ปัญหาใหญ่ที่ยังไม่คลี่คลายในวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี?

Wikipedia แสดงปัญหาสองอย่างภายใต้"ปัญหาที่ยังไม่แก้ในวิทยาการคอมพิวเตอร์" :

• P = NP?
• การดำรงอยู่ของฟังก์ชั่นทางเดียว

ปัญหาสำคัญอื่น ๆ ที่ควรเพิ่มในรายการนี้คืออะไร

กฎ:

1. ปัญหาเดียวเท่านั้นต่อคำตอบ
2. ระบุคำอธิบายสั้น ๆ และลิงก์ที่เกี่ยวข้อง

สามารถคูณของโดยเมทริกซ์จะทำในการดำเนินงาน?n O ( n 2$n$$n$$O(n^2)$

ตัวแทนที่รู้จักกันดีที่ถูกผูกไว้บนยังมีสัญลักษณ์พิเศษ\ปัจจุบันจะอยู่ที่ประมาณ 2.376 โดยอัลกอริทึมทองแดง-Winograd ภาพรวมที่ยอดเยี่ยมของศิลปะคือซาร่าโรบินสันต่ออัลกอริธึมที่เหมาะสมที่สุดสำหรับการคูณเมทริกซ์ , ข่าว SIAM, 38 (9), 2005$\omega$$\omega$

ปรับปรุง: แอนดรู Stothers (ในปี 2010 ของเขาวิทยานิพนธ์ ) พบว่าซึ่งได้รับการปรับปรุงโดยเวอร์จิเนีย Vassilevska วิลเลียมส์ (ในกรกฎาคม 2014 preprint ) เพื่อ<2.372873 ขอบเขตเหล่านี้ได้มาจากการวิเคราะห์อย่างระมัดระวังของเทคนิค Coppersmith-Winograd พื้นฐานω < $\omega < 2.3737$$\omega < 2.372873$

การปรับปรุงเพิ่มเติม (30 มกราคม 2014): François Le Gall ได้พิสูจน์ว่าในกระดาษที่ตีพิมพ์ใน ISSAC 2014 ( พิมพ์ล่วงหน้า arXiv )$\omega < 2.3728639$

Isomorphism กราฟใน P คืออะไร?

ความซับซ้อนของ Graph Isomorphism (GI) เป็นคำถามเปิดมานานหลายสิบปีแล้ว สตีเฟ่นคุกกล่าวว่าในของเขา1971 กระดาษ NP-ครบถ้วนของ SAT

การพิจารณาว่าสองกราฟ isomorphic สามารถจะทำได้อย่างรวดเร็วตัวอย่างเช่นโดยซอฟต์แวร์เช่นและnauty saucyในทางตรงกันข้ามมิยาซากิได้สร้างคลาสของอินสแตนซ์ซึ่งnautyต้องใช้เวลาชี้แจง

Read และ Corneil ได้ทบทวนความพยายามหลายอย่างเพื่อจัดการกับความซับซ้อนของ GI จนถึงจุดนี้: The Graph Isomorphism Disease , Journal of Graph Theory 1 , 339–363, 1977

GI ไม่ทราบว่าอยู่ใน co-NP แต่มีโปรโตคอลสุ่มแบบง่ายสำหรับกราฟ Non-Isomorphism (GNI) ดังนั้น GI (= co-GNI) จึงเชื่อว่าเป็น "ใกล้เคียง" NP co-NP${}\cap{}$

ในทางกลับกันหาก GI คือ NP-complete ดังนั้น Polynomial Hierarchy จะยุบ ดังนั้น GI จึงไม่น่าจะเสร็จสมบูรณ์ (Boppana, Håstad, Zachos, co-NP มีหลักฐานการโต้ตอบสั้น ๆ หรือไม่ , IPL 25 , 127–132, 1987)

Shiva Kintali มีการสนทนาที่ดีเกี่ยวกับความซับซ้อนของ GI ในบล็อกของเขา

Laszlo Babai พิสูจน์ให้เห็นว่ากราฟ Isomorphism อยู่ในช่วงเวลาที่น้อยมาก

ความซับซ้อนของแฟ

มีการแยกตัวประกอบในหรือไม่$\mathsf{P}$

• ผลที่ตามมาของแฟจะอยู่ใน P?
• เป็นปัญหาที่สำคัญที่สุดที่รู้จักกันดีว่าเป็น P-hard หรือไม่?
• อะไรคือผลที่ตามมาของการแยกตัวประกอบว่าเป็น NP-complete?
• P พร้อม oracle การแยกตัวประกอบจำนวนเต็ม
• หลักฐานการแยกตัวประกอบจำนวนเต็มอยู่ใน P (on MO )

P = BPP?

