โครงสร้างข้อมูลสำหรับการอัพเดตตามช่วงเวลาและการสอบถามจำนวนศูนย์

ฉันกำลังมองหาโครงสร้างข้อมูลที่จะรักษาตารางจำนวนเต็มขนาดและช่วยให้ดำเนินการต่อไปในเวลาn) $t$ $n$ $O(\log n)$

$\text{increase}(a,b)$ ซึ่งจะเป็นการเพิ่ม[b] $t[a],t[a+1],\ldots,t[b]$
$\text{decrease}(a,b)$ ซึ่งจะเป็นการลด[b] $t[a],t[a+1],\ldots,t[b]$
$\text{support}()$ ซึ่งส่งกลับจำนวนของดัชนีเช่นว่า0 $i$ $t[i]\neq 0$

คุณต้องสัญญาว่าการเรียกร้องให้ลดลงทุกสามารถจับคู่กับสายก่อนที่จะเพิ่มขึ้นด้วยพารามิเตอร์เดียวกัน B แอปพลิเคชันที่ฉันมีอยู่ในใจคืออัลกอริทึม sweepline เพื่อคำนวณในเวลาพื้นที่ของการรวมกันของ n ที่ได้รับสี่เหลี่ยมมุมฉาก $a,b$ $O(n\log n)$

ต้นไม้สี่ต้นจะมีขนาดดังนั้นจึงไม่ใช่วิธีแก้ปัญหา ต้นเฟนวิคหรือต้นช่วงมีรสชาติที่เหมาะสม แต่ฉันไม่เห็นวิธีที่จะขยายพวกเขาเพื่อรองรับการดำเนินการข้างต้น $\Theta(n^2)$

ds.data-structures cg.comp-geom

— Christoph Dürr
แหล่งที่มา

ต้นไม้เฟนวิคจะไม่ใช้สัญญาว่า "ทุกการเรียกเพื่อลดสามารถจับคู่กับการโทรก่อนหน้าเพื่อเพิ่มด้วยพารามิเตอร์เดียวกัน a, b" ดังนั้นอาจมีวิธีการแก้ปัญหาที่ง่ายกว่าโดยใช้สัญญานั้น

— Jeremy

เนื่องจากจำนวนอินพุตที่คุณมีได้มากที่สุด (คุณสามารถตรวจจับการซ้ำและไม่แทรกลงในโครงสร้างข้อมูล) เรายังคงได้รับประสิทธิภาพโดยใช้โครงสร้างข้อมูลการวัดต้นไม้ทั่วไป ดูcosy.sbg.ac.at/~ksafdar/data/courses/SeminarADS/…สไลด์ 47-52

n^{2}

$n^2$

O (\log n)

$O(\log n)$

— Chao Xu

Jérémieและ Chao Xu ขอบคุณสำหรับความคิดเห็นของคุณ ตอนนี้ฉันเข้าใจแล้วว่าต้นไม้ช่วงเวลาสามารถใช้เพื่อรักษาความยาวรวมของการรวมกลุ่มของช่วงเวลาที่เปลี่ยนแปลง นี่คือโครงสร้างข้อมูลที่น่ารักมากจริงๆ

— Christoph Dürr

สำหรับปัญหาโครงสร้างข้อมูลทั่วไปการค้นหาเวลาต้องใช้พื้นที่โดยที่คือขนาดของรายการ คู่ที่ใช้งานของพิกัด แต่แน่นอนสำหรับอัลกอริทึม sweeplineดังนั้นอวกาศจึงเป็นแบบเชิงเส้น ปัญหาคือยังคงเปิดให้บริการสำหรับโครงสร้างข้อมูลที่มีพื้นที่ดีกว่าเมื่อ(n)

\log (n^{2}) \in O (\log (n))

$\log(n^2)\in O(\log(n))$

O (p) \subset O (n^{2})

$O(p)\subset O(n^2)$

p

$p$

p \in O (n)

$p\in O(n)$

O (p)

$O(p)$

p \in ω (n)

$p\in\omega(n)$

— Jeremy

นี่คือลิงค์ที่ดีที่คุณสามารถทดสอบการใช้งานกับโซลูชั่นอื่น ๆ กับปัญหาเดียวกัน: spoj.com/OI/problems/NKMARS

— Erel Segal-Halevi

คำตอบ:

ใช้ต้นไม้เซกเมนต์ - พาร์ติชันแบบเรียกซ้ำของช่วงเป็นช่วงที่เล็กลง แต่ละช่วงเวลาของการดำเนินการอัพเดตของคุณสามารถแบ่งพาร์ติชันเป็นของช่วงในพาร์ติชันแบบเรียกซ้ำนี้ สำหรับแต่ละช่วง store: $[1,n]$ $[a,b]$ $O(\log n)$ $[x,y]$

จำนวนของช่วงที่ได้รับการเพิ่มขึ้นและลดลงไม่เช่นนั้นเป็นหนึ่งในช่วงที่เป็นที่แบ่งพาร์ติชัน $c(x,y)$ $[a,b]$ $[x,y]$ $[a,b]$
จำนวนของเซลล์ที่ไม่ครอบคลุมโดยชุดย่อยที่แบ่งพาร์ติชันของช่วงเวลาที่เป็นหรือต่ำกว่าในการเรียกซ้ำ $u(x,y)$ $[x,y]$

