อะไรคือความแตกต่างระหว่างลูกศรและวัตถุชี้แจงในหมวดหมู่ปิดคาร์ทีเซียน?

ในคาร์ทีเซียนปิดหมวดหมู่ ( CCC ) ที่มีอยู่ที่เรียกว่าวัตถุชี้แจงเป็นลายลักษณ์อักษร $B^A$ เมื่อ CCC ถือเป็นรูปแบบของการให้เพียงแค่พิมพ์ $\lambda$ แคลคูลัสวัตถุชี้แจงเช่น $B^A$ ลักษณะพื้นที่ฟังก์ชั่นจากประเภทประเภทBแนะนำให้ใช้ลูกศรชี้แจงแทนวัตถุที่เรียกว่า $A$ $B$ และกำจัดโดยลูกศรที่เรียกว่า (ซึ่งน่าเสียดายที่เรียกว่าในตำรามากที่สุดในหมวดหมู่ทฤษฎี) คำถามของฉันที่นี่คือ: มีความแตกต่างระหว่างวัตถุเลขชี้กำลังและลูกศรหรือไม่ $curry : (A \times B \rightarrow C) \rightarrow (A \rightarrow C^B)$ $apply : C^B \times B \rightarrow C$ $eval$ $C^B$ $B \rightarrow C$

type-theory lambda-calculus ct.category-theory

— วัน
แหล่งที่มา

ในประเภทการเป็นที่ชี้แจงวัตถุแต่ในประเภททฤษฎีมันอาจจะเรียกว่าชี้แจงประเภท

— Andrej Bauer

นี่ไม่ใช่คำถามระดับการวิจัย ย้ายไปที่ cs-exchange หรือไม่

— Andrea Asperti

หนึ่งคือภายในและอื่น ๆ เป็นภายนอก

หมวดหมู่ประกอบด้วยวัตถุและ morphisms เมื่อเราเขียนเราหมายความว่าเป็นซึ่มส์จากวัตถุไปยังวัตถุBเราอาจรวบรวม morphisms ทั้งหมดจากถึงเป็นชุดของ morphisms เรียกว่า "hom-set" ชุดนี้ไม่ใช่วัตถุของแต่เป็นวัตถุของหมวดหมู่ของชุด $\mathcal{C}$ $f : A \to B$ $f$ $A$ $B$ $A$ $B$ $\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(A,B)$ $\mathcal{C}$

ในทางตรงกันข้ามการชี้แจงเป็นวัตถุในCมันเป็นวิธีที่ " นึกถึงชุดของมัน" ดังนั้นจะต้องติดตั้งโครงสร้างสิ่งที่วัตถุของมี $B^A$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{C}$ $B^A$ $\mathcal{C}$

ตัวอย่างเช่นให้เราพิจารณาหมวดหมู่ของปริภูมิโทโพโลยี จากนั้นเป็นแผนที่ต่อเนื่องจากถึงและคือชุดของแผนที่ต่อเนื่องทั้งหมด แต่ถ้ามีอยู่ก็เป็นพื้นที่โทโพโลยี! คุณสามารถพิสูจน์ได้ว่าจุดของคือ (ในการติดต่อกับ bijective) แผนที่ต่อเนื่องมาจากไปYอันที่จริงแล้วสิ่งนี้ถือเป็นเรื่องทั่วไป: morphisms $f : X \to Y$ $X$ $Y$ $\mathrm{Hom}_{\mathsf{Top}}(X,Y)$ $Y^X$ $Y^X$ $X$ $Y$ $1 \to B^A$ (ซึ่งคือ "จุดทั่วโลกของ ") อยู่ในการติดต่อทางชีวภาพกับ morphisms $B^A$ เนื่องจาก $A \to B$

H o m (1, B^{A}) ≅ H o m (1 \times A, B) ≅ H o m (A, B) .

$\mathrm{Hom}(1, B^A) \cong \mathrm{Hom}(1 \times A, B) \cong \mathrm{Hom}(A, B).$

บางครั้งที่เราได้รับเกี่ยวกับการเขียนเลอะเทอะเมื่อเทียบกับ Bในความเป็นจริงบ่อยครั้งที่ทั้งสองนี้เป็นคำพ้องความหมายด้วยความเข้าใจว่าอาจหมายถึง "โอ้ด้วยวิธีที่นี่ฉันหมายถึงสัญลักษณ์อื่น ๆ ดังนั้นนี่หมายความว่าเป็นมอร์ฟิซึ่มส์จากถึง " ตัวอย่างเช่นเมื่อคุณเขียนลงในมอร์ฟิซึ่มส์ คุณควรจะเขียน $B^A$ $A \to B$ $f : A \to B$ $f$ $A$ $B$

curry : (A \times B \to C) \to (A \to C^{B})

$\textit{curry}: (A \times B \to C) \to (A \to C^B)$

ดังนั้นเราจึงไม่สามารถตำหนิใครได้สับสนที่นี่

Innerถูกใช้ในความรู้สึกภายในและด้านนอกในภายนอก

curry : C^{A \times B} \to {(C^{B})}^{A} .

$\textit{curry}: C^{A \times B} \to {(C^B)}^A.$

\to

$\to$

ถ้าเราทำงานในเพียงแค่พิมพ์แคลคูลัสแล้วทุกอย่างภายในเพื่อที่จะพูด ขณะนี้มีเพียงการตัดสินการพิมพ์พื้นฐาน " มีประเภท " เขียนเป็น Bเนื่องจากที่นี่เป็นประเภทและประเภทสอดคล้องกับวัตถุดังนั้นเราจึงต้องชัดเจนเพื่อแทนค่าเลขชี้กำลังและลูกศรใด ๆ ในในความหมายภายใน ดังนั้นแล้วถ้าเราเข้าใจ เป็นคำพิพากษาพิมพ์ในแคลคูลัส, ทั้งหมด $\lambda$ $t$ $B$ $t : B$ $B$ $B$

curry : (A \times B \to C) \to (A \to C^{B})

$\textit{curry}: (A \times B \to C) \to (A \to C^B)$

λ

$\lambda$ ลูกศรอยู่ภายในดังนั้นนี้เป็นเช่นเดียวกับ

ฉันหวังว่าตอนนี้มันชัดเจนว่าทำไมผู้คนใช้

และ

เป็นคำพ้องความหมาย

curry : ((C^{B})^{A})^{C^{A \times B}} .

$\textit{curry}: ((C^B)^A)^{C^{A \times B}}.$

B^{A}

$B^A$

A \to B

$A \to B$

— Andrej Bauer
แหล่งที่มา

ขอบคุณสำหรับคำตอบที่ยอดเยี่ยมขจัดความลึกลับอย่างสมบูรณ์

— วันที่

แน่นอน! คำอธิบายที่ดี!

— Uday Reddy

แล้วอันไหนคือภายในและอันไหนภายนอก?

— CMCDragonkai