มีกฎการหมุนรอบสำหรับอัลกอริทึมแบบซิมเพล็กซ์ที่ให้เวลาในการรันพหุนามกรณีเลวร้ายที่สุดหรือไม่? โดยทั่วไปแล้วมีขั้นตอนวิธีพหุนามอย่างยิ่งสำหรับการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นหรือไม่?

ชี้แจงเวลาสมมติฐาน (ETH)อ้างว่าการแก้ SAT ต้องชี้แจง 2 ^{Ω (n)}เวลา ETH แสดงถึงหลายสิ่งหลายอย่างเช่น SAT ไม่ได้อยู่ใน P ดังนั้น ETH จึงหมายถึง P ≠ NP ดู Impagliazzo, Paturi, Zane ปัญหาใดที่มีความซับซ้อนอย่างมากแทน , JCSS 63, 512–530, 2001

ETH เป็นที่เชื่อกันอย่างกว้างขวาง แต่มีแนวโน้มที่จะพิสูจน์ได้ยากเพราะมันหมายถึงการแยกชั้นความซับซ้อนอื่น ๆ อีกมากมาย

Immerman และ Vardi แสดงให้เห็นว่าตรรกะจุดคงที่จับ PTIME ในชั้นเรียนของโครงสร้างที่สั่ง หนึ่งในปัญหาเปิดที่ใหญ่ที่สุดในทฤษฎีความซับซ้อนเชิงพรรณนาคือว่าการพึ่งพาการสั่งซื้อสามารถลบออกได้หรือไม่:

มีตรรกะที่จับ PTIME หรือไม่?

กล่าวง่ายๆคือการจับตรรกะ PTIME เป็นภาษาการเขียนโปรแกรมสำหรับปัญหากราฟที่ทำงานโดยตรงกับโครงสร้างกราฟและไม่สามารถเข้าถึงการเข้ารหัสของจุดยอดและขอบเช่นการระงับดังต่อไปนี้:

1. โปรแกรมใด ๆ ที่ถูกต้องทาง syntactically แบบจำลองปัญหากราฟพหุนามคำนวณเวลาและ
2. ปัญหากราฟที่คำนวณได้แบบพหุนามใด ๆ สามารถสร้างแบบจำลองโดยโปรแกรมที่ถูกต้องทางไวยากรณ์

หากไม่มีตรรกะที่จับ PTIME ดังนั้นเนื่องจาก NP ถูกจับโดยตรรกะลำดับที่สองที่มีอยู่ ลอจิกการจับ PTIME จะให้การโจมตีที่เป็นไปได้กับ P vs NP$P \neq NP$

ดูบล็อกของ Liptonสำหรับการสนทนาอย่างไม่เป็นทางการและM. Grohe: Quest for a Logic Capturing PTIME ( LICS 2008) สำหรับการสำรวจทางเทคนิคเพิ่มเติม

เป็นเกมที่ไม่ซ้ำกันคาดเดาจริงหรือไม่?
และ: เนื่องจากมีอัลกอริทึมการประมาณเวลาแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลสำหรับเกมที่ไม่ซ้ำใครปัญหานี้จะอยู่ในรูปแบบของความซับซ้อนหรือไม่?

เมื่อเทียบกับตัวกำหนดถาวร

คำถามถาวรกับดีเทอร์มิแนนต์เป็นสิ่งที่น่าสนใจเนื่องจากมีข้อเท็จจริงสองประการ ครั้งแรกที่ถาวรของเมทริกซ์นับจำนวนของการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบในกราฟสองฝ่าย ดังนั้นเมทริกซ์ถาวรดังกล่าวคือ # P-Complete ในขณะเดียวกันคำจำกัดความของผู้ถาวรนั้นใกล้เคียงกับตัวกำหนดมากที่สุดแตกต่างกันเพียงเพราะการเปลี่ยนเครื่องหมายอย่างง่าย การคำนวณปัจจัยกำหนดเป็นที่ทราบกันดีว่าอยู่ใน P. ศึกษาความแตกต่างระหว่างตัวกำหนดถาวรและตัวกำหนดและจำนวนการคำนวณตัวกำหนดดีเทอร์มินัลจำเป็นต้องคำนวณการพูดแบบถาวรเกี่ยวกับ P กับ #P

