคำจำกัดความง่ายๆนี้ก็ค่อนข้างดี

— Tsuyoshi Ito

ในขณะที่สิ่งนี้จับสาระสำคัญฉันไม่ชอบว่าถ้าสำหรับทุก ,สำหรับทั้งหมดจนถึงและมิฉะนั้นแต่คำจำกัดความนี้ล้มเหลวในการจับความสัมพันธ์นี้ ดังนั้นเราจึงต้องเพิ่ม handwaving บางอย่างเกี่ยวกับฟังก์ชั่นที่มีความประพฤติดีในบางแง่มุม

f (n) = n

$f(n) = n$

n

$n$

g (n) = 0

$g(n) = 0$

n

$n$

N_{0}

$N_0$

g (n) = f (n) + 1

$g(n) = f(n)+1$

f = O (g)

$f=O(g)$

— András Salamon

2

ประเด็นของการพูดคุยเกี่ยวกับฟังก์ชั่นที่มีช่วงคือตัวเลขธรรมชาติ (ไม่รวม 0) นั้นแน่นอนว่าจะไม่เกิดปัญหากับ g (n) = 0

— โนม

1

@Warren Victor Shoup ในหนังสือของเขาเกี่ยวกับComputational Number Theoryใช้สัญกรณ์แทนในการวิเคราะห์เวลาทำงานซึ่งฉันพบว่าเรียบร้อย

l e n (a)

$len(a)$

\log a

$\log a$

— Srivatsan Narayanan

1

@Warren (ต่อ) นี่คือวิธีการที่เขาอธิบายว่า "ในการแสดงเวลาการทำงานของอัลกอริทึมในแง่ของการป้อนข้อมูลเรามักชอบที่จะเขียนมากกว่าเหตุผลหนึ่งก็คือความงาม:. เขียนเน้นความจริงที่ว่าเวลาทำงานเป็นหน้าที่ของความยาวบิตของเหตุผลอีกอย่างคือทางเทคนิค: สำหรับการประมาณการขนาดใหญ่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชั่นในโดเมนใด ๆ ความไม่เท่าเทียมกันที่เหมาะสมควรเก็บไว้ตลอดทั้งโดเมน มันไม่สะดวกในการใช้ฟังก์ชั่นเช่นซึ่งหายไปหรือไม่ได้รับการตอบรับจากอินพุตบางอย่าง "

a

$a$

l e n (a)

$len(a)$

\log a

$\log a$

l e n (a)

$len(a)$

a

$a$

O

$O$

\log

$\log$

— Srivatsan Narayanan

5

เมื่อฉันเรียนหลักสูตรพื้นฐานเราได้รับเป็นคำจำกัดความและอีกสิ่งหนึ่งเป็นทฤษฎีบท $\exists c,n_0 \dots$

ฉันคิดว่าอันแรกนั้นเป็นเรื่องธรรมชาติสำหรับคนจำนวนมากที่คิดว่าไม่ต่อเนื่องมากกว่าต่อเนื่องนั่นคือนักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ส่วนใหญ่ (จากประสบการณ์ของฉัน) นอกจากนี้ยังเหมาะกับวิธีที่เรามักจะพูดถึงสิ่งเหล่านั้นดีกว่า: "มีฟังก์ชันพหุนามระดับ 3 ซึ่งเป็นขอบเขตบนสำหรับนี้จนถึงปัจจัยคงที่" $f$

แก้ไข : คุณสามารถใกล้ชิดกับวิธีพูดนี้มากขึ้นถ้าคุณใช้คำจำกัดความนี้: (โปรดทราบว่าเชื่อมต่อคำจำกัดความนี้กับคำที่ได้รับตามปกติ) $f \in \mathcal{O}(g) :\Leftrightarrow \exists c,d > 0 \forall n \geq 0 : f(n) \leq c\cdot g(n) + d$ $d=f(n_0)$

สิ่ง จำกัด มีประโยชน์มากสำหรับการคำนวณคลาสความซับซ้อนนั่นคือด้วยปากกาและกระดาษ

ไม่ว่าในกรณีใดฉันคิดว่ามันมีประโยชน์มากสำหรับนักเรียนที่จะเรียนรู้ว่ามีคำจำกัดความที่เทียบเท่า (หวังว่า) พวกเขาควรจะตระหนักและเลือกความแตกต่างในกรณีที่ไม่มีคำจำกัดความที่ไม่เท่าเทียม

— ราฟาเอล
แหล่งที่มา

4

หลังจากศึกษาแนวคิดเหล่านี้เมื่อไม่กี่ปีที่ผ่านมาพวกเขาไม่ใช่คนที่ยากที่สุดที่จะเข้าใจในชั้นเรียนของฉัน (ตรงกันข้ามกับแนวคิดเช่นอุปนัย ขีด จำกัด และ limsups เป็นเพียง "ใช้งานง่าย" สำหรับผู้ที่คุ้นเคยกับแคลคูลัสในความคิดของฉัน แต่นักเรียนที่มีพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ดังกล่าวจะมีภูมิหลังทางทฤษฎีที่กำหนดอยู่แล้วเพื่อให้พวกเขาสามารถดำเนินการคัดเลือกที่ไม่ต่อเนื่อง