จากนั้นถ้าถูกแบ่งซ้ำเป็นและเรามี เพื่อให้เราสามารถอัปเดตแต่ละค่าในเวลาคงที่เมื่อข้อมูลอื่นสำหรับ การเปลี่ยนแปลงช่วง แต่ละแบบสอบถามการสนับสนุนสามารถตอบได้โดยดูที่n) $[x,y]$ $[x,z]$ $[z+1,w]$

u (x, y) = {\begin{cases} 0 & if c (x, y) > 0 \\ u (x, z) + u (z + 1, y) & otherwise \end{cases}

$u(x,y)=\begin{cases} 0&\text{if }c(x,y)>0\\ u(x,z)+u(z+1,y)&\text{otherwise} \end{cases}$

u (x, y)

$u(x,y)$

u (1, n)

$u(1,n)$

ในการดำเนินการเพิ่ม , แบ่งพาร์ติชันลงในช่วง , เพิ่มค่าสำหรับแต่ละช่วงเหล่านี้และใช้สูตรด้านบนเพื่อคำนวณสำหรับแต่ละช่วงเหล่านี้และแต่ละบรรพบุรุษของพวกเขา การดำเนินการลดลงจะเหมือนกันกับลดลงแทนการเพิ่มขึ้น $(a,b)$ $[a,b]$ $O(\log n)$ $c(x,y)$ $u(x,y)$

— David Eppstein
แหล่งที่มา

ฉันไม่คิดว่าฉันเข้าใจกระสุนนัดที่สองของคุณ ในทรีย่อยที่มีป้ายกำกับเน่าซึ่งเซลล์จะไม่ได้รับการคุ้มครองโดยการย่อยแบ่งพาร์ติชันของช่วงที่ ? ไม่ครอบคลุมช่วงทั้งหมดดังนั้นหรือไม่

[x, y]

$[x,y]$

[x, y]

$[x,y]$

[x, y]

$[x,y]$

u (x, y) = 0

$u(x,y) = 0$

— jbapple

ขึ้นอยู่กับว่าคุณเพิ่มการดำเนินการใด เริ่มแรกพวกมันทั้งหมดจะถูกค้นพบ แต่เมื่อคุณเพิ่มช่วงเวลาเล็ก ๆ ภายใน (หรือช่วงเวลาใด ๆ ที่เริ่มต้นหรือสิ้นสุดภายในหรือที่มีในพาร์ติชัน) จะลดลง

[x, y]

$[x,y]$

[x, y]

$[x,y]$

[x, y]

$[x,y]$

— David Eppstein

คุณยกตัวอย่างได้ไหม

— jbapple

สมมติว่าช่วงเวลาของคุณคือตัวเลข [1,8] มันแบ่งซ้ำเป็น [1,4], [4,8], จากนั้น [1,2], [3,4], [5,6] และ [7,8] จากนั้นช่วงหนึ่งองค์ประกอบทั้งหมด เริ่มแรกทุกอย่างจะถูกเปิดเผยทั้งหมด c [x, y] = 0 และแต่ละช่วงมี u = ความยาวของมัน แต่สมมติว่าคุณทำการเพิ่ม [2,6] ช่วงสูงสุด O (บันทึก n) ซึ่ง [2,6] สามารถจำแนกได้คือ [2,2], [3,4] และ [5,6] ดังนั้นเราจึงตั้งค่า c [x, y] สำหรับทั้งสาม ช่วงที่ 1 ตามสูตรในคำตอบของฉันนี่ทำให้ u [x, y] สำหรับสามช่วงนี้กลายเป็น 0. u [1,2] กลายเป็น 1, คุณ [1,4] กลายเป็น 1, u [ 5,8] = 2 และคุณ [1,8] = 1 + 2 = 3

— David Eppstein

คุณสามารถสนับสนุนและในและในเวลา $\text{increase}$ $\text{decrease}$ $O(\sqrt{n}\log n)$ $\text{support}$ $O(1)$ ความคิดที่สำคัญคือการทำลายขึ้นโต๊ะเป็นกลุ่มที่มีขนาด{n}) จากนั้นแต่ละการดำเนินการแก้ไข (หรือ ) ทำงานในกลุ่มมากที่สุดและมีเพียงกลุ่มที่ใกล้ถึงจุดสิ้นสุดของช่วง (และในสูตรของคุณ) ใช้เวลาเวลา $\Theta(\sqrt{n})$ $\text{increase}$ $\text{decrease}$ $O(\sqrt{n})$ $a$ $b$ $\omega(\log n)$

— jbapple
แหล่งที่มา

ทำไมไม่ใช้วิธีนี้ถึงขีด จำกัด แทนที่จะเก็บไว้ในที่เก็บเราสามารถสร้างทรีที่คล้ายกับนี้ได้: 1 / \ 2 3 / \ / \ 4 5 6 7 ซึ่งจากการอัพเดทคุณใช้สำหรับการดำเนินการทั้งหมด

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

O (\log n)

$O(\log{n})$

— S. Pek