เราสามารถคำนวณFFTในเวลาน้อยกว่ามากหรือไม่?$O(n \log n)$

ในหลอดเลือดดำทั่วไป (มาก) เดียวกันมีคำถามมากมายเกี่ยวกับการปรับปรุงระยะเวลาของปัญหาหรืออัลกอริทึมแบบคลาสสิค: เช่นสามารถจับคู่เส้นทางที่สั้นที่สุด (APSP)ในเวลา$O(n^{3-\epsilon})$

แก้ไข: APSP ทำงานในเวลา "ที่การเพิ่มและการเปรียบเทียบของ reals เป็นต้นทุนต่อหน่วย (แต่การดำเนินการอื่น ๆ ทั้งหมดมีลักษณะทั่วไป ราคาลอการิทึม) ": http://arxiv.org/pdf/1312.6680v2.pdf$(\frac{n^3}{2^{\Omega(log n)^{1/2}}})$

การคาดคะเน optimality แบบไดนามิกสำหรับต้นไม้สเปรย์

หรือมากกว่าโดยทั่วไป: มีแผนภูมิการค้นหาไบนารีไดนามิกแบบออนไลน์ O (1) - แข่งขันหรือไม่

อัลกอริทึมที่กำหนดเวลาเชิงเส้นสำหรับปัญหาทรี spanning น้อยที่สุด

NP เมื่อเทียบกับ co-NP

คำถาม NP กับ co-NP นั้นน่าสนใจเพราะ NP ≠ co-NP หมายถึง P ≠ NP (เนื่องจาก P ถูกปิดภายใต้ส่วนเสริม) นอกจากนี้ยังเกี่ยวข้องกับ "ความเป็นคู่": การแยกระหว่างการค้นหา / การตรวจสอบตัวอย่างและการค้นหา / การตรวจสอบตัวอย่างแบบคู่ ในความเป็นจริงการพิสูจน์ว่าคำถามอยู่ในทั้งปัญหา NP และ co-NP เป็นหลักฐานที่ดีครั้งแรกของเราว่าปัญหาที่ดูเหมือนว่าจะอยู่นอก P ก็น่าจะไม่ใช่ปัญหา NP-Complete

มีปัญหาที่ไม่สามารถแก้ไขได้อย่างมีประสิทธิภาพโดยคอมพิวเตอร์แบบขนานหรือไม่

ปัญหาที่เป็น P-Complete นั้นไม่สามารถนำมาขนานกันได้ ปัญหา P-Complete ได้แก่ Horn-SAT และ Linear Programming แต่การพิสูจน์ว่าเป็นกรณีนี้จะต้องแยกความคิดของปัญหาแบบขนานได้ (เช่น NC หรือ LOGCFL) จาก P

การออกแบบตัวประมวลผลคอมพิวเตอร์กำลังเพิ่มจำนวนหน่วยประมวลผลโดยหวังว่าสิ่งนี้จะให้ประสิทธิภาพที่ดีขึ้น หากอัลกอริธึมพื้นฐานเช่นการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นนั้นไม่ขนานกันโดยเนื้อแท้แล้วก็มีผลกระทบที่สำคัญ

แบบแผนเชิงประพจน์มีหลักฐานพิสูจน์ Frege ขนาดพหุนามหรือไม่?

อาจเป็นปัญหาเปิดที่สำคัญของความซับซ้อนในการพิสูจน์ : แสดงขนาดพหุนามที่ต่ำกว่าขอบเขตในการพิสูจน์แบบประพจน์

อย่างไม่เป็นทางการระบบพิสูจน์ Frege เป็นเพียงระบบพิสูจน์หลักฐานเชิงประพจน์มาตรฐานสำหรับการพิสูจน์ความซ้ำซากเชิงประพจน์ (หนึ่งเรียนรู้ในหลักสูตรตรรกะขั้นพื้นฐาน) มีสัจพจน์และกฎการลดทอนซึ่งบรรทัดหลักฐานถูกเขียนเป็นสูตร ขนาดของหลักฐาน Frege คือจำนวนของสัญลักษณ์ที่ใช้ในการเขียนลงหลักฐาน