และที่สำคัญยิ่งกว่านั้นโปรดจำไว้ว่าในที่สุดนักเรียนของคุณจะไป (หวังว่า) เพื่ออ่านหนังสือเรียนทฤษฎี cs อื่น ๆ และบางทีอาจค้นคว้าเอกสารในวันหนึ่ง เช่นนี้จะเป็นการดีกว่าสำหรับพวกเขาที่จะรู้สึกสะดวกสบายกับสัญกรณ์มาตรฐานในทุ่งหญ้า ไม่มีอันตรายใด ๆ ที่จะให้คำจำกัดความทางเลือกแก่พวกเขาเช่นกันเมื่อพวกเขาได้หลอมรวมมาตรฐาน

— อาเมียร์
แหล่งที่มา

3

สำหรับการใช้เวลาที่น่าสนใจเกี่ยวกับเรื่องนี้ดูที่ดอน Knuth เขียนจดหมายอย่าง"แคลคูลัสผ่าน O สัญกรณ์" เขาสนับสนุนมุมมองย้อนกลับว่าควรสอนแคลคูลัสผ่านเครื่องหมาย 'A', 'O' และ 'o'

หมายเหตุ: เขาใช้สัญกรณ์ "A" เป็นขั้นตอนเบื้องต้นในการกำหนดสัญกรณ์ "O" มาตรฐาน ปริมาณคือของ (เช่น ) ถ้า . โดยเฉพาะอย่างยิ่งจะทำให้ความรู้สึกที่จะบอกว่าคือ(200) $x$ $A$ $y$ $x = A(y)$ $|x| \leq y$ $100$ $A(200)$

— Srivatsan Narayanan
แหล่งที่มา

1

คำจำกัดความของ Tsuyoshi Ito ดูไม่ถูกต้องนัก สำหรับโอเมก้าน้อยและโอเมก้าใหญ่คำจำกัดความควรใช้ liminf ไม่ใช่ limsup คำจำกัดความของ big-theta ต้องการทั้งขอบเขตที่ต่ำกว่าบน liminf และขอบเขตบนของ limsup
คำจำกัดความหนึ่งของ f (n) = O (g (n)) คือมีฟังก์ชันอื่น f '(n)> = f (n) เช่นนั้น Lim f' (n) / g (n) <อนันต์
ทำไมมือใหม่ถึงได้รับอนุญาตให้โพสต์คำตอบ แต่ไม่แสดงความคิดเห็น?

— วอร์เรน Schudy
แหล่งที่มา

1

สำหรับข้อ 1 ฉันหมายถึงการ จำกัด การใช้งานในทุกกรณีและเหตุผลได้อธิบายไว้ในวรรคที่สองของคำตอบของฉัน

— Tsuyoshi Ito

มันเป็นกลไกการบล็อกสแปมอย่างน่าเสียดาย

— Suresh Venkat

นอกจากนี้คุณสามารถใช้ลาเท็กซ์ในคำตอบของคุณ

— Suresh Venkat

1

ก่อนอื่นฉันพยายามพัฒนาให้นักเรียนมีสัญชาตญาณก่อนแสดงสมการ

"ผสานเรียงลำดับเทียบกับแทรกเรียงลำดับ" เป็นจุดเริ่มต้นที่ดี

จากนั้นต่อมาฉันพยายามแสดงทั้งสองวิธี นักเรียนที่อาศัยสัญชาตญาณมากกว่าชอบ ในขณะที่คนที่ต้องพึ่งพาคณิตศาสตร์ equasions พีชคณิต ฯลฯ พวกเขาชอบ " " คำจำกัดความ

f = O (g) iff (\exists c > 0) (\exists n_{0} \geq 0) (\forall n \geq n_{0}) (f (n) \leq c \cdot g (n)) .

$f = O(g) \mbox{ iff } (\exists c > 0)(\exists n_0 \geq 0)(\forall n \geq n_0)(f(n) \leq c \cdot g(n)).$

lim_{n \to \infty}

$\lim_{n \rightarrow \infty}$

อีกแง่มุมหนึ่งก็คือมันขึ้นอยู่กับโปรแกรมการศึกษาที่เป็นรูปธรรม IMHO ขึ้นอยู่กับวิชาก่อนหน้าหนึ่งคำจำกัดความจะเหมาะสมกว่า - ในขณะที่ IMHO ยังเป็นความคิดที่ดีที่จะแสดงทั้งสองและยอมรับวิธีแก้ปัญหาทั้งสองแบบ

— Grzegorz Wierzowiecki
แหล่งที่มา