ปัญหาถามว่ามีครอบครัวของแคลคูลัสเชิงประพจน์สูตรที่ไม่มีพหุนามเช่นว่าขนาดการพิสูจน์ Frege น้อยที่สุดของมากที่สุดสำหรับทั้งหมด (โดยหมายถึงขนาดของสูตร )$(F_n)_{n=1}^\infty$$p$$F_n$$p(|F_n|)$$n=1,2,\ldots$$|F_n|$$F_n$

คำจำกัดความที่เป็นทางการของระบบพิสูจน์ Frege

นิยาม (กฎของ Frege) กฎของFregeคือลำดับของสูตรเชิงประพจน์สำหรับ$A_0(\overline x),\ldots,A_k(\overline x)$$k \le 0$ , เขียนเป็นx)} ในกรณีที่กฎ Frege เรียกว่าโครงการจริง สูตรถูกกล่าวถึงโดยกฎจากถ้าเป็นอินสแตนซ์การทดแทนทั้งหมดของสำหรับการกำหนดค่าให้กับตัวแปร (นั่นคือ มีสูตร $\frac{A_1(\overline x), \ldots,A_k(\overline x)}{A_0(\overline x)}$$k = 0$$F_0$$F_1,\ldots,F_k$$F_0,\ldots,F_k$$A_1,\ldots,A_k$$\overline x$$B_1,\ldots,B_n$ดังกล่าวว่าสำหรับทุก k กฎ Frege จะกล่าวว่าเป็นเสียงถ้าเมื่อใดก็ตามที่ได้รับมอบหมายตอบสนองสูตรที่ด้านบน แล้วก็ยังน่าพอใจสูตรในด้านล่างA_0$F_i = A_i(B_1/x_1,\ldots,B_n/x_n),$$i=0,\ldots,k$$A_1,\ldots,A_k$$A_0$

นิยาม (พิสูจน์ Frege) กำหนดชุดของกฎFrege หลักฐานพิสูจน์ Fregeเป็นลำดับของสูตรที่ว่าทุกบรรทัดพิสูจน์เป็นความจริงหรือได้มาจากหนึ่งในกฎ Frege ที่กำหนดจากบรรทัดหลักฐานก่อนหน้านี้ หากลำดับยุติด้วยสูตรแล้วหลักฐานการกล่าวถึงเป็นหลักฐานการ ขนาดของหลักฐาน Frege เป็นขนาดรวมของทุกสูตรในการพิสูจน์$A$$A$

ระบบหลักฐานกล่าวจะสมบูรณ์ implicationallyถ้าทุกชุดของสูตรถ้าความหมายหมายถึงแล้วมีหลักฐานของใช้ (อาจจะ) สัจพจน์จากTระบบพิสูจน์ว่ามีเสียงถ้ามันยอมรับการพิสูจน์ความซ้ำซากเท่านั้น (เมื่อไม่ใช้สัจพจน์เสริมเช่นใน ด้านบน)$T$$T$$F$$F$$T$$T$

นิยาม (ระบบพิสูจน์ Frege) ด้วยภาษาเชิงประพจน์และเซตของกฎเสียง Frege ที่ จำกัด เราบอกว่าเป็นระบบพิสูจน์ Fregeถ้าเสร็จสมบูรณ์โดยปริยาย$P$$P$$P$

โปรดทราบว่าการพิสูจน์ของ Frege นั้นจะส่งเสียงเสมอเนื่องจากกฎของ Frege นั้นถือว่าเป็นเสียง เราไม่จำเป็นต้องทำงานกับระบบพิสูจน์ Frege ที่เฉพาะเจาะจงเนื่องจากผลลัพธ์พื้นฐานในความซับซ้อนของการพิสูจน์ระบุว่าระบบพิสูจน์ Frege ทุกสองระบบแม้แต่ภาษาที่แตกต่างกันนั้นเทียบเท่ากับพหุนาม [Reckhow, วิทยานิพนธ์ปริญญาเอก, มหาวิทยาลัยโตรอนโต, 1976]

การสร้างขอบเขตที่ต่ำกว่าในการพิสูจน์ Frege อาจถูกมองว่าเป็นขั้นตอนต่อการพิสูจน์เนื่องจากถ้าเป็นจริงแล้วระบบการพิสูจน์แบบประพจน์ (รวมถึง Frege) จะไม่มีการพิสูจน์ขนาดพหุนามสำหรับทุกวิชา$NP \neq coNP$

เราสามารถคำนวณระยะทางแก้ไขระหว่างความยาวสองสายของในเวลาย่อยกำลังสองกล่าวคือในเวลาสำหรับหรือไม่$n$$O(n^{2-\epsilon})$$\epsilon>0$

มีขั้นตอนวิธี subquadratic เวลาจริง (หมายถึงสำหรับค่าคงที่ ) สำหรับปัญหา 3SUM-hardหรือไม่?$O(n^{2-\delta})$$\delta>0$

ในปี 2014 Grønlundและ Pettieอธิบายอัลกอริทึมที่กำหนดขึ้นสำหรับ 3SUM เองที่ทำงานในเวลาO ( n 2$O(n^2/(\log n/\log \log n)^{2/3})${2/3}) แม้ว่านี่จะเป็นผลลัพธ์ที่สำคัญการปรับปรุงเป็นเพียงลอการิทึม (ย่อย) เท่านั้น ยิ่งไปกว่านั้นอัลกอริทึมย่อยที่คล้ายกันไม่เป็นที่รู้จักสำหรับปัญหาหนัก 3SUM อื่น ๆ$O(n^2)$

BQP = P?

ยัง: NP ที่มีอยู่ใน BQP?

ฉันรู้ว่าสิ่งนี้ละเมิดกฎโดยมีคำถามสองข้อในคำตอบ แต่เมื่อใช้กับคำถาม P vs NP พวกเขาไม่จำเป็นต้องเป็นคำถามอิสระ

1. ลัทธิมอร์ฟิซึ่ม (ปัญหา NP-complete ทั้งหมดเป็นปัญหา "เดียวกัน" หรือไม่)
2. การเข้ารหัสสามารถขึ้นอยู่กับปัญหา NP-complete ได้หรือไม่

และอยู่ห่างจากกระแสหลักเล็กน้อย:


3. อะไรคือขนาดของ NP ภายใน EXP?

(อย่างไม่เป็นทางการหากคุณมีปัญหาทั้งหมดใน EXP บนโต๊ะและคุณเลือกอย่างสุ่มอย่างสม่ำเสมอความน่าจะเป็นที่ปัญหาที่คุณเลือกอยู่ใน NP คืออะไรคำถามนี้ได้รับการทำให้เป็นระเบียบโดยความคิดของขอบเขตการวัดทรัพยากร เป็นที่ทราบกันดีว่า P มีค่าเป็นศูนย์ภายใน EXP เช่นปัญหาที่คุณเลือกจากตารางนั้นแทบไม่ได้อยู่ในหน่วย P)

การประมาณค่าของเมทริก TSPคืออะไร อัลกอริทึมของ Christofidesจาก 1975 เป็นพหุนามเวลา (3/2) - อัลกอริทึมการประมาณ เป็นเรื่องยากไหมที่จะทำได้ดีกว่า

• การประมาณ Metric TSP ภายในปัจจัยที่เล็กกว่า 220/219 คือ NP-hard (Papadimitriou และ Vempala, 2006 [PS] ) สำหรับความรู้ของฉันนี้เป็นขอบเขตล่างที่รู้จักกันดีที่สุด

• มีหลักฐานบางอย่างที่บอกว่าขอบเขตที่แท้จริงอาจเป็น 4/3 (Carr และ Vempala, 2004 [รุ่นฟรี] [รุ่นที่ดี] )

• ขอบเขตบนของความสามารถในการประมาณค่าลดลงเป็น (Mucha 2011 "13/9 - การประมาณสำหรับกราฟิค TSP" [ PDF ])$13/9$

ให้ฟังก์ชันที่ชัดเจนพร้อมความซับซ้อนของวงจรเลขชี้กำลัง

แชนนอนพิสูจน์ในปี 1949 ว่าถ้าคุณเลือกฟังก์ชั่นบูลีนแบบสุ่มมันมีความซับซ้อนของวงจรเลขชี้กำลังที่มีความน่าจะเป็นเกือบหนึ่ง

ขอบเขตล่างที่ดีที่สุดสำหรับฟังก์ชันบูลีนที่ชัดแจ้ง เรามีจนถึงตอนนี้คือโดย K. Iwama, O. Lachish, H . Morizumi และ R. Raz$f:\{0,1\}^n \to \{0,1\}$$5n - o(n)$

อะไรคือความซับซ้อนของแบบสอบถามในการทดสอบสามเหลี่ยม -freeness ในกราฟที่มีความหนาแน่นสูง (เช่นการแยกกราฟสามเหลี่ยมที่ไม่มีความแตกต่างจาก -far จากการไม่มีสามเหลี่ยม) ที่เป็นที่รู้จักขอบเขตบนหอคอยของ exponentials ในขณะที่รู้จักกันในขอบเขตที่ต่ำเพียงอย่างอ่อนโยน superpolynomial ใน1นี่เป็นคำถามพื้นฐานที่น่าสนใจในทฤษฎีกราฟ Extremal / Additive Combinatorics ที่เปิดมาเกือบ 30 ปีแล้ว$\epsilon$$1/\epsilon$$1/\epsilon$

แยก NEXP จาก BPP ผู้คนมักจะเชื่อว่า BPP = P แต่ไม่มีใครสามารถแยก NEXP จาก BPP ได้

ฉันรู้ว่า OP ขอเพียงหนึ่งปัญหาต่อโพสต์ แต่ RTA (เขียนใหม่และการประยุกต์ใช้เทคนิคของพวกเขา) 1และ TLCA (พิมพ์แลมบ์ดานิ่วและการประยุกต์ใช้ของพวกเขา) การประชุมทั้งรักษารายการของปัญหาที่เปิดในสาขาของพวกเขา2 รายการเหล่านี้มีประโยชน์มากเนื่องจากมีตัวชี้ไปยังงานก่อนหน้าในการพยายามแก้ไขปัญหาเหล่านี้

Derandomization ของปัญหาการทดสอบเอกลักษณ์โพลิโนเมีย

ปัญหามีดังต่อไปนี้: เนื่องจากการคำนวณวงจรเลขคณิตพหุนาม ,เท่ากับศูนย์หรือไม่?$P$$P$

ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนามแบบสุ่ม แต่ไม่ทราบว่าสามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนามที่กำหนด

ที่เกี่ยวข้องคือการคาดเดา Tau ของ Shub และ Smale ได้รับพหุนามเรากำหนดของ -complexityเป็นขนาดที่เล็กที่สุดวงจรคณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ใช้ แต่เพียงผู้เดียวคงที่1สำหรับพหุนาม univariate , ให้เป็นจำนวนจริงของรากP τ τ ( P ) P 1 P ∈ Z [ x ] Z ( P $\tau$$P$$\tau$$\tau(P)$$P$$1$$P\in\mathbb Z[x]$$z(P)$

พิสูจน์ว่ามีอยู่อย่างต่อเนื่องสากลดังกล่าวว่าสำหรับทุก ,คP ∈ Z [ x ] z ( P ) ≤ ( 1 + τ ( P ) ) $c$$P\in\mathbb Z[x]$$z(P)\le (1+\tau(P))^c$

Quantum PCP theorem มีหรือไม่?

มีปัญหาเปิดมากมายในแลมบ์ดานิ่ว (พิมพ์และไม่พิมพ์) ดูรายการ TLCA ปัญหาเปิดสำหรับรายละเอียด; นอกจากนี้ยังมีเวอร์ชั่น PDF ที่ดีโดยไม่มีเฟรม

ฉันชอบปัญหา # 5 โดยเฉพาะ:

มีเงื่อนไขที่ไม่แน่นอนใน แต่สามารถพิมพ์ได้ด้วยความช่วยเหลือของประเภทเรียกซ้ำบวกหรือไม่?$F_ω$

ปัญหาลอการิทึมไม่ต่อเนื่องเป็น P หรือไม่

ให้เป็นวงจรกลุ่มของการสั่งซื้อและดังกล่าวว่าเป็นเครื่องกำเนิดไฟฟ้าของGปัญหาในการค้นหาเช่นนั้นเป็นที่รู้จักกันในชื่อปัญหาลอการิทึมแบบแยก (DLP) มีอัลกอริทึม (แบบดั้งเดิม) สำหรับการแก้ปัญหา DLP ในพหุนามกรณีที่แย่ที่สุดในจำนวนบิตของq g , h ∈ G g G n ∈ N g n = h $G$$q$$g,h \in G$$g$$G$$n \in \mathbb{N}$$g^n = h$$q$หรือไม่?

มีความหลากหลายของ DLP ซึ่งเชื่อว่าง่ายกว่า แต่ก็ยังไม่ได้รับการแก้ไข คำนวณปัญหา Diffie-Hellman (CDH) ถามหาให้และข ตัดสินใจปัญหา Diffie-Hellman (DDH) ขอให้ตัดสินใจให้ถ้าชั่วโมง g , g a g b g , g a , g b , h ∈ G g a b = $g^{a b}$$g, g^a$$g^b$$g, g^a, g^b, h \in G$$g^{a b} = h$

ชัดเจนว่า DLP นั้นยากถ้า CDH นั้นยากและ CDH นั้นยากถ้า DDH นั้นยาก แต่ไม่ทราบว่าจะลดการสนทนายกเว้นบางกลุ่ม สมมติฐานที่ DDH เป็นเรื่องยากที่เป็นกุญแจสำคัญในการรักษาความปลอดภัยของ cryptosystems บางเช่นElGamalและCramer-Shoup

เกมพาริตี้เป็นเกมกราฟระยะเวลาที่ไม่มีที่สิ้นสุดสำหรับผู้เล่นสองคนซึ่งปัญหาการตัดสินใจตามธรรมชาติอยู่ใน NP และ co-NP และมีปัญหาการค้นหาตามธรรมชาติใน PPAD และ PLS

http://en.wikipedia.org/wiki/Parity_game

เกมความเท่าเทียมกันสามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนามหรือไม่?

(โดยทั่วไปคำถามเปิดกว้างที่สำคัญมายาวนานในการเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์คือปัญหา P-matrix Linear Complementarity สามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนามหรือไม่)

พื้นที่ของความซับซ้อนที่แปรผันมีภาระของปัญหาเปิดอยู่

พิจารณาปัญหาการตัดสินใจ

• ที่ได้รับมีอยู่ที่จุดสุดยอดของขนาดสำหรับกราฟ$(G,k)$$k$$G$หรือไม่?
• ที่กำหนดไม่มีอยู่ได้รับมอบหมายพอใจของน้ำหนักสำหรับสูตร$(F,k)$$k$$F$ ?
• ที่กำหนดมีขนาดของกลุ่มอยู่ในกราฟ$(G,k)$$k$$G$หรือไม่?
• ฯลฯ ...

มีปัญหาหลายอย่างหลายอย่างรวมกันในแบบฟอร์มนี้ ซับซ้อน Parameterized พิจารณาขั้นตอนวิธีการที่จะ "มีประสิทธิภาพ" ถ้าเวลาทำงานของมันคือบนกระโดดจากที่เป็นฟังก์ชั่นโดยพลการและเป็นค่าคงที่เป็นอิสระของkในการแจ้งการเปรียบเทียบว่าปัญหาดังกล่าวทั้งหมดจะสามารถแก้ไขได้อย่างง่ายดายใน(k)}$f(k)n^c$$f$$c$$k$$n^{O(k)}$

เฟรมเวิร์กนี้เป็นตัวอย่างของกรณีที่เรากำลังมองหาโครงสร้าง combinatorial ขนาดเล็กและเราสามารถหาเวลาทำงานแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลได้ตามขนาดของคำตอบ / พยานการแก้ปัญหา

ปัญหาของอัลกอริธึมดังกล่าว (เช่นจุดยอดสุดยอด) เรียกว่าพารามิเตอร์คงที่ ( (FPT))

ความซับซ้อนของพารามิเตอร์เป็นทฤษฎีที่สมบูรณ์และมีทั้งรากฐานทางทฤษฎีที่แข็งแกร่งและน่าสนใจสำหรับการใช้งานจริง ปัญหาการตัดสินใจที่น่าสนใจสำหรับทฤษฎีดังกล่าวก่อให้เกิดลำดับชั้นของโครงสร้างที่ดีมากพร้อมกับปัญหาที่สมบูรณ์ตามธรรมชาติ:

แน่นอนว่ามันเปิดถ้ามีการรวมใด ๆ ที่เข้มงวดหรือไม่ โปรดสังเกตว่าหากดังนั้น SAT มีอัลกอริทึมแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล (นี่ไม่ใช่เรื่องเล็กน้อย) คำสั่งสุดท้ายเชื่อมต่อความซับซ้อน prameterized กับE T $FPT=W[1]$$ETH$ดังกล่าวข้างต้น

โปรดสังเกตด้วยว่าการตรวจสอบการยุบดังกล่าวไม่ใช่การออกกำลังกายที่ว่างเปล่า: พิสูจน์ว่าเทียบเท่ากับการพิสูจน์ว่ามีพารามิเตอร์คงที่อัลกอริธึมที่ใช้การได้ในการค้นหา -cliques$W[1]=FPT$